Контрольная работа по "Эконометрике". 101

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

 

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Кафедра экономико-математических моделей и методов

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Эконометрика

 

Вариант№ 9

 

 

 

 

 

Выполнила студентка 

Факультета ФиК по

Специальности БЭБ

Личное дело № 11ФЛБ01219

Швалева Кристина Юрьевна

                                                    Проверил:

Хусаинова З.Ф.

 

 

 

Уфа 2013

 

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Вариант для  самостоятельной работы

Таблица 1

Номер варианта	Исследуемые факторы	Номера наблюдений
9	Y, Х4, Х5, Х6	1-40

 

Задание по эконометрическому  моделированию стоимости квартир в Московской области

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции Y c X.
2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для фактора X, наиболее тесно связанного с Y.
4. Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
5. По модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости  , если прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения. Представьте графически фактические и модельные значения, точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ - коэффициентов.

 

 

Наименования  показателей

Таблица 2

Обозначение	Наименование  показателя	Единица измерения
Y	Цена квартиры	Тыс. долл.
Х4	Жилая площадь квартиры	кв.м
Х5	Этаж квартиры
Х6	Площадь кухни	кв.м

 

Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

Таблица 3

Номер наблюдения	Y	Х4	Х5	Х6
1	115	51,4	9	7
2	85	46	5	10
3	69	34	6	10
4	57	31	1	9
5	184,6	65	1	9
6	56	17,9	2	7
7	85	39	12	8,3
8	265	80	10	16,5
9	60,65	37,8	11	12,1
10	130	57	6	6
11	46	20	2	10
12	115	40	2	7
13	70,96	36,9	5	12,5
14	39,5	20	7	11
15	78,9	16,9	14	13,6
16	60	32	11	12
17	100	58	1	9
18	51	36	6	12
19	157	68	2	11
20	123,5	67,5	12	12,3
21	55,2	15,3	9	12
22	95,5	50	6	12,5
23	57,6	31,5	5	11,4
24	64,5	34,8	10	10,6
25	92	46	9	6,5
26	100	52,3	2	7
27	81	27,8	3	6,3
28	65	17,3	5	6,6
29	110	44,5	10	9,6
30	42,1	19,1	13	10,8
31	135	35	12	10
32	39,6	18	5	8,6
33	57	34	8	10
34	80	17,4	4	8,5
35	61	34,8	10	10,6
36	69,6	53	4	12
37	250	84	15	13,3
38	64,5	30,5	12	8,6
39	125	30	8	9
40	152,3	55	7	13

 

Решение. 
     1. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции и оценим значимость коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента.

     Чтобы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции скопируем таблицу с исходными данными в Excel. Далее воспользуемся инструментом Корреляция, входящим в настройку Анализ данных.

     В диалоговом  окне Корреляция в поле Входной  интервал вводим диапазон ячеек, содержащих исходные данные.

     Получили  следующие результаты:

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов корреляции

	Y	Х4	Х5	Х6
Y	1
Х4	0,82639	1
Х5	0,146383	0,044399	1
Х6	0,277274	0,274037	0,413008	1

Для оценки значимости коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента запишем формулу:

- значение фактора в i-том опыте;

- среднее значение фактора;

- значение случайной величины  в i-том опыте;

- среднее значение случайной  величины.

а) определим значимость :

Проверим нуль-гипотезу:

?

Нуль-гипотеза подтвердилась, значит данный коэффициент корреляции статистически значим.

б) определим значимость :

Проверим нуль-гипотезу:

?

Нуль-гипотеза не подтвердилась, значит данный коэффициент корреляции статистически не значим.

в) определим значимость :

Проверим нуль-гипотезу:

?

Нуль-гипотеза не подтвердилась, значит данный коэффициент корреляции статистически не значим.

 

Т.к. значим , то далее будем использовать х3, как наиболее тесно связанного с фактором у.

2. Построим  поле корреляции результативного  признака (стоимости квартиры)  и  наиболее тесно связанного с  ним фактора (жилой площади квартиры).

     Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel.

     В результате получаем  поле корреляции цены квартиры, тыс. долларов и жилой площади квартиры, кв. м. (рисунок 1)

Рисунок 1

Так как точки с жилой площадью квартиры >70 кв.м сильно отличаются от остальных, то их можно заподозрить в аномальности.

Можно предположить слабую линейную зависимость между у и х4.

                                                     

     3.  Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного с Y.

- вектор, искомых коэффициентов  (b0,b1,b2,…,bn).

- матрица планирования опытов,

- элементы матрицы.

Используем матричную  форму МНК. Матричные операции выполним с помощью Excel, для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в настройку Анализ данных.

В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y  вводим адрес диапазона ячеек, которые представляют зависимую переменную, т.е цена квартир (Y). В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения зависимых переменных, т.е. жилая площадь квартиры (Х4).

                                                                                Таблица 5                              

 

 Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры имеет вид: .

4. Оценим качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.     Коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации мы получили в результате расчетов, проведенных в пункте 3. Полученные данные представлены в следующей таблице:

                                                                                                Таблица 6

а)  Коэффициент детерминации определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием не него фактора Х. Чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели.

В программе Excel обозначается R-квадрат: R² = 0,6829 и означает, что на 68,29% х4 формирует значение у, и на 31,71% - случайное воздействие, в том числе и незафиксированные х5 и х6.

б)  Средняя ошибка аппроксимации оценивает среднюю ошибку расчета по уравнению регрессии и рассчитываем ее по формуле:

где ei – i-тое значение остатков. В таблицах она находится в столбце Остатки.

Таблица 7

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	y	ei/yi
1	121,8896	-6,889580096	115	-0,05991
2	108,9473	-23,94730278	85	-0,28173
3	80,18669	-11,18668651	69	-0,16213
4	72,99653	-15,99653244	57	-0,28064
5	154,4849	30,1150548	184,6	0,163137
6	41,59953	14,40047365	56	0,257151
7	92,17028	-7,170276621	85	-0,08436
8	190,4357	74,56428447	265	0,281375
9	89,29421	-28,64421499	60,65	-0,47229
10	135,3112	-5,31120102	130	-0,04086
11	46,63263	-0,6326342	46	-0,01375
12	94,56699	20,43300536	115	0,177678
13	87,13717	-16,17716877	70,96	-0,22798
14	46,63263	-7,1326342	39,5	-0,18057
15	39,20281	39,69719167	78,9	0,503133
16	75,39325	-15,39325047	60	-0,25655
17	137,7079	-37,70791904	100	-0,37708
18	84,98012	-33,98012255	51	-0,66628
19	161,6751	-4,675099264	157	-0,02978
20	160,4767	-36,97674025	123,5	-0,29941
21	35,36806	19,8319405	55,2	0,359274
22	118,5342	-23,03417486	95,5	-0,2412
23	74,19489	-16,59489146	57,6	-0,28811
24	82,10406	-17,60406093	64,5	-0,27293
25	108,9473	-16,94730278	92	-0,18421
26	124,0466	-24,04662632	100	-0,24047
27	65,32703	15,67296523	81	0,193493
28	40,1615	24,83850446	65	0,382131
29	105,3522	4,647774257	110	0,042252
30	44,47559	-2,375587981	42,1	-0,05643
31	82,5834	52,41659547	135	0,388271
32	41,8392	-2,239198156	39,6	-0,05655
33	80,18669	-23,18668651	57	-0,40678
34	40,40117	39,59883266	80	0,494985
35	82,10406	-21,10406093	61	-0,34597
36	125,7243	-56,12432893	69,6	-0,80638
37	200,0226	49,97741238	250	0,19991
38	71,79817	-7,298173433	64,5	-0,11315
39	70,59981	54,40018558	125	0,435201
40	130,5178	21,78223502	152,3	0,143022
Итого	3746,01	-3,69482E-13	3746,01	-2,42446

При проведении экономических  расчетов модель считается достаточно точной, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 5%, модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 10%, и грубой свыше 20%.

По данному критерию, модель является приемлемой.

в)  Для проверки значимости модели регрессии используется F-тест. Для этого выполняется сравнение F_факт. и критического (табличного)  F_табл. Значений критерия Фишера.

Расчетные значения приведены в таблице 6 (обозначены буквой F).

Табличное значение F-критерий Фишера рассчитываем в Excel  с помощью функции FРАСПОБР.  Вероятность ,  число степеней свободы:  f₁ =k-1=2-1=1,    f₂ =N-k=40-2=38.

Получили:    F_табл. = 4,098

Расчетные значения критерий Фишера для фактора сравним с табличным  значением:

F_х4 = 81,84 > F_табл. = 4,098, следовательно уравнение регрессии статистически значимо.

Проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что модель, построенная для фактора жилая площадь квартиры, которая описана уравнением , адекватна.

5. По модели зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры осуществим  прогнозирование среднего значения показателя    Y       при уровне значимости     ,     если прогнозное значение фактора   Х   составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем точечное прогнозное значение  Х, по условию оно составит 80% от максимального значения.

       Х_4max = 84 кв.м

       Х_4.0 = 0,8 * 84 = 67,2 кв.м

Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим  полученное значение независимой переменной в линейное уравнение:

        Y_4.0 = -1,3+2,4* 67,2= 159,98тыс.долл.

Для вычисления доверительного интервала для прогнозного значения,  рассчитываем величину отклонения от линии регрессии. Для модели парной регрессии величина отклонения рассчитывается:

- СКО для , т.е. значение стандартной ошибки из таблицы 6,

Определим доверительный  интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:

        y_p (N + l) + U(l)

         y_p (N + l) – U(l)

Определим верхнюю и  нижнюю границы интервала:

159,98 + 49,52= 209,5

159,98 – 49,52 = 110,46

Таким образом, прогнозное значение  = 159,98 тыс.долл., будет находиться между нижней границей, равной 110,46 тыс.долл. и верхней границей, равной  209,5 тыс.долл.

Фактические и модельные значения, точки прогноза представлены графически на рисунке 2.

Рисунок 2

6. Используя  пошаговую множественную регрессию (метод исключения), построим модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов.

Так как при оценке значимости коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента (задание1) статистически  значимым оказался только Х4, следовательно построения множественной регрессии не понадобится.

7. Оценка качества  построенной модели.

Для оценки значимого  фактора полученной математической модели, рассчитаем коэффициенты эластичности,  и - коэффициенты.

Наибольшее воздействие  на цену квартиры оказывает величина жилой площади (Х4).

Для данного уравнения  регрессии средний коэффициент  эластичности показывает что при  изменении х4 на 1% в долях от его среднего значения, стоимость квартиры у возрастет на 1,02% в долях от его среднего значения.

- коэффициент показывает, на  какую часть величины среднего  квадратического отклонения меняется  среднее значение зависимой переменной  с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

   ,

Значение и рассчитываем в Excel  с помощью функции СТАНДОТКЛОН. и

- коэффициент определяет долю  влияния фактора в суммарном  влиянии всех факторов (таб.6):

 

Здесь – коэффициент парной корреляции между j-м фактором и зависимой переменой Y; – коэффициент детерминации.

 

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

     В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен ниже в таблице

Номер наблюдения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
45	43	40	36	38	34	31	28	25

 

     Требуется:

     1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

     2) Построить  линейную модель    , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

      3) Оценить адекватность построенных модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные 2,7 – 3,7).

     4) Оценить  точность моделей на основе  использования средней относительной ошибки аппроксимации.

     5) Осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал  прогноза рассчитать при доверительной  вероятности  р = 70%).

     6) Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования представить графически.

   

     Решение:

     1) Проверим наличие аномальных  наблюдений

      Результаты  расчетов приведены в таблице  2.1.

                                                                                                                 Таблица 2.1

t	y
1	45				9,444444	89,19753
2	43	-2	2	-0,29718	7,444444	55,41975
3	40	-3	3	-0,44577	4,444444	19,75309
4	36	-4	4	-0,59435	0,444444	0,197531
5	38	2	2	0,297177	2,444444	5,975309
6	34	-4	4	-0,59435	-1,55556	2,419753
7	31	-3	3	-0,44577	-4,55556	20,75309
8	28	-3	3	-0,44577	-7,55556	57,08642
9	25	-3	3	-0,44577	-10,5556	111,4198
Сумма	320					362,2222

     Сравним  расчетное значение  с табличным значением ( _табл.= 1,5).

Все расчетные значения <  _табл., следовательно, аномальных значений во временном ряду нет.

     2)  Построим линейную модель 

    

- вектор, искомых коэффициентов  (b0,b1,b2,…,bn).

- матрица планирования опытов,

- элементы матрицы.

Используем матричную  форму МНК. Матричные операции выполним с помощью Excel, для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в настройку Анализ данных.  В качестве входного интервала Y берем значения спроса на кредитные ресурсы финансовой компании, в качестве входного интервала Х – номера наблюдений.

      Результаты  приведены в таблицах:

                                                                                    Таблица 2.2а

Таблица 2.2б

Уравнение линейной модели будет иметь вид:   

     3) Оценим адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

     Модель  является адекватной, если математическое  ожидание значений остаточного  ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного  ряда случайны, независимы и подчинены  нормальному закону распределения.

    а)  При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей 

(с помощью d – критерия  Дарбина-Уотсона).

                                                                                                                Таблица  2.3

Таблица для вычисления d-критерия

Наблюдение	Y расчетное	Отклонение Е(t)	Е(t) – Е(t-1)	(E(t) – E(t-1))2	E(t)2
1	45,22222	-0,222222222			0,049383
2	42,80556	0,194444444	0,416667	0,173611	0,037809
3	40,38889	-0,388888889	-0,58333	0,340278	0,151235
4	37,97222	-1,972222222	-1,58333	2,506944	3,88966
5	35,55556	2,444444444	4,416667	19,50694	5,975309
6	33,13889	0,861111111	-1,58333	2,506944	0,741512
7	30,72222	0,277777778	-0,58333	0,340278	0,07716
8	28,30556	-0,305555556	-0,58333	0,340278	0,093364
9	25,88889	-0,888888889	-0,58333	0,340278	0,790123
СУММА	320	-1,77636E-14		26,05556	11,80556

(Значения остатков взяты из таблицы 2.2б).

Зададим уровень значимости равной 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона  для числа n = 9 и числа независимых переменных модели k = 1 критическое значение d₁ = 0,82 и  d₂ = 1,32

     Так как d попало в интервал от 2 до 4, то вычисляем :

    = 4 – 2,21 = 1,79

     Так как    попало в интервал d₂ = 1,32< d’ = 1,79 < 4 – d₂ =2,68 , значит автокорреляция остатков отсутствует.

      б)  Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

     В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

     p >

     p > =

Количество поворотных точек равно 4 (рисунок 2.1). Первая часть неравенства равна 2,45. Неравенство выполняется: 4 > 2,45, следовательно, свойство случайности выполняется.

Модель по этому критерию адекватна.

                                              Рисунок 2.1

     в)  Соответствие  ряда остатков нормальному закону  распределения определим при  помощи RS-критерия.

                 RS = [ E_max - E_min] / S_E

     E_max – максимальный уровень ряда остатков = 2,44

     E_min – минимальный уровень ряда остатков = -1,97

     S_E - среднее квадратичное отклонение

RS = [2,44– (-1,97)] / 4,174 = 1,056

     Расчетное  значение не попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, свойство нормальности распределения остатков не выполняется. 

     4) Оценим точность модели на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации. 

     Среднюю относительную ошибку аппроксимации рассчитаем по формуле:

     Построим  расчетную таблицу:

                                                                                                   Таблица 2.4

t	y	E(t)	|E(t)|
1	45	-0,222222222	0,222222	0,004938
2	43	0,194444444	0,194444	0,004522
3	40	-0,388888889	0,388889	0,009722
4	36	-1,972222222	1,972222	0,054784
5	38	2,444444444	2,444444	0,064327
6	34	0,861111111	0,861111	0,025327
7	31	0,277777778	0,277778	0,008961
8	28	-0,305555556	0,305556	0,010913
9	25	-0,888888889	0,888889	0,035556
Итого	320	-1,77636E-14		0,21905