Контрольная работа по "Эконометрике". 3

Содержание

 

Задание 1

 

Необходимо собрать  данные (экономические показатели), должно быть не менее 10 наблюдений зависимой  переменной (Y) и независимой переменной (Х).

Требуется:

1.Построить регрессионные модели зависимости Y от Х и отобразить на графиках фактические и расчетные данные следующих моделей:

• линейной;
• степенной;
• показательной;
• гиперболической.

2.Оценить каждую модель, определив:

2.1. Характеристики модели:

• s ²  (остаточная дисперсия);
• r _XY(индекс корреляции);
• R²   (коэффициент детерминации);
• Э (коэффициент эластичности);
• b (бета-коэффициент).

2.2. Значимость уравнения множественной регрессии в целом (F-критерий Фишера).

2.3.Значимость коэффициентов  уравнения регрессии (t-критерий Стьюдента).

2.4. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок  методом наименьших квадратов (МНК):

Математическое ожидание случайной компоненты равно 0, иначе  М(ei)=0, (с помощью t-критерия Стьюдента);

Дисперсия должна быть постоянной, т.е. D (ei)= const = s ² (c помощью F-критерия Фишера);

Ковариация должна быть равна 0, иначе по формуле: cov (eI, ej) = 0 с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона (D-W)).

2.5. Найти Еотн. (среднюю относительную ошибку).

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4.Рассчитать прогнозные значения по результативной модели, если прогнозное значение фактора увеличивается на 110% относительно среднего уровня.

5. Отобразить на графике  фактические данные, результаты  расчетов и прогноз по результативной модели.

Вычисления провести с двумя знаками в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

 

Решение:

Исходные данные (таблица 1)¹:

Таблица 1 – Поголовье крупного рогатого скота и внесение органических удобрений

	Поголовье КРС	Внесение органических удобрений за год
	млн.голов	млн.тонн
Год	х	у
1997	20,59	86,1
1998	18,05	72,1
1999	17,45	69,1
2000	16,51	66
2001	15,82	59,6
2002	15,02	60,6
2003	13,49	59,9
2004	12,12	53,2
2005	11,04	49,9
2006	10,6	47,5

 

1. Линейная модель имеет вид 

Для  расчёта  коэффициентов  уравнения  линейной  регрессии  и дополнительной  статистики  применяется  функция ЛИНЕЙН (Microsoft Excel). Вручную параметры уравнения a и b, можно найти с помощью МНК решив систему нормальных уравнений для линейной модели:

Оценки    коэффициентов    уравнения    регрессии:

a= 10.58; b= 3.44

Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: у = 3,44х +10,58

Подставляя в уравнение известные значения х, получим новые расчетные значения ŷ  (таблица 2)_.

Таблица 2 – Расчетные и фактические значения по линейной модели

i	Год	х	у факт.	ŷ
1	1997	20,59	86,1	81,41
2	1998	18,05	72,1	72,67
3	1999	17,45	69,1	70,61
4	2000	16,51	66	67,37
5	2001	15,82	59,6	65,00
6	2002	15,02	60,6	62,25
7	2003	13,49	59,9	56,99
8	2004	12,12	53,2	52,27
9	2005	11,04	49,9	48,56
10	2006	10,6	47,5	47,04

На рисунке 1 представлены фактические и расчетные значения по линейной модели.

Рисунок 1 – Фактические и расчетные значения у по линейной модели

Степенная модель имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

(таблица 3)

Обозначим Y=lg y;  X = lg x;    A =lg a

Таблица 3 – Промежуточные расчеты для степенной модели

i	Год	y	Y (lg y)	x	Х (lg x)	ŷ
1	1997	86,1	1,9350	20,59	1,3137	80,04
2	1998	72,1	1,8579	18,05	1,2565	72,13
3	1999	69,1	1,8395	17,45	1,2418	70,22
4	2000	66	1,8195	16,51	1,2177	67,22
5	2001	59,6	1,7752	15,82	1,1992	64,99
6	2002	60,6	1,7825	15,02	1,1767	62,37
7	2003	59,9	1,7774	13,49	1,1300	57,30
8	2004	53,2	1,7259	12,12	1,0835	52,65
9	2005	49,9	1,6981	11,04	1,0430	48,90
10	2006	47,5	1,6767	10,6	1,0253	47,35

Уравнение   примет вид:

- линейное уравнение регрессии.

В этом случае необходимо найти значения параметров А и b, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel:

А = 0,86;  b = 0,79

Уравнение регрессии  будет иметь вид у = 0,79Х+0,86

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

у _расч. = 7,32 × х ^{0, 79}

Подставляя в уравнение  известные значения х, получим новые  значения ŷ (табл.3)_. На рисунке 2 представлены фактические и расчетные значения по степенной модели.

Рисунок 2 - Фактические и расчетные значения у по степенной модели

 

Уравнение показательной  кривой

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим  логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a + x  lg b. Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a

Получим линейное уравнение  регрессии:

Таблица 4 – Расчеты для показательной модели

i	y	Y (lg y)	х	ŷ
1	86,1	1,9350	20,59	83,42
2	72,1	1,8579	18,05	72,64
3	69,1	1,8395	17,45	70,30
4	66	1,8195	16,51	66,79
5	59,6	1,7752	15,82	64,33
6	60,6	1,7825	15,02	61,58
7	59,9	1,7774	13,49	56,66
8	53,2	1,7259	12,12	52,58
9	49,9	1,6981	11,04	49,58
10	47,5	1,6767	10,6	48,40

Рассчитаем его параметры, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel.

А = 1,4340;  В =  0,0235

Уравнение регрессии  будет иметь вид Y = 1,434+0,0235X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

ŷ = 10 ^1,434 * (10 ^0,0235) ^х

ŷ = 27,17*1,056 ^х

Подставляя в уравнение известные значения х, получим новые значения ŷ (в таблице 4)_. На рисунке 3 представлены фактические и расчетные значения по показательной модели.

Рисунок 3  - Фактические и расчетные значения у по показательной модели

 

Уравнение гиперболической  функции :

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1 / х (таблица 5). В результате получим   линейное уравнение .

Таблица 5 – Промежуточные расчеты для гиперболической модели

i	у	х	Х (1/х)	ŷ
1	86,1	20,59	0,0486	76,67
2	72,1	18,05	0,0554	71,97
3	69,1	17,45	0,0573	70,66
4	66	16,51	0,0606	68,42
5	59,6	15,82	0,0632	66,60
6	60,6	15,02	0,0666	64,29
7	59,9	13,49	0,0741	59,10
8	53,2	12,12	0,0825	53,34
9	49,9	11,04	0,0906	47,79
10	47,5	10,6	0,0943	45,20

Рассчитаем его параметры, используя данные анализа «Регрессия» в Microsoft Excel.

а = 110,06;  b =  - 687,57

Получим следующее уравнение  гиперболической модели:

Подставляя в уравнение  известные значения х, получим новые значения ŷ (таблица 5)_. На рисунке 4 представлены фактические и расчетные значения по гиперболической модели.

Рисунок 4  - Фактические и расчетные  значения у по гиперболической модели

 

2. Оценка моделей

2.1. Характеристики модели 

Остаточная дисперсия относительно регрессионной модели:

,        (1)

где n - число измерений, k - число параметров модели (для линейной градуировки k=2).

Уравнение регрессии всегда дополняется  показателем тесноты связи (индекс корреляции):

 

,       (2)

Коэффициент корреляции находится в пределах -1 < r _XY < 1. близость величины данного коэффициента к 1 означает очень тесную зависимость параметров х и у.

Коэффициент  детерминации:

 

R² = r²_yx,        (3)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1% и при постоянстве (фиксированном уровне) других факторов. Эластичность ненормирована и может изменяться от - до + . Важно, что она безразмерна. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на объясняемую переменную:

,       (4)

β-коэффициент позволяет оценить меру влияния вариации факторного признака на вариацию результата при фиксированном уровне других факторов:

,       (5)

где               .

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y  изменится зависимая переменная у с изменением соответствующей независимой переменной х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Если расчетное значение с n₁= k  и n₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой:

,      (6)

Значимость отдельных  коэффициентов регрессии проверяется  по t-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

,       (7)

где S_b — это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии b.

Если расчетное значение t-критерия с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

Средняя относительная ошибка:

Е_отн. = ,      (8)

Показывает на сколько  в среднем расчетные значения у отличаются от фактических значений в %.

Выполнение условий МНК:

1) Проверка равенства математического  ожидания  случайной компоненты  нулю: если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение задается формулой:

,      (9)

где e - среднеарифметическое значение уровней остаточной последовательности e_t;

S_e -среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

2) Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. .

F_расч. =      (10)

Чем больше величина F превышает  табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

3) Проверка независимости значений  уровней случайной компоненты осуществляется с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

,       (11)

Расчетное значение d сравнивается с табличным верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона для различного числа уровней ряда n и числа определяемых параметров k. Если расчетное значение критерия d больше d2, то гипотеза о независимости  уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии автокорреляции (cov (ei,ej)=0), принимается. Если значение d меньше табличного d1, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение d находится между d1 и d2, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод, и необходимы дальнейшие исследования.

2.1.1. Для линейной у = 3,44х +10,58

        

,      

R² = 0,97²   = 0,9416 

х ср. = 15,07;  у ср. = 62,4 

    

S_x = 3,08;   S_у = 10,61

  

S_b =  0,3 ;  b = 3,44

Е_отн. = 0,3255/10*100% = 3,26%

Расчет средней относительной  ошибки:

Год	i	У факт.	У расч.	e	|e/у|
1997	1	86,1	81,41	4,69	0,0545
1998	2	72,1	72,67	-0,57	0,0079
1999	3	69,1	70,61	-1,51	0,0218
2000	4	66	67,37	-1,37	0,0208
2001	5	59,6	65,00	-5,40	0,0906
2002	6	60,6	62,25	-1,65	0,0272
2003	7	59,9	56,99	2,91	0,0487
2004	8	53,2	52,27	0,93	0,0174
2005	9	49,9	48,56	1,34	0,0269
2006	10	47,5	47,04	0,46	0,0096
Итого					0,3255

Выполнение условий  МНК:

1) t = 0,0174/ 2,78*3,46 = 0,0198

e _ср. = 0,0174

S_e = 40,92

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S₁= 55.66

S₂= 14.08

F_расч.= 55,66/14,08 = 3,95

F_табл.= 6.39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d₁ < d _расч. > d_2, значит по данному критерию нельзя оценить модель

 

2.1.2. Для степенной модели

        

,      

R² = 0,9707²   = 0,9423

Э = 0,7905*1,79/1,17 = 0,52

S_x = 0,091;  S_у = 0,072

  

S_b =  0,07

 

Е_отн. = 0,0723 /10 *100% =0,72 %

Выполнение условий  МНК:

1) t _расч.= 0,0000

e _ср. = 0,0000

t _табл. = 2,306

t _расч.< t _табл.   значит условие 1 выполняется.

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S₁= 0,0025

S₂= 0,0006

F_расч.= 0,0025/0,0006 = 4,03

F_табл.= 6,39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d₁ < d _расч. > d_2, значит по данному критерию нельзя оценить модель

 

2.1.3. Для показательной модели ŷ = 27,17*1,05 ^х

      

R² = 0,9808²   = 0,9620    

    

S_x = Ö95,07/10 = 3,08;  S_у = Ö0,0525/10 = 0,07

  

S_b =  0,0017

 

Е_отн. = 0,0581/10*100% = 0,58%

Год	i	У факт.	У расч.	e	|e/у|
1997	1	1,9350	1,9179	0,0171	0,008857
1998	2	1,8579	1,8582	-0,0002	0,000129
1999	3	1,8395	1,8441	-0,0046	0,002499
2000	4	1,8195	1,8220	-0,0024	0,001342
2001	5	1,7752	1,8058	-0,0305	0,017194
2002	6	1,7825	1,7870	-0,0045	0,002523
2003	7	1,7774	1,7510	0,0264	0,014860
2004	8	1,7259	1,7188	0,0071	0,004109
2005	9	1,6981	1,6934	0,0047	0,002745
2006	10	1,6767	1,6831	-0,0064	0,003821
Итого		17,8878	17,8812	0,0066	0,058078

Выполнение условий МНК:

1) t _расч.= 0,0006/ 0,0021*3,46 = 0,9

e _ср. = 0,0006;  Se = 0,0021

t _табл. = 2,23

t _расч.<  t _табл.   значит условие 1 выполняется

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для i1 = (1..5), i2 = (6…10)

S_1y’= 0,0013;  S_2y’= 0,0008

F_расч.= 0,0013/0,0008 = 1,51

F_табл.= 6,39 при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d > d_2, значит гипотеза об отсутствии автокорреляции (cov (ei,ej)=0), принимается и модель считается адекватной.

 

 

 

 

2.1.3. Для гиперболической  модели ŷ =110,06 - 687,57 / х

R² = 0,9259 ² = 0,8574

S_x= 0,015;  S_у = 10,12

  

 

S_b = 99,15

Е_отн. = 0,4556 / 10*100% = 4,56%

Выполнение условий  МНК:

1) t _расч.= 0,0032/4,35*3,16 = 0,0023

e _ср. = 0,0006;  Se = 0,0021

t _табл. = 2,23

t _расч.<  t _табл.   значит условие 1 выполняется

2) рассчитаем остаточную сумму квадратов для n1 = (1..5), n2 = (6…10)

S_1y’= 146,26; S_2y’= 24,01

F_расч.= 146,26 / 24,01 = 6,09

F_табл.= 6,39  при k1 = 5-1= 4  k2 = 5-1 = 4

F_{расч <} F_табл, значит предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин принимается.

3)

табличные значения: d₁ = 0,879 и d₂ =1,320

d<d_1, значит по данному критерию нельзя оценить модель.

 

3. Сводная таблица  вычислений

Характеристики	Линейная	Степенная	Показательная	Гиперболическая
	У=3,44х+10,58	У=7,32х0,79	У=27,17*1,056х	У=110,06-687,57/х
a	10.58	7,32	27,166	110,06
b	3.44	0,79	1,0560	-687,57
A	10.58	0,86	1,4340	110,06
B	3.44	0,79	0,0235	-687,57
s2 (остаточная дисперсия)	8,72	0,0004	0,0003	21,28
Чем меньше дисперсия, тем лучше  регрессионное уравнение
rxy (индекс корреляции)	0,9704	0,9707	0,9808	0,9259
Чем ближе rxy к 1, тем сильнее связь	Связь прямая сильная
R2 (коэффициент детерминации)	0,9416	0,9423	0,9620	0,8574
Чем ближе R2 к 1, тем лучше качество подгонки	Хорошее качество подгонки
Эxy (коэффициент эластичности)	0,83	0,52	0,2	-0,76
Показывает на сколько процентов  изменится результативный признак  у при изменении факторного признака х на 1 %
b (бета-коэффициент)	0,9986	1	1,03	-1,02
sх	3,08	0,09	3,08	0,015
sу	10,61	0,07	0,07	10,12
Бета-коэффициент показывает, на какую  часть величины среднего квадратического отклонения Sy изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной хj
F-критерий (Фишера)	128,95	130,71	202,7	48,09
F- табл. = 5,32 Для a=0,05	Все значения превышают F- табличное, значит линейная связь есть Чем выше значение, тем лучше качество уравнения
t-статистика (Стьюдента)	11,36	11,43	14,24	-6,93
Sb	0,3028	0,0691	0,0017	99,15
МНК
t-расч.	0,0198	0,0000	0,90	0,0023
t- табл. = 2,306	t-расч.< t- табл. значит условие 1 выполняется
F-расч.	3,95	4,03	1,51	6,09
F- табл. = 6,39	F-расч.< F- табл. значит условие 2 выполняется
d-расч.	1,21	1,23	1,56	0,87
d1 = 0,879  и d2 = 1,320	Неопределенность		d-расч.> d2 значит условие 3 выполняется, автокорреляции нет	d1> dрасч. значит условие 3 не выполняется, автокорреляция есть
Еотн. (относительная ошибка) , %	3,26	0,72	0,58	4,56
Если Еотн. менее 15%, то модель построена с приемлемой точностью
Выводы	Модель адекватна	Модель адекватна	Модель адекватна	Модель не адекватна

 

Наиболее адекватной можно признать показательную модель.

Остаточная дисперсия  отражает разброс значений относительно линии регрессии (модельных значений) и может служить показателем точности воспроизведения значений зависимой переменной. Чем меньше остаточная дисперсия, тем больше уверенности в том, что уравнение регрессии подобрано верно. В степенной модели она минимальна.

Индекс корреляции (0,9808) является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. Значение 0,9808 означает, что связь факторов в уравнении прямая и сильная.

Коэффициент детерминации  показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. вариация признака  у на 96,2% объясняется вариацией фактора х. Чем ближе к 1, тем выше качество модели.

Расчетное значение F-критерия Фишера (202,7) с n1= k  и n2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости 0,95, значит, модель считается значимой.

Расчетное значение t-критерия (14,24) с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при уровне значимости 0,95, значит коэффициент регрессии считается значимым.

 

4. Рассчитаем прогнозные  значения по показательной модели. Х возрастает на 110% относительно среднего уровня: 

х _ср. = 15,07

х ₁₁ = 15,07*1,1 = 16,58, подставим в уравнение регрессии прогнозное значение х:    

у ₁₁ = 27,17*1,056^16,58 = 67,06

Рисунок 5 - Фактические, расчетные и прогнозные значения по показательной модели

Задание 2

 

Необходимо собрать данные (экономические показатели). Должно быть не менее 15 наблюдений зависимой переменной Y и независимых переменных Х₁,Х₂,Х₃. данные берутся из экономических журналов, сборников, интернета.

Требуется:

1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:

• линейный коэффициент множественной корреляции;

• коэффициент детерминации;
• средние коэффициенты эластичности;
• бета-, дельта- коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F-критерий Фишера).
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК).
7. Рассчитать и построить точечный прогноз и интервальные прогнозы результирующего показателя на два шага вперед.
8. Составить сводную таблицу вычислений, дать интерпретацию рассчитанных характеристик. Отразить результаты в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов и графики.