ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ 

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ  ОБРАБОТКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ  ИНФОРМАЦИИ 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине «Эконометрика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Архангельск 2011 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Задача 1……………………………………………………………

 

2. Список  используемой литературы………………………………

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).

 

    Требуется:

    1. Найти параметры уравнения линейной  регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

    2. Вычислить остатки; найти остаточную  сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S_Е², построить график остатков.

    3. Проверить выполнение предпосылок  МНК.

    4. Осуществить проверку значимости  параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

    5. Вычислит коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения  регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

    6. Осуществить прогнозирование среднего  значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

    7. Представить графически: фактические  и модельные значения Y, точки прогноза.

    8. Составить уравнения нелинейной  регрессии:

    - гиперболической;

    - степенной;

    - показательной.

    Привести  графики построенных уравнений  регрессии.

    9. Для указанных моделей найти  коэффициенты детерминации и  средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 
 

    Решение

    Находим параметры а₁ и а₀ уравнения линейной регрессии у = а₀ + а₁х  методом наименьших квадратов:

     na₀ + a₁ åx = åy

          a₀ åx + a₁ åx² = åxy

    Расчеты представлены в таблице 1.

     10 а₀ + 685 а₁ = 1121                       ·68,5

    685 а₀ + 47675 а₁ = 77845               

     685 а₀ + 46922,5 а₁ = 76788,5

    685 а₀ + 47675 а₁ = 77845

    -752,5 а₁ = -1056,5

    а₁ = 1,404

    

    Уравнение линейной регрессии:

    у = 15,927 + 1,404 х

    Коэффициент регрессии а₁ = 1,404 показывает, что возрастание объема капиталовложений на 1 млн. руб. приводит к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 1,404 млн. руб.

 

    

    Таблица 1

 

    

    Остатки рассчитываем по формуле:

    E_t = у - у_расч.

    (см. графу 7 таблицы 1).

    Остаточная  сумма квадратов:

    S_ост = å(у - у_расч.)² = å E_t ² = 297,588

    Дисперсия остатков:

    

    

    Рис.1. График остатков 

    Проверим выполнение предпосылок МНК.

    Оценим  адекватность линейной модели.

    1) Проверим случайность остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек):

    

    Получили  шесть поворотных точек (см. графу 8 таблицы 1), т.е. m = 6.

    

    m > 2 Þ свойство выполняется; значения остатков случайные.

    2) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона (критические уровни: d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36):

    

    d₂ < d_расч < 2  Þ свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует.

    3) Проверим нормальность распределения остатков по R/S-критерию (критические уровни: 2,76 – 3,57):

    

    E_max = 10,257; E_min = -7,783

    

    

    Т.к. значение R/S-критерия попадает в интервал 2,76 – 3,57, то свойство выполняется; остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения.

    4) Проверим равенство математического ожидания уровней ряда остатков нулю по критерию Стьюдента (критический уровень t_табл.=2,31 определили по таблице значений t-критерия Стьюдента для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы df=n-2=10-2=8):

    

    

    

    Т.к. t_расч. < t_табл., то свойство выполняется; гипотеза о том, что математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю, принимается.

    Таким образом, последовательностью остатков выполняются все свойства по выбранным критериям, следовательно, можно сделать вывод о том, что линейная модель у = 15,927 + 1,404 х является адекватной. 

    Для оценки гетероскедостичности применим метод Гольдфельда-Квандта:

    Упорядочим  наблюдения по мере возрастания переменной х, разделим совокупность на две части, для каждой части определим уравнение регрессии и остаточную сумму квадратов отклонений (расчеты в таблице 2).

    Таблица 2

 

     5 а₀ + 310 а₁ = 516                       ·62

    310 а₀ + 19524 а₁ = 32408               

     310 а₀ + 19220 а₁ = 31992

    310 а₀ + 19524 а₁ = 32408

    -304 а₁ = -416

    а₁ = 1,368

    

    у₁ = 18,358 + 1,368 х

    S_{ост 1} = å(у - у_расч.1)² = å E_t ² = 205,540 

     5 а₀ + 375 а₁ = 605                       ·75

    375 а₀ + 28151 а₁ = 45437               

     375 а₀ + 28125 а₁ = 45375

    375 а₀ + 28151 а₁ = 45437

    -26 а₁ = -62

    а₁ = 2,385

    

    у₂ = -57,848 + 2,385 х

    S_{ост 2} = å(у - у_расч.2)² = å E_t ² = 66,158

    Находим критерий Фишера:

    

    F_расч < F_табл = F_{a = 0,05; 1; 3} = 10,13 → гетероскедастичность отсутствует.

    Осуществить проверку значимости параметров уравнения  регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

    

    где S_aj – стандартная ошибка параметра a_j.

    

    где

    

    

    где

    

    где S_y – стандартная ошибка отклонений

    

    

    

    

    

    Критическое значение t-критерия: t_{a=0,05; 8} = 2,31.

    t_a0 < t_{a=0,05; 8} → параметр а₀ не является значимым.

    t_a1 > t_{a=0,05; 8} → параметр а₁ является значимым.

    Определим индекс корреляции (или линейный коэффициент  парной корреляции):

    

    Т.е. связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая и очень тесная.

    Коэффициент детерминации:

    R² = r_yx² = 0,913² = 0,833

    Т.е. 83,3% изменения объема выпуска продукции объясняется изменением объема капиталовложений.

    Коэффициент эластичности: 

    

    При увеличении фактора х – объема капиталовложений - на 1% от своего среднего значения результат у – выпуск продукции - увеличивается на 0,86% от своего среднего значения.

    Средняя относительная ошибка аппроксимации:

     %

    Т.е. в среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических на 4,2%. Т.к. S < 5%, то модель очень точная.

    F-критерий  Фишера:

    

    F_табл = F_{a = 0,05; 1; 8} = 5,32

    F_расч > F_табл Þ уравнение статистически значимо.

    Таким образом, модель является качественной.

    Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

    х_{прогноз.} = 0,8 · х_max = 0,8 · 79,0 = 63,2 (млн. руб.)

    у_{прогноз.} = 15,927 + 1,404 · 63,2 = 104,66 (млн. руб.) – точечный прогноз

    Интервальный  прогноз находим следующим образом:

    у_{прогноз.} ± t_α,ν · S_прогн.

    t_α,ν = 1,86 – табличное значение t-критерия Стьюдента;

    S_прогн. – средняя квадратическая ошибка прогноза;

    t_α,ν · S_прогн. – ширина доверительного интервала.

    

    где S_y – среднее квадратическое отклонение

    

    где р – количество параметров модели.

    

    104,66 ± 1,86 · 6,504

    104,66 ± 12,10

    (92,56 – 116,76) – интервальный прогноз.

    

    Рис.2. Фактические уровни и линейная модель 
 
 
 

    Построим  степенную модель:

    у = а₀  х^а₁

    Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования (расчеты в таблице 3).

    Таблица 3

 

    lg y = lg (a₀ x^a₁)

    lg y = lg a₀  + lg x^a₁

    lg y = lg a₀  + a₁ lg x

    a = lg a₀

    lg y = a  + a₁ lg x

     na + a₁ å lg x = å lg y

    a å lg x + a₁ å lg² x = å (lg x lg y)

     10 a + 18,3187 а₁ = 20,4630                   ·1,83187

    18,3187 a + 33,5923 а₁ = 37,5148          

     18,3187 a + 33,5575 а₁ = 37,4866

    18,3187 a + 33,5923 а₁ = 37,5148

    -0,0348 а₁ = -0,0292

    а₁ = 0,8404

    

    lg a₀ = 0,5069 Þ a₀ = 10^0,5069 = 3,213

    Уравнение степенной модели:

    у = 3,213 х^0,840

    Коэффициент детерминации:

    

    Т.е. 83,0% изменения объема выпуска продукции объясняется изменением объема капиталовложений.

    Коэффициент эластичности: 

    

    При увеличении фактора х – объема капиталовложений - на 1% от своего среднего значения результат у – выпуск продукции - увеличивается на 0,84% от своего среднего значения.

    Средняя относительная ошибка аппроксимации:

     %

    Т.е. расчетные значения для степенной модели в среднем отличаются от фактических на 4,25%. Т.к. S < 5%, то модель точная.

    

    Рис.3. Фактические данные и степенная  модель 
 
 
 
 

    Построим  показательную функцию:

    у = а₀ а₁^х

    Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения (расчеты в таблице 4).

    Таблица 4