Контрольная работа по "эконометрике". 3

Задача №1

 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).

 

Y	26	28	36	34	38	44	42
X	40	39	43	46	50	53	57

 

Требуется:

1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
• линейную,
• степенную,
• показательную,
• гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• F – критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.

 

Решение задачи 1

1. Построение моделей регрессии

Построение  линейной модели парной регрессии.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:

Можно сказать, что связь  между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Уравнение регрессии имеет  вид: .

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 907 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективной работе предприятия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ^{Таблица  1.1}

t	y	x	yx	x 2
1	26	40	1040	1600	-9,43	88,90	-6,86	47,02	29,21	-3,21	12,33
2	28	39	1092	1521	-7,43	55,18	-7,86	61,73	28,30	-0,30	1,07
3	36	43	1548	1849	0,57	0,33	-3,86	14,88	31,93	4,07	11,31
4	34	46	1564	2116	-1,43	2,04	-0,86	0,73	34,65	-0,65	1,91
5	38	50	1900	2500	2,57	6,61	3,14	9,88	38,28	-0,28	0,74
6	44	53	2332	2809	8,57	73,47	6,14	37,73	41,00	3,00	6,81
7	42	57	2394	3249	6,57	43,18	10,14	102,88	44,63	-2,63	6,27
Итого	248	328	11870	15644	0,00	269,71	0,00	274,86		0,00	40,44
Ср. знач	35,43	46,86	1695,71	2234,86							5,78

 

Рассчитаем коэффициент  детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения  регрессии проведем с помощью  F-критерия Фишера:

;

F>F_табл = 6,61 для a=0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 5/

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F >F_табл.

Определим среднюю ошибку:

.

В среднем расчетные  значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,78%.

Построение степенной  модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a +b lg x. данные приведены в таблице 1.2.

^{Таблица 1.2}

	Факт. Y(t)	lg(y)	Переменная X(t)	lg(x)
1 2 3 4 5 6 7 å         28	26 28 36 34 38 44 42 248	1,41497 1,44716 1,55630 1,53148 1,57978 1,64345 1,62325 10,79640	40 39 43 46 50 53 57 328	1,60206 1,59106 1,63347 1,66276 1,69897 1,72428 1,75587 11,66847
Сред. знач	35,43	1,54234	46,86	1,66692

 

Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

^{Таблица 1.3}

	y	Y		x		X		YX		X2				Ei
1	26		1,4150		40		1,6021		2,2669		2,5666		28,9063		2,9063	11,1779	8,4463
2	28		1,4472		39		1,5911		2,3025		2,5315		28,0028		0,0028	0,0101	0,0000
3	36		1,5563		43		1,6335		2,5422		2,6682		31,6507		-4,3493	12,0814	18,9165
4	34		1,5315		46		1,6628		2,5465		2,7648		34,4443		0,4443	1,3067	0,1974
5	38		1,5798		50		1,6990		2,6840		2,8865		38,2413		0,2413	0,6351	0,0582
6	44		1,6435		53		1,7243		2,8338		2,9731		41,1406		-2,8594	6,4986	8,1762
7	42		1,6232		57		1,7559		2,8502		3,0831		45,0714		3,0714	7,3128	9,4334
å         28	248		10,7964		328		11,6685		18,0260		19,4738				-0,5426	39,0226	45,2280
Сред. знач	35,4286		1,5423		46,8571		1,6669		2,5751		2,7820					5,5747

 

Уравнение регрессии будет  иметь вид: Y = –0,5483 + 1,2542X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной  модели регрессии: = 0,283 ´ x^1,2542.

Определим индекс корреляции:

связь между показателем  y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации равен 0,8323:

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 83,23% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F >F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n –m –1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F >F_табл.

Средняя относительная  ошибка

В среднем расчетные  значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,57%.

 

 

Построение показательной  функции

Уравнение показательной  кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим:  .

Получим линейное уравнение  регрессии:

Y=A+Bx.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4.

^{Таблица 1.4}

t	y	Y	x	Yx	x2							Ei
1	26	1,41497335	40	56,5989	1600	-0,1274	0,0162	-6,8571	47,0204	29,1140	9,6971	-3,1140	11,9770
2	28	1,44715803	39	56,4392	1521	-0,0952	0,0091	-7,8571	61,7347	28,3591	0,1289	-0,3591	1,2824
3	36	1,5563025	43	66,9210	1849	0,0140	0,0002	-3,8571	14,8776	31,5016	20,2357	4,4984	12,4956
4	34	1,53147892	46	70,4480	2116	-0,0109	0,0001	-0,8571	0,7347	34,0849	0,0072	-0,0849	0,2498
5	38	1,5797836	50	78,9892	2500	0,0374	0,0014	3,1429	9,8776	37,8619	0,0191	0,1381	0,3633
6	44	1,64345268	53	87,1030	2809	0,1011	0,0102	6,1429	37,7347	40,9669	9,1998	3,0331	6,8934
7	42	1,62324929	57	92,5252	3249	0,0809	0,0065	10,1429	102,8776	45,5065	12,2954	-3,5065	8,3488
итого	540	10,7963984	328	509,0245	15644	0,0000	0,0438	0,0000	274,8571		51,5832	0,6051	41,6104
сред	77,14	1,54234262	46,8571429	72,7178	2234,86								5,9443
знач

 

 

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем  y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации: R² = = 0,899² = 0,8087.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,87% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F> F_табл = 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная  ошибка:

В среднем расчетные  значения для показательной функции отличаются от фактических на 5,94%.

Построение гиперболической  функции

Уравнение гиперболической  функции:

Произведем линеаризацию модели путем замены X= . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры  по данным таблицы 1.5.

Получим следующее уравнение  гиперболической модели: .

Определим индекс корреляции:

Определим индекс детерминации: R² = = 0,931² = 0,868.

Таблица 1. 5.

t	y	x	X	yX	X2					Ei
1	26	40	0,0250	0,6500	0,0006	-9,4286	88,8980	28,7865	7,7646	-2,7865	10,7173
2	28	39	0,0256	0,7179	0,0007	-7,4286	55,1837	27,4880	0,2622	0,5120	1,8287
3	36	43	0,0233	0,8372	0,0005	0,5714	0,3265	32,3197	13,5445	3,6803	10,2230
4	34	46	0,0217	0,7391	0,0005	-1,4286	2,0408	35,3921	1,9378	-1,3921	4,0943
5	38	50	0,0200	0,7600	0,0004	2,5714	6,6122	38,9150	0,8373	-0,9150	2,4080
6	44	53	0,0189	0,8302	0,0004	8,5714	73,4694	41,2083	7,7937	2,7917	6,3448
7	42	57	0,0175	0,7368	0,0003	6,5714	43,1837	43,8904	3,5738	-1,8904	4,5011
итого	248		0,1520	5,2713	0,0034		269,7143		35,7139	0,0000	40,1172
сред	35,43		0,0217	0,7530	0,0005						5,7310
знач

 

 

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,01% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

F> F_табл= 6,61 для a = 0,05; k₁=m=1, k₂ = n – m – 1 = 5.

Уравнение регрессии с  вероятностью 0,95 в целом статистически  значимое, т.к. F> F_табл.

Средняя относительная  ошибка:

В среднем расчетные  значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 5,73%.

 

Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

 Таблица 1.6.

Параметры   Модель	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции rYX (ryx)	Средняя относительная  ошибка Eотн
Линейная	0,839	26,10	0,916	5,78
Степенная	0,832	24,82	0,912	5,57
Показательная	0,809	21,14	0,899	5,94
Гиперболичская	0,868	32,76	0,931	5,73

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но лучшие значение по всем параметрам имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

 

Расчет прогнозного значения результативного  показателя

Прогнозное значение результативного  признака (объема выпуска продукции) определяется по уравнению гиперболической  модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений:

Х_прог = *110% = 46,86 * 110% = 51,54

 (млн руб.).

Фактические, расчетные  и прогнозные значения по лучшей модели отображаются на графике.

^{рис. 1.1}

 

Задача 2

 

По десяти кредитным учреждениям  получены данные, характеризующие зависимость  объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X₁), ставки по депозитам (X₂) и размера внутрибанковских расходов (X₃).

 

Вариант	Наблюдения
У Х1 Х2 Х3	40       44        28        52        50        64        70        68        78        90 32       40        44        28        50        56        50        56        60        62 60       68        80        76        44        96        100      104      106      98 50       54        60        62        70        54        84        82        86        84

 

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:
• линейный коэффициент множественной корреляции,
• коэффициент детерминации,
• средние коэффициенты эластичности, бетта –, дельта – коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
7. Отразить результаты расчетов на графике.

Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить  компьютерные распечатки расчетов.

 

 

Решение задачи 2

1. Выбор факторных признаков  для построения двухфакторной  регрессионной модели.

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 2.1. В этом примере n = 10, m = 3.

В таблице 2.2 приведены  промежуточные результаты при вычислении коэффициента корреляции по формуле:

.

 

В таблице 2.3 приведены  сводные результаты корреляционного  анализа.

^{Таблица 2.1.}

Y	X1	X2	X3
Объем прибыли	Среднегодовая ставка по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
40 44 28 52 50 64 70 68 78 90	32 40 44 28 50 56 50 56 60 62	60 68 80 76 44 96 100 104 106 98	50 54 60 62 70 54 84 82 86 84

 

^{Таблица 2.2.}

t	Y	X1
1	40,00	32,00	-18,40	338,56	-15,80	249,64	290,72
2	44,00	40,00	-14,40	207,36	-7,80	60,84	112,32
3	28,00	44,00	-30,40	924,16	-3,80	14,44	115,52
4	52,00	28,00	-6,40	40,96	-19,80	392,04	126,72
5	50,00	50,00	-8,40	70,56	2,20	4,84	-18,48
6	64,00	56,00	5,60	31,36	8,20	67,24	45,92
7	70,00	50,00	11,60	134,56	2,20	4,84	25,52
8	68,00	56,00	9,60	92,16	8,20	67,24	78,72
9	78,00	60,00	19,60	384,16	12,20	148,84	239,12
10	90,00	62,00	31,60	998,56	14,20	201,64	448,72
å	584,00	478,00	0,00	3222,40	0,00	1211,60	1464,80
сред	58,40	47,80				121,16
знач

 

^{Таблица 2.3.}

	Объем прибыли	Среднегодовая ставка по кредитам	Ставки по депозитам	Размер внутрибанковских расходов
	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
Объем прибыли Среднегодовая ставка по кредитам Ставки по депозитам Размер внутрибанковских расходов	1 0,741   0,697   0,778	1   0,616   0,688	1   0,607	1

 

Анализ результатов  коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем  прибыли имеет тесную связь со всеми рассматриваемыми факторами: среднегодовой ставкой по кредитам ( ), со ставками по депозиту ( )  и с размером внутрибанковских расходов ( ). Однако факторы X₁ и X₃ тесно связаны между собой ( ), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели X₃ – размер внутрибанковских расходов, т.к. его связь с результативным признакам сильнее. В этом примере n=10, m = 3, после исключения незначимых факторов n = 10, k = 2.

 

 

 

 

2. Выбор вида модели и оценка ее параметров

Оценка параметров регрессии  осуществляется методом Гаусса, используются данные, приведенные в таблице 2.4.

^{Таблица 2.4.}

n	Y	X2	X3	Х2Y	Х3Y	Х22	Х32	Х2X3
	Объем прибыли	Среднегодовая ставка по днпозитам	Размер внутрибанковских расходов
1	40	60	50	2400	2000	3600	2500	3000
2	44	68	54	2992	2376	4624	2916	3672
3	28	80	60	2240	1680	6400	3600	4800
4	52	76	62	3952	3224	5776	3844	4712
5	50	44	70	2200	3500	1936	4900	3080
6	64	96	54	6144	3456	9216	2916	5184
7	70	100	84	7000	5880	10000	7056	8400
8	68	104	82	7072	5576	10816	6724	8528
9	78	106	86	8286	6708	11236	7396	9116
10	90	98	84	8820	7560	9604	7056	8232
Итого	584	832	686	51088	41960	73208	48908	58724

 

 

Для определения неизвестных параметров b₀, b₁, b₂ уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

Подставим данные таблицы 2.4 в систему:

10b₀+832b₁+686b₂=584;

832b₀+73208b₁+58724b₂=51088;

686b₀+58724b₁+48908b₂=41960.

 

 

Для решения данной системы воспользуемся методом Гаусса.

Запишем систему в виде:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

 

Умножим 1-ую строку на (686). Умножим 2-ую строку на (-10). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 2-ую строку на (832). Умножим 3-ую строку на (-686). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (1362320). Умножим 2-ую строку на (-16488). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Из 1-ой строки выражаем b₂

b₂ = (-23614820096) / (-31888309376) = 0,74

Из 2-ой строки выражаем b₁

b₁ = (-135648 – 406792*0,74) / (-1362320) = 0,32

Из 3-ой строки выражаем b₀

b₀ = (51088 – 73208*0,32 – 58724*0,74) / 832 = -19,08

Уравнение регрессии зависимости  объема прибыли от размера ставки по депозитам и объема внутрибанковских расходов можно записать в следующем виде:

y = -19,08 + 0,32x₁ + 0,74x₃.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

Прибыль зависит от ставки депозитов и величины внутрибанковских расходов. То есть с увеличение внутрибанковских расходов на 1000 рублей приводит к увеличению прибыли на 740 рублей, при неизменной величине ставки по депозитам, а увеличение ставки депозитов в 2 раза приведет к увеличению прибыли в 0,64 раза при прочих неизменных условиях.

 

3. Регрессионный анализ

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 2.5 – 2.7.

^{Таблица 2.5}

Регрессионная статистика
№	Принятые наименования	формула	Результат
1	Коэффициент множественной  корреляции		0,828
2	Коэффициент детерминации, R2		0,685
3	Скорректированный R2		0,595
4	Стандартная ошибка		12,05
5	Количество наблюдений	n	10

 

^{Таблица 2.6.}

	df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS	F-критерий Фишера
Регрессия	k=2
Остаток	n – k – 1=7
Итого	N – 1 =9

 

^{Таблица 2.7.}

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y – пересечение   Ставка по депозитам   Внутрибанковские расходы	-19,08   0,32   0,74	20,294   0,240   0,353	-0,940   1,3352   2,099

 

Пояснения к таблице 2.7. Во втором столбце содержаться коэффициенты уравнения регрессии b₀, b₁, b. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

 

Частные коэффициенты эластичности единицы, следовательно, их влияние на результативный признак Y значительно.

Определим бета-коэффициенты по формуле:

Бетта-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y  измениться зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной X_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Определим дельта-коэффициенты по формуле:

Долю влияния фактора  в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов.

 

 

4 Оценка качества модели

В таблице 2.8 приведены  вычисленные по модели значения  Y и значения остаточной компоненты.

^{Таблица 2.8.}

 

Вывод остатков
Наблюдение	Предсказанное	Остатки
1	37,19	2,81
2	42,71	1,29
3	51,01	-23,01
4	51,20	0,80
5	46,87	3,13
6	51,69	12,31
7	75,19	-5,19
8	74,99	-6,99
9	78,60	-0,60
10	74,55	15,45

 

Проверку независимости  проведем с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона.

В качестве критических  табличных уровней при N = 10 двух объясняющих факторов при уровне значимости в 5% возьмем величины d = 0,7 и d = 1,64.

Так как полученное значение критерия попало в интервал от d₂ до 2, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции.

Вычислим для модели коэффициент детерминации.

.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 69% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Значение коэффициента детерминации находится в таблице 2.5.

Проверку значимости уравнения  регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера: .

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице 2.6.

Так как F_рас > F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

5 Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии

Значимость коэффициентов  уравнения регрессии b₀, b₁, b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента. Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (10 – 2 – 1 = 7) составляет 2,36.

 

Так как расчетные значения t-критерия меньше табличного, можно сделать вывод об отсутствии статистической значимости параметров уравнения регрессии.

 

6 Определение точечных и интервальных  прогнозных оценок объема прибыли 

Построим точечный и  интервальный прогнозы на 2 шага вперед на основе приростов от фактически достигнутого уровня.

Средний абсолютный прирост  Х₂:

Х₂¹¹=98+4,222=102,222

Х₂¹²=102,222+4,222=106,444

**Прогноз рассчитывается при неизменности прочих условий на протяжении всех наблюдений мы видим прирост параметра Х2 то есть для прогнозирования на 11 и 12 наблюдение его значения составят 102,222 и 106,444 соответственно

Средний абсолютный прирост  Х₃:

Х₃¹¹=84+3,778=87,778

Х₃¹²=87,778+3,778=91,556

*Аналогично параметру Х2 получаем прогнозируемые значения для Х3

Подставим полученные значения в уравнение регрессии:

Y₁₁ = -19,08 + 0,32 * 102,222 + 0,72 * 87,778=76,83

Y₁₂ = -19,08 + 0,32 * 106,444 + 0,72 * 91,556=80,9