Контрольная работа по "Эконометрике". 6

По десяти кредитным учреждениям  получены данные, характеризующие зависимость  объема прибыли (У) от среднегодовой  ставки по кредитам (Х1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3).

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных  признаков для построения двухфакторной  регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели  определить:

- линейный коэффициент множественной  корреляции;

- коэффициент детерминации;

- средние коэффициенты эластичности, бета и дельта коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности  уравнения регрессии.

5. Оценить с помощью t- критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

6. Построить точечный и интервальный  прогнозы результирующего показателя.

7. Отразить результаты расчетов  на графике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Осуществим выбор факторных  признаков для построения двухфакторной  регрессионной модели.

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 2.1. В этом примере n=10, m=3.

Отобразим промежуточные результаты при вычислении коэффициента корреляции.

 

 

Рассчитаем коэффициенты корреляции:

1.

 

Проведем корреляционный анализ.

Основой решения этих задач служит матрица коэффициентов парной корреляции.

Поскольку коэффициент парной корреляции — симметричная мера связи, корреляционная матрица записывается либо как верхняя  треугольная матрица, либо как нижняя треугольная матрица. По диагонали  такой матрицы расположены единицы, т.е. это коэффициенты корреляции каждой переменной с самой собой.

На основе корреляционной матрицы  выявляют те факторные признаки, которые  тесно коррелируют с результативным признаком, т. е. обращают внимание на элементы верхней строки матрицы корреляций. Затем сравнивают коэффициенты корреляции между факторными признаками, т. е.  с коэффициентами корреляции их с результативным признаком. В анализ совместно включаются те факторные признаки, для которых их корреляция между собой слабее корреляции с результативным признаком.

Коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. На их основе можно рассчитать коэффициенты частной корреляции первого порядка, когда элиминируется корреляция с одной переменной, а так же второго и третьего.

 

 Рассчитаем коэффициенты парной  корреляции.

Для этого воспользуемся функцией «Сервис – анализ данных - корреляция».

Результаты расчетов отобразим  в таблице:

 

	Y	X1	X2	X3
Y	1
X1	0,865036826	1
X2	-0,732767669	-0,857471367	1
X3	-0,637827526	-0,846956614	0,803671983	1

 

Анализ результатов парной корреляции показывает, что зависимость переменная. Y имеет тесную связь с X1 и X2. Но видно, что переменные X тесно связаны друг с другом, что свидетельствует о наличии мультиколлениарности.

2. Выбор  вида модели и оценка ее  параметров.

Таким образом, в модель множественной зависимости  могут быть включены два фактора  – X1 и X2.

Уравнение может иметь вид:

Система нормальных уравнений для нахождения данных параметров имеет вид:

Составим  таблицу первоначальных данных.

	Y	X1	X2	х1*у	х1*х2	х1^2	x2*y	x2^2
1	61	33	176	2013	5808	1089	10736	30976
2	65	30	181	1950	5430	900	11765	32761
3	71	31	167	2201	5177	961	11857	27889
4	73	32	172	2336	5504	1024	12556	29584
5	81	55	162	4455	8910	3025	13122	26244
6	65	34	171	2210	5814	1156	11115	29241
7	95	63	166	5985	10458	3969	15770	27556
8	93	56	167	5208	9352	3136	15531	27889
9	86	77	152	6622	11704	5929	13072	23104
10	95	68	149	6460	10132	4624	14155	22201
сумма	785	479	1663	39440	78289	25813	129679	277445
средн.значение	78,5	47,9	166,3	3944	7828,9	2581,3	12967,9	27744,5

 

Решим данную систему уравнений по формулам Крамера:

1. Вычислим  определитель:

 

10	479	1663
479	25813	78289
1663	78289	277445

∆=

 
∆=6745304>0 следовательно, система имеет одно решение.

2. Заменим  первый столбец:

 

 

∆1=

785	479	1663
39440	25813	78289
129679	78289	277445

 
∆1=3362409660

 

 

а=∆1/∆=498,48

 

 

3. Заменим  второй столбец:

∆2=

10	788	1663
479	39440	78289
1663	129679	2774456

∆2=3636711

 

В1=∆2/∆=0,54

 

4. Заменим  третий столбец:

∆3=

10	479	788
479	25813	39440
1663	78289	129679

∆3=-15975233

 

В2=∆3/∆=-2,37

Уравнение регрессии составит: 

Проведем  регрессионный анализ:

Для этого  воспользуемся функцией «Сервис  – анализ данных - регрессия».

Результаты  расчетов отобразим в таблице:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Оценка  качества модели.

В таблице  приведем вычисленные по модели значения Y и значения остаточной компоненты.

 

 

t	Y	X1	X2	yt	y-yt
1	60	30	64	61,33277	-1,332772
2	68	40	68	65,51654	2,483456
3	64	44	82	74,4072	-10,4072
4	72	28	76	67,94598	4,054024
5	78	50	84	76,68465	1,315348
6	88	56	96	84,78238	3,217616
7	90	50	100	85,9971	4,0029
8	82	56	104	89,43861	-7,438608
9	92	60	108	92,50898	-0,508984
10	94	62	102	89,38795	4,612052
	788	476	884

 

Y-	Y- - (Y- )		(Y- )2				Yt-		(Yt- )2		y-	(y- )2
-5,516544	4,183772	17,50395	1,776281		78,8		-17,4672		305,1041		-18,8	353,44
-6,4072	8,890656	79,04376	6,167554		78,8		-13,2835		176,4502		-10,8	116,64
-3,945976	-6,461224	41,74742	108,3098		78,8		-4,3928		19,29669		-14,8	219,04
-4,684652	8,738676	76,36446	16,43511		78,8		-10,854		117,8098		-6,8	46,24
-6,782384	8,097732	65,57326	1,73014		78,8		-2,11535		4,474697		-0,8	0,64
2,0029	1,214716	1,475535	10,35305	78,8		5,982384		35,78892		9,2		84,64
0,561392	3,441508	11,84398	16,02321		78,8		7,1971		51,79825		11,2	125,44
-10,508984	3,070376	9,427209	55,33289		78,8		10,63861		113,18		3,2	10,24
2,612052	-3,121036	9,740866	0,259065		78,8		13,70898		187,9362		13,2	174,24
32,667228	-28,055176	787,0929	21,27102		78,8		10,58795		112,1046		15,2	231,04
	0	1099,813	237,6581				0,002168		1123,944		2,84	1361,6

 

Проверку  независимости проведем с помощью  d – критерия Дарбина – Уотсона:

В качестве критических табличных уровней  при N=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d1=0,98 и d2=1,54.

Из формулы  следует, что при отсутствии автокорреляции d=2 (приблизительно), при полной положительной автокорреляции d=0 (приблизительно), при полной отрицательной d=4 (приблизительно).

Проверим  наличие автокорреляции.

Для этого  вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при  помощи критерия стандартной ошибки.

 

 

t	Y	y+1	y2	y+12	y*y+1
1	60	68	3600	4624	4080
2	68	64	4624	4096	4352
3	64	72	4096	5184	4608
4	72	78	5184	6084	5616
5	78	88	6084	7744	6864
6	88	90	7744	8100	7920
7	90	82	8100	6724	7380
8	82	92	6724	8464	7544
9	92	94	8464	8836	8648
10	94	60	8836	3600	5640
	788	788	63456	63456	62652

 

Коэффициент автокорреляции определим по формуле:

Определим среднее квадратическое отклонение как

Если  r1 находится в интервале – 0.409*0,316≤ r1*0.409≤0,316, то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка, так как             -0.129≤ r1*0.409≤0,316, и свойство независимости выполняется.

Вычислим для модели коэффициент детерминации.

Составим  расчетную таблицу.

t	Y		(Yt- )	(Yt- )2	(Y- )	(Y- )2
1	60	78,8	-17,4672	305,1041	-18,8	353,44
2	68	78,8	-13,2835	176,4502	-10,8	116,64
3	64	78,8	-4,3928	19,29669	-14,8	219,04
4	72	78,8	-10,854	117,8098	-6,8	46,24
5	78	78,8	-2,11535	4,474697	-0,8	0,64
6	88	78,8	5,982384	35,78892	9,2	84,64
7	90	78,8	7,1971	51,79825	11,2	125,44
8	82	78,8	10,63861	113,18	3,2	10,24
9	92	78,8	13,70898	187,9362	13,2	174,24
10	94	78,8	10,58795	112,1046	15,2	231,04
	788		0,002168	1123,944	2,84	1361,6

 

Следовательно, около 17,45% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием включенных факторов.

Проверку  значимости уравнения регрессии  произведем на основе вычисления         F – критерия Фишера:

Табличное значение F критерия при доверительной вероятности 0,95 при V1=к=2 и V2=n-л-1=10-2-1=7 составляет 3,81.

Так как  Fрасч<Fтабл, то уравнение регрессии следует принять адекватным.

5. Проанализируем влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычислим коэффициент эластичности).

Коэффициент эластичности Э показывает, насколько % изменяется зависимая переменная при изменении фактора на 1%.

Бета  коэффициент с математической точки  зрения показывает, на какую часть  величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Тогда

6. Определим  точечные и интервальные прогнозные  оценки объема прибыли на два  квартала вперед.

Прогнозные  значения X1₁₁, X2₁₁, X1₁₂, X2₁₂ определим с помощью экстраполяционного метода.

Воспользуемся трендовой моделью.

Проведем аналитическое выравнивание по прямой. При использовании этого метода применим аналитическое уравнение вида:

X_t=b₀+b₁*t,

где - b₀,b₁ – коэффициенты, рассчитанные по методу наименьших                квадратов;

             t – порядковый номер периодов.

∑x_i=b₀*n+b₁*∑t_i 

         ∑x_i*t_i=b₀*∑t_i+b₁*∑t_i² 

 

	X2	ti	X2*ti	ti2	xt	X2-xt	(xi-xt)2
1	30	-5	-150	25	32,782	-2,782	7,739524
2	40	-4	-160	16	35,746	4,2544	18,09991936
3	44	-3	-132	9	38,709	5,2908	27,99256464
4	28	-2	-56	4	41,673	-13,6728	186,9454598
5	50	-1	-50	1	44,636	5,3636	28,76820496
6	56	1	56	1	50,564	5,4364	29,55444496
7	50	2	100	4	53,527	-3,5272	12,44113984
8	56	3	168	9	56,491	-0,4908	0,24088464
9	60	4	240	16	59,454	0,5456	0,29767936
10	62	5	310	25	62,418	-0,418	0,174724
∑	476	0	326	110	476	-1,4211	312,2545456

b₀=∑x_i/n

b₀=476/10=47.6 млн. руб.

 

b₁=(∑x_i*t_i)/∑t_i²

b₁=326/110=2.9636 млн. руб.

X2_t=47.6+2.9636*t_i

Прогноз X2 на 11 период при t=6 составит 65,38 млн. руб.

Прогноз X2 на 12 период при t=7 составит 68,35 млн. руб.

Аналогично  сделаем прогноз по Х3.

	X3	ti	X3*ti	ti2	xt	X3-xt	(xi-xt)2
1	64	-5	-320	25	66,764	-2,7635	7,63693225
2	68	-4	-272	16	71,091	-3,0908	9,55304464
3	82	-3	-246	9	75,418	6,5819	43,32140761
4	76	-2	-152	4	79,745	-3,7454	14,02802116
5	84	-1	-84	1	84,073	-0,0727	0,00528529
6	96	1	96	1	92,727	3,2727	10,71056529
7	100	2	200	4	97,055	2,9454	8,67538116
8	104	3	312	9	101,38	2,6181	6,85444761
9	108	4	432	16	105,71	2,2908	5,24776464
10	102	5	510	25	110,04	-8,0365	64,58533225
∑	884	0	476	110	884	-5,6843	170,6181819

 

                                              b₀=884/10=88,4 млн. руб.

                                              b₁=476/110=4,3273 млн. руб.

                                                  X3_t=88,4+4,3273*t_i

Прогноз X3 на 11 период при t=6 составит 114,36 млн. руб.

Прогноз X3 на 12 период при t=7 составит 118,69 млн. руб.

Получим прогнозные оценки модели, подставив  в нее найденные прогнозные значения факторов Х2 и Х3.

Определим абсолютную ошибку прогноза S_ŷt.

S_ŷt=  ∑(y_i-ŷ_t)²/n-m,

где  m – количество параметров в уравнении

S_ŷt=√237,658/(10-3)=5,83 млн. руб.

Определим относительную ошибку прогноза как отношение абсолютной ошибки к среднему значению.

Оŷ_t=5,83/78,8*100% =7,39%.

Рассчитаем  доверительный интервал.

                                    ŷ_t-t_α* S_ŷt/√n ≤y≤ ŷ_t+t_α* S_ŷt/√n,   

где t_α - табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости α.

α.=0,05.

t_α=2,365 (при V=7).

Для прогнозного значения на 11 период:

97,23 – 2,365*5,83/√10≤у≤97,23 + 2,365*5,83/√10

92,87≤у≤101,59

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно  утверждать, что прогнозный объем прибыли находится в пределах от 92,87 до 101,59 млн. руб.

Для прогнозного значения на 12 период:

100,31 – 2,365*17,86/√10≤у≤100,31 + 2,365*17,86/√10

95,95≤у≤104,67

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно  утверждать, что прогнозный объем прибыли находится в пределах от 95,95 до 104,67 млн. руб.