Контрольная работа по "эконометрике". 6

ФЕДЕЛАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РФ

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 3

 

 

 

 

 Выполнил:

 Гвоздикова А.Н.

                                                      Группа: 302                                                    

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013г.

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.). Таблица 1.

 

                                                                                                       Таблица 1.

X	38	28	27	37	46	27	41	39	28	44
Y	69	52	46	63	73	48	67	62	47	67

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Построим линейную модель : = a + b * X.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной  переменной Х (Данные => Сортировка).                                                                               Таблица 1

X	Y
27	46
27	48
28	52
28	47
37	63
38	69
39	62
41	67
44	67
46	73

 

Используя программу  РЕГРЕССИЯ найдем коэффициенты модели.

ВЫВОД ИТОГОВ
	Таблица2
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9577451
R-квадрат	0,9172756
Нормированный R-квадрат	0,9069351
Стандартная ошибка	3,1017489
Наблюдения	10

 

 

Дисперсионный анализ                                                               Таблица 3

		df	SS			MS	F	Значимость F
Регрессия		1	853,4332314			853,433231	88,70667	1,32524E-05
Остаток		8	76,9667686			9,62084608
Итого		9	930,4

 

                                                                                                                        Таблица 4

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	12,57329256	5,067651153	2,481088808	0,038047027
X	1,319062181	0,140051294	9,418421917	1,32524E-05

 

ВЫВОД ОСТАТКА      Таблица 5
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	48,18797146	-2,187971458
2	48,18797146	-0,187971458
3	49,50703364	2,492966361
4	49,50703364	-2,507033639
5	61,37859327	1,621406728
6	62,69765545	6,302344546
7	64,01671764	-2,016717635
8	66,654842	0,345158002
9	70,61202854	-3,612028542
10	73,25015291	-0,250152905

 

Коэффициенты модели содержатся в  таблице 4 (столбец Коэффициенты). Таким  образом, модель построена, и ее уравнение  имеет вид:

 

= 12,57+1,32 Х

Коэффициент регрессии b=1,32, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб., объема выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 1,32 ден. ед. Это говорит об эффективности работы предприятий легкой промышленности региона.

 

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Остатки модели E_i = y_i-y_Ti   содержатся  в столбце Остатки программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены  также остаточная сумма квадратов SS_ост = 76,97 и дисперсия остатков MS_ост = 9,62 (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно  выполнить следующие действия:

1. Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками);
2. Для указания данных для построения диаграммы зайдем во вкладку Ряд, нажмем кнопку Добавить; в качестве значений Х укажем исходные данные Х (таблица 1); значения Y – остатки (таблица 5).

Получим график остатков.

 

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1. В уравнении линейной модели = a + b * X + ε слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.
2. Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.
3. Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированны).
4. Распределение случайного члена является нормальным.

1)Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим  по графику остатков: р=6.

Вычислим критическое значение по формуле:

;

При n=10 найдем pкр=[2,97]=2.

     не вып                     вып

           0                 ркр                           р

Сравним р=6>ркр=2, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2) Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.

С помощью функции  СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: Ē= 0.

Свойство постоянства  дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных ( ) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для  этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6,25	6,25	0,862069	0,4511787
Остаток	2	14,5	7,25
Итого	3	20,75

 

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ построим модель по последним  четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	51,11206897	51,11207	10,60644	0,082748165
Остаток	2	9,637931034	4,818966
Итого	3	60,75

 

Рассчитаем статистику критерия:

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет (ПРИЛОЖЕНИЕ 2).

Схема критерия:

    

Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

3)Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона:

 

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим .

Используем найденную  программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов  остаточной компоненты SSост = =76,97.

Таким образом, d = = 2,3.

 

 

Схема критерия:

Не вып.           Доп.пров.          вып.             Перейти к d`=4-d

_________________________________________

0         d1               d2           2                             4      d

 

Полученное значение d = 2,3 > 2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d' = 4 - d = 1,7 и сравним ее с двумя критическими уровнями d₁ = 0.88 и d₂ = 1.32, которые определяются по таблице d - статистик Дарбина-Уотсона (Приложение 3).

d' = 1,7 лежит в интервале от d₂ = 1.32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

В учебных целях проверим выполнений свойства независимости  ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

;

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

Следовательно, .

 

Критическое значение для  коэффициента автокорреляции определяется как отношение  и составляет для данной задачи 0,62

          вып                          не вып

___________________________

0                     rкр                       |r(1)|

Сравнение показывает, что |r(1)| = 0,18 < r_кр = 0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4)Соответствие ряда  остатков нормальному закону  распределения проверим с помощью R/S - критерия

 

С помощью функции  МАКС и МИН для ряда остатков определим  =6,3; =-3,61. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет S_E = 3,101749 (таблица 2).

Тогда R/S = = 3,2

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,69)

3,2 ∈ (2,67; 3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

 

4.Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4.  Для свободного коэффициента a =12,57 определена статистика t(a) = 2,48. Для коэффициента регрессии b = 1,32, определена статистика t(b) = 9,42.

Критическое значение t_кр = 2,31 найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (Приложение 1).

Схема критерия:

 

Сравнение показывает:

|t(a)| = 2,48 > t_кр = 2,31, следовательно, свободный коэффициент а является значимым.

|t(b)| = 9,42 > t_кр = 2,3, следовательно, коэффициент регрессии b является значимым, его и объем капиталовложений нужно сохранить в модели.

 

5. Вычислить коэффициент  детерминации, проверить значимость  уравнения регрессии с помощью  F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю  относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2). И составляет R² = 0,917 = 91,7%.

Таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции (Y) на 91,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений (X).

Проверим значимость полученного  уравнения с помощью F - критерия Фишера.

F - статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F = 88,71.

Критическое значение F_кр = 5,32 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k = 8 (Приложение 2).

Схема критерия: 

        не знач.                           знач.

___________________________

0                     Fкр                          F

Сравнение показывает: F = 88,71 > F_кр = 5,32; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

                 Таблица 6

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Относ.погрешн
1	48,18797146	-2,18797146	4,756459691
2	48,18797146	-0,18797146	0,391607204
3	49,50703364	2,492966361	4,794166079
4	49,50703364	-2,50703364	5,334114126
5	61,37859327	1,621406728	2,573661473
6	62,69765545	6,302344546	9,133832676
7	64,01671764	-2,01671764	3,252770379
8	66,654842	0,345158002	0,515161197
9	70,61202854	-3,61202854	5,391087377
10	73,25015291	-0,25015291	0,342675213

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 3,65% < 5%, следовательно, модель является точной.

Вывод:  на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

 

6.Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию  задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 46, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 61,11 млн. руб.

Зададим доверительную  вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно  рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно  подготовим:

-   стандартную  ошибку модели  (Таблица 2);

-  по столбцу  исходных данных Х найдем среднее  значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,  стандартная  ошибка  прогнозирования  для  среднего  значения  составляет:

 

При размах доверительного интервала для среднего значения

 

Границами прогнозного  интервала будут

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый  объем выпуска продукции будет  от 59,27 млн. руб. до 62,95 млн. руб.

 

 

7.Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью  опции  Добавить линию тренда… построим линию модели: 

тип → линейная;  параметры → показывать уравнение на диаграмме. 

Покажем  на  графике  результаты  прогнозирования.  Для  этого  в  опции  Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения ;  значения ;

Имя → нижняя граница; значения ;  значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

8.Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной. 

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим  и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец  значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

Таблица 7

X	Y	1/х
27	46	0,037037037
27	48	0,037037037
28	52	0,035714286
28	47	0,035714286
37	63	0,027027027
38	69	0,026315789
39	62	0,025641026
41	67	0,024390244
44	67	0,022727273
46	73	0,02173913

 

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	105,4257639
Переменная X 1	-1569,007707

 

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С  помощью  полученного  уравнения  рассчитаем  теоретические  значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем  линию  гиперболической модели  на  графике. Для  этого  добавим  к  ряду исходных данных ,  ряд теоретических значений .

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

 

Таким образом, уравнение степенной модели.

Показательная модель тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Можно вычислить (функция EXP), тогда уравнение показательной модели .

 

 

 

 

9.Для указанных моделей найти коэффициента детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Заполним  для  каждой  модели  расчетную  таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня  исходных  данных ;  ошибки  модели и  относительные  погрешности (таблицы 8-10).

Среднюю относительную  погрешность  найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс  детерминации  вычислим по формуле , для чего подготовим числитель дроби – функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель – функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Гиперболическая модель                              Таблица 8

X	Y	1/Х	Yt	E	Е отн
27	46	0,037037037	47,31851852	-1,31852	2,866345
27	48	0,037037037	47,31851852	0,681481	1,419753
28	52	0,035714286	49,39392857	2,606071	5,011676
28	47	0,035714286	49,39392857	-2,39393	5,093465
37	63	0,027027027	63,02432432	-0,02432	0,03861
38	69	0,026315789	64,14026316	4,859737	7,043097
39	62	0,025641026	65,19897436	-3,19897	5,159636
41	67	0,024390244	67,16146341	-0,16146	0,24099
44	67	0,022727273	69,77068182	-2,77068	4,135346
46	73	0,02173913	71,32108696	1,678913	2,299881