Контрольная работа по "Эконометрике". 100

 
 

Контрольная работа

по  Эконометрике 

Вариант № 9 

 

     Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области  

     Задание по эконометрическому  моделированию стоимости квартир в Московской области.

     1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов  корреляции; оцените статистическую  значимость коэффициентов корреляции.

     2. Постройте поле корреляции результативного  признака и наиболее тесно  связанного с ним фактора.

     3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов X.

     4. Оцените качество каждой модели  через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

     5. Осуществите прогнозирование для  лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0.1, если прогнозное значение фактора Y составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.

     6. Используя пошаговую множественную  регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

     7. Оцените качество построенной  модели. Улучшилось ли качество  модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

 

      Таблица 2

     Наименования  показателей

 

     Таблица 3

     Исходные  данные для эконометрического моделирования  стоимости квартир

 

     Решение

     1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов  корреляции; оцените статистическую  значимость коэффициентов корреляции.

     Используем  инструмент Корреляция (Анализ данных в EXCEL)

     Вводим  исходные данные. Фрагмент исходного  рабочего листа Excel представлен на рис. 1.

     Рис. 1. Фрагмент исходного рабочего листа  Excel

     Выбираем  команду Сервис Þ Анализ данных.

     В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Корреляция, а затем щелкаем на кнопке ОК.

     Заполняем диалоговое окно Корреляция (рис. 2).

     

     Рис. 2. Диалоговое окно Корреляция

     Результат корреляционного анализа представлен  на рис. 3. и в таблице 4

     

     Рис. 3. Результат корреляционного анализа 

 

      Таблица 4

 

     Оценим  статистическую значимость  коэффициентов корреляции с помощью F-критерия Фишера:

     Рассчитываем  наблюдаемые значения критерия:

     

     Рассчитанные  значения F-критерия Фишера представлены в таблице:

     Таблица 5

     Рассчитанные  значения F-критерия Фишера

 

     Критическое значение критерия находим по таблице:

     F_кр = F(1-a, 1, n-2)

     для a = 0,05 и n = 40

     F_кр = F(0,95, 1, 38) = 4,04

     Таким образом значимыми являются следующие  коэффициенты корреляции: г_ух1, r_x2x3. 

     2. Постройте поле корреляции результативного  признака и наиболее тесно связанного с ним фактора (Х4). Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel. 

     

     Рис. 4. Поле корреляции 

     3. Рассчитайте параметры линейной  парной регрессии для всех  факторов X.

     Для этого используем инструмент Регрессия.

     Исходные  данные для регрессионного анализа  представлены на рис. 1.

     Для Х4:

     Выбираем  команду Сервис Þ Анализ данных.

     В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия, а затем щелкаем на кнопке ОК.

     Заполняем диалоговое окно Регрессия (рис. 5).

     

     Рис. 5. Диалоговое окно Регрессия

     Результат регрессионного анализа представлен  на рис. 6.

Рис. 6. Результаты регрессионного анализа

     Таким образом получили линейную модель регрессии:

     Y(X4) = -1,30173 + 2,396718×X4

     Аналогично  находим уравнения регрессии  для факторов Х5 и Х6.

     Y(X5) = 80,34288 + 1,88757×X5

     Y(X6) = 33,37295 + 5,994758×X6 

     4. Оцените качество каждой модели  через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

     Коэффициенты  детерминации и F-критерий Фишера получаем из протоколов регрессионного анализа MS Excel. 

      Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:

,

Таблица 6

 

     Занесем полученные результаты в сводную  таблицу:

     Таблица 7

 

     Лучшей  является модель с фактором Х4, так  как она имеет наибольшие значения коэффициента детерминации и F-критерия Фишера и наименьшее значение средней ошибки аппроксимации. 

     5. Осуществите прогнозирование для  лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0.1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.

     Используем  лучшую модель Y(X4) = -1,30173 + 2,396718×X4

     Находим прогнозное значение фактора X4:

     Х_пр = Х_max*0,8 = 84*0,8 = 67,2

     Находим точечный прогноз результирующего  фактора Y, подставив прогнозное значение фактора в уравнение регрессии:

     Y(67,2) = -1,30173 + 2,396718×67,2 = 159,758

      Ширина  доверительного интервала находится по формулам:

  , где

t_α=1,305 при n=40 и α=0,1

Необходимые расчеты производим в таблице 8

Таблица 8

 

= 29,374

 

39,964

Таблица 9

 
      

1. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на рис. 7.

Рис. 7. Фактические, модельные значения и точки прогноза 

     6. Используя пошаговую множественную  регрессию (метод исключения или  метод включения), постройте модель  формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

     Используем  метод исключения. Он основан на последовательном исключении факторов с помощью t -критерия. Она заключается  в том, что после построения уравнения  регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьший коэффициент доверия t. После этого получают новое уравнение множественной регрессии и снова производят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Если среди них опять окажутся незначимые, то опять исключают фактор с наименьшим значением t-критерия. Процесс исключения факторов останавливается на том шаге, при котором все регрессионные коэффициенты значимы.

     Построим  линейную модель множественной регрессии  со всеми факторами.

     Для этого используем инструмент Регрессия.

     Исходные  данные для регрессионного анализа  представлены на рис. 1.

     Выбираем  команду Сервис Þ Анализ данных.

     В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия, а затем щелкаем на кнопке ОК.

     Заполняем диалоговое окно Регрессия (рис. 8).

     

     Рис. 8. Диалоговое окно Регрессия

     Результат регрессионного анализа представлен  на рис. 9.

Рис. 6. Результаты регрессионного анализа

     Таким образом получили линейную модель регрессии:

     Y(X) = -12,072 + 2,375994Х4 + 1,371439Х5 + 0,191218Х6

     Оценим  с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

     Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а₁, а₂, а₃ приведены в четвертом столбце таблицы протокола Excel (рис. 6):

     Значения t –критерия представлены в таблице:

     Таблица 10

 

     Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (рис. 7)

Рис. 7. Определение  табличного значения t-критерия Стьюдента 

     t_табл = 2,024

     Так как |t_расч| > t_табл, то коэффициент а₁ существенен (значим).

     Для остальных коэффициентов |t_расч| < t_табл, следовательно коэффициенты а₂, а₃ несущественны (незначимы).

     Исключаем фактор Х6 с наименьшим значением t_a3 = 0,083987749

     Построим  уравнение множественной регрессии  в линейной форме с оставшимся набором факторов.

     Для этого используем инструмент Регрессия.

     Результаты  регрессионного анализа приведены на рис. 8

Рис. 8. Результаты регрессионного анализа

     Таким образом получили линейную модель регрессии:

     Y(X) = -10,7326 + 2,382565Х4 + 1,417244Х5

     Оценим  с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

     Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а₁, а₂, а₃ приведены в четвертом столбце таблицы протокола Excel (рис. 8):

     Значения t –критерия представлены в таблице:

     Таблица 11

 

     Так как |t_расч| > t_табл, то коэффициент а₁ существенен (значим).

     Для коэффициента а₂ |t_расч| < t_табл, следовательно коэффициент а₂ несущественен (незначим).

     Исключаем незначимый фактор Х5.

     В результате получаем однофакторную  модель, рассчитанную выше в п.3-5.

     Дадим экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии Y(X4) = -1,30173 + 2,396718×X4

     Коэффициент а₀ = -1,30173 экономического значения не имеет;

     Коэффициент а₁ = 2,396718 означает, что с увеличением жилой площади квартиры на 1 кв.м. цена квартиры в среднем возрастает на 2,396718 тыс. долл. и наоборот. 

     7. Оцените качество построенной  модели. Улучшилось ли качество  модели по сравнению с однофакторной  моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

     Качество  построенной модели оценено выше в п. 3-5. Уравнение регрессии следует  признать адекватным, модель считается  значимой.

     Так как построенная модель оказалась однофакторной, следовательно качество ее не улучшилось.

     Определим коэффициенты

     - средние коэффициенты эластичности  рассчитываются по формулам:

     

     Расчет  средних значений приведен в таблице:

     Таблица 12