Контрольная работа по "Эконометрике". 99

Министерство  общего и профессионального  образования

Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

   Кафедра Теории рынка 
 
 
 
 
 

   Контрольная работа

   по  эконометрике 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: Семенова Светлана

Специальность: финансы и кредит

Факультет: Бизнеса

Группа ДЭ-928

Шифр: 681920002 
 
 
 
 

Преподаватель: Тимофеев В.С. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Новосибирск 2011

Построить модель связи между  указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный и интервальный прогноз.

1. Исходные данные нанести на координатную плоскость и сделать предварительное заключение о наличии связи. Между факторами Х и Y, а также о её виде (прямая или обратная) и форме (линейная или нелинейная).

         таб.1                                                                                                         диагр.1

      Вывод: Из диаграммы 1 видно, что связь между  факторами Х и Y

обратная  сильная линейная связь. 

2.Рассчитайте парный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость полученного коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами Х и Y.

таб.2

2.1. Проверим  тесноту связи между факторами,  рассчитаем ЛКК: 

;    

Вывод: по шкале Чеддока связь сильная. 

2.2 Проверим статистическую значимость ЛКК по критерию Стьюдента: 

По таблице  Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Вывод: Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.

В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. 
 

3.  Полагая, что связь между факторами Х и Y может быть описана линейной функцией, запишите соответствующее  уравнение этой зависимости. Вычислите оценки неизвестных параметров уравнения парной регрессии по методу наименьших квадратов. Дайте интерпретацию полученных результатов.

Вывод: Коэффициент регрессии а₁ = -3.2 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -3.2.

Коэффициент a₀ = 101.46 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация  может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие  значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного  показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии а₁ (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная. 

4. Проверьте значимость всех параметров модели по t-критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов постройте доверительные интервалы. Сформулируйте выводы. 

Решение:                                                                     Таб.3

Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный  интервал). 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции 

r (-1.0164;-0.9077)

Проверка  гипотез относительно коэффициентов линейного  уравнения регрессии.

• t-статистика. Критерий Стьюдента.

С помощью  МНК я получила лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов  регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные  интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности использую  статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигаю гипотезу о незначимом отличии от нуля  параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой  выдвигаю альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим  гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0,05.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение  t-критерия (его еще называют наблюдаемым  или фактическим) сравнивается с  табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).

Табличное значение определяется в зависимости  от уровня значимости (α) и числа  степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если  фактическое значение  t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что  с вероятностью (1-α) параметр или  статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если  фактическое значение  t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет  оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо  отличается от нуля при уровне значимости α.

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 
 

Поскольку 9.97  >  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве  нулю этого коэффициента). 
 

Вывод: Поскольку 45.72  >  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). 

5. Проверьте адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия Фишера-Снедекора. Сформулируйте выводы. 

Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка  значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если  расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. 

где m –  число факторов в модели.

Оценка  статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается  нулевая гипотеза о том, что  уравнение в целом статистически  незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяю фактическое значение F-критерия: 
 

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное  значение определяется по таблицам  распределения Фишера для заданного  уровня значимости, принимая во  внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если  фактическое значение F-критерия  меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном  случае, нулевая гипотеза отклоняется  и с вероятностью (1-α) принимается  альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Вывод: Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой  Стьюдента выражается равенством: 
 

6. Дисперсионный анализ.

При анализе  качества модели регрессии используется теорема о разложении дисперсии, согласно которой общая дисперсия  результативного признака может  быть разложена на две составляющие – объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии.

Задача  дисперсионного анализа состоит  в анализе дисперсии зависимой  переменной:

∑(y_i - y_cp)² = ∑(y(x) - y_cp)² + ∑(y - y(x))²

где

∑(y_i - y_cp)² - общая сумма квадратов отклонений;

∑(y(x) - y_cp)² - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

 ∑(y - y(x))² - остаточная сумма квадратов отклонений. 

7. Выберите прогнозную точку х^п в стороне от основного массива данных. Используя уравнение регрессии, выполните точечный прогноз для величины Y в точке х^п .

Решение:

Если  х_i=12, то  

8. Рассчитайте доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результирующего признака при доверительной вероятности =95%.  

Доверительные интервалы для  зависимой переменной.

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные  значения факторов подставляют в  модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± ε)

где 

Рассчитаем  границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 7 

(101.46 -3.2*7 ± 1.85)

(77.22;80.93)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные  доверительные интервалы  для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где 
 

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов. 

Доверительный интервал для коэффициентов  уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов  регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(-3.1976 - 2.306 • 0.32; -3.1976 + 2.306 • 0.32)

(-3.9375;-2.4578)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

(101.4586 - 2.306 • 2.22; 101.4586 + 2.306 • 2.22)

(96.3411;106.5762)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. 

9. Изобразите в одной системе координат:

а) исходные данные,

б) линию регрессии,

в) точечный прогноз,

г) 95% доверительные  интервалы. 

Вывод: поскольку  98% точек наблюдения попало в 95% доверительный интервал данная модель и ее доверительные границы могут использоваться для прогнозирования с 95% доверительной вероятностью.