Контрольная работа по "Эконометрика". 3. 2

ВАРИАНТ 4

(первая буква  фамилии З, И, К)

Имеются данные Центрального банка РФ за  2007 год (помесячно) относительно величины курса доллара США к рублю (Y, руб./долл.) и объёма денежной массы (национальное определение) на 1 число месяца (X, трлн. руб.).  Данные представлены в таблице:

Отчётная дата	Y, руб. /долл.	Х, трлн. руб.
Январь	26,47	8,996
Февраль	26,34	8,701
Март	26,11	8,902
Апрель	25,84	9,413
Май	25,82	10,006
Июнь	25,93	10,699
Июль	25,56	10,858
Август	25,63	10,924
Сентябрь	25,34	11,157
Октябрь	24,89	11,494
Ноябрь	24,47	11,422
Декабрь	24,57	12,163

 

Задание

1. Выявить наличие линейной корреляционной зависимости между объёмом денежной массы в стране (Х, трлн. руб.) и курсом доллара США к рублю (Y, руб./долл.). Построить корреляционное поле. Вычислить значение выборочного линейного коэффициента корреляции .

2. Проверить статистическую значимость найденного коэффициента корреляции,  принять уровень значимости равным 5% ( ).

3. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) вычислить оценки теоретических коэффициентов парной линейной регрессии, т.е.  и .

4. Проверить статистическую значимость полученных оценок и при 5%-ом уровне значимости, используя критерий Стьюдента (t-критерий). Дать их экономическую интерпретацию.

5. Рассчитать показатели качества регрессии: коэффициент детерминации , , , .  Проверить качество уравнения парной регрессии (значимость построенной модели), используя критерий Фишера – Снедекора ( - критерий). Уровень значимости принять равным 5%

( ).

6.  Построить интервальные оценки теоретических коэффициентов регрессии и (с надёжностью 95%, ). Дать экономическую интерпретацию полученных оценок.

7. С надёжность 0,95 построить интервальную оценку для среднего курса доллара США к рублю в течение года при среднем объёме денежной массы в стране 12,5  трлн. руб. Сделать экономический вывод.

8. На корреляционном поле построить эмпирическую линию регрессии.

 

Решение

1. - объем денежной массы (трлн.руб.) является  независимым признаком, который определяется вне предполагаемой эконометрической модели, - величина курса доллара США к рублю (руб./долл.) – зависимым признаком. Признаки Х и Y заданы значениями и . Построим корреляционное поле.

Рис. 1.  Корреляционное поле

 

По расположению точек ( ) на корреляционном поле (рис. 1) можно предположить наличие обратной линейной зависимости между признаками Х и Y, т. е. с увеличением объема денежной массы курс доллара по отношению к рублю снижается. Расположение точек позволяет описать предполагаемую зависимость с помощью линейного уравнения регрессии.

Так как  мы располагаем лишь выборочной совокупностью значений изучаемых признаков, то вычисление генерального коэффициента корреляции невозможно. Поэтому представляется возможным нахождение лишь его оценки (приближённого значения) -   . Выборочный линейный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

                                               ,                                                         

где        ,     ,    ,      ,     

                                      ,    ,

  - объём выборки,                        

Данные вычислений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Сводная таблица для вычисления коэффициента

Месяц	Xi	Yi	Xi *Yi	Xi²	Yi²
1	2	3	4	5	6
Январь	8,996	26,470	238,124	80,928	700,661
Февраль	8,701	26,340	229,184	75,707	693,796
Март	8,902	26,110	232,431	79,246	681,732
Апрель	9,413	25,840	243,232	88,605	667,706
Март	10,006	25,820	258,355	100,120	666,672
Июнь	10,699	25,930	277,425	114,469	672,365
Июль	10,858	25,560	277,530	117,896	653,314
Август	10,924	25,630	279,982	119,334	656,897
Сентябрь	11,157	25,340	282,718	124,479	642,116
Октябрь	11,494	24,890	286,086	132,112	619,512
Ноябрь	11,422	24,470	279,496	130,462	598,781
Декабрь	12,163	24,570	298,845	147,939	603,685
Итого	124,735	306,970	3 183,409	1 311,296	7 857,236

 

  ;  ; 

  ;    ;        ;     ;

.

В результате расчётов   .

Выборочный  коэффициент корреляции имеет отрицательный  знак, что говорит об обратной зависимости  между объемом денежной массы в стране и величиной курса доллара США к рублю по данным ЦБ РФ, т.е. чем больше объем денежной массы, тем ниже курс доллара США по отношению к рублю. Так как , то это свидетельствует о том, что в выборке имеет место тесная корреляционная зависимость между исследуемыми признаками.

2. Проверим статистическую значимость выборочного коэффициента корреляции. Уровень значимости принимаем равным 5 % ( ). Для этого выдвинем основную и конкурирующую гипотезы:

(в генеральной совокупности  линейная корреляционная зависимость  между признаками Х и Y отсутствует,  статистически не значим),

(в генеральной совокупности  между признаками Х и Y имеется линейная корреляционная зависимость, статистически значим).

Проверяем гипотезу при уровне значимости с помощью случайной величины

                                            ,                                                           

которая при  справедливости имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Наблюдаемое значение случайной величины рассчитывается по формуле, т.е.

.

Конкурирующая гипотеза определяет двустороннюю критическую область: (рис. 2).

Рис. 2. Кривая распределения случайной величины

 

По таблице  критических точек распределения  Стьюдента находим значение критической точки .

Получаем, что , т.е. принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отвергается, конкурирующая гипотеза  принимается при уровне значимости 5 %, т.е. между объемом денежной массы и величиной курса доллара США по отношению к рублю имеется линейная корреляционная зависимость, выборочный линейный коэффициент корреляции можно считать статистически значимым.  

3. Результативный признак Y (величина курса доллара США по отношению к рублю) связан с факторным признаком Х (объем денежной массы) парной линейной зависимостью вида:

                                            ,                                                       

где  - зависимая (объясняемая) переменная;

       - независимая (объясняющая) переменная;

       - теоретические коэффициенты регрессии;

       - случайная компонента, отражающая влияние неучтённых факторных       признаков на результативный признак.

Так как  теоретические коэффициенты регрессии неизвестны. Их можно лишь оценить (приближённо определить) по выборочным данным. Их оценки рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК). В результате получаем эмпирическое уравнение регрессии вида

                                                      ,                                                    

где - оценки теоретических коэффициентов регрессии, найденные по     выборке.

Тогда , , где - расчётное значение результативного признака, при .

       Суть метода наименьших квадратов сводится к нахождению минимума функции . Необходимым условием существования экстремума функции является равенство нулю её частных производных:

                                 .                                      

Проведя соответствующие преобразования, получим  систему нормальных уравнений:

                                         .                                                         

Решение полученной системы примет следующий  вид:

                                                                                                     

Используя результаты таблицы 1, получим:

Подставив значения оценок коэффициентов регрессии в уравнение

получим эмпирическое уравнение регрессии:

                                          . 

Проверим значение выборочного коэффициента корреляции, полученное ранее, по формуле:

Вывод: в обоих случаях , значит выборочный линейный коэффициент корреляции найден верно.

4. В силу ограниченного объёма выборочных данных необходимо проверить статистическую значимость оценок и , т.е. установить статистическую близость оценок коэффициентов регрессии     к нулю. При проверке значимости оценок коэффициентов регрессии в качестве критерия используем случайную величину ,                                     

где - стандартная ошибка оценки коэффициента , .

В случае парной регрессии распределение  Стьюдента имеет число степеней свободы  ( - число факторных признаков в модели).  Отметим,  что выполняются первое ( , ) и второе ( , ) условия Гаусса-Маркова.

Найдем  стандартные ошибки коэффициентов регрессии, для этого вычислим:

1)  остатки  регрессии: 

                                   , ,                                                         

     где  - эмпирическое значение результативного признака в ом     наблюдении;

              - расчётное значение результативного признака в ом наблюдении.

2)   исправленная  выборочная дисперсия остатков  регрессии:

                                                   .                                                       

3) исправленное  среднее квадратическое отклонение  остатков регрессии:

                                                      .                                                      

Вычисления представлены в таблице 2.

Таблица 2

Сводная таблица для нахождения стандартных  ошибок

  оценок коэффициентов регрессии

Месяц
1	2	3	4	5	6
Январь	8,996	26,470	26,281	0,189	0,036
Февраль	8,701	26,340	26,430	-0,090	0,008
Март	8,902	26,110	26,328	-0,218	0,048
Апрель	9,413	25,840	26,071	-0,231	0,053
Март	10,006	25,820	25,772	0,048	0,002
Июнь	10,699	25,930	25,423	0,507	0,257
Июль	10,858	25,560	25,343	0,217	0,047
Август	10,924	25,630	25,309	0,321	0,103
Сентябрь	11,157	25,340	25,192	0,148	0,022
Октябрь	11,494	24,890	25,022	-0,132	0,017
Ноябрь	11,422	24,470	25,058	-0,588	0,346
Декабрь	12,163	24,570	24,685	-0,115	0,013
Итого	124,735	306,970	306,914	-	0,953

 

Таким образом, получим:

; .

4) Стандартные  ошибки эмпирических коэффициентов  регрессии вычисляются по формулам:

                                           ,                                                          

                                            .                                                   

Таким образом, получим:

,

 

0,839.

Проверим  статистическую значимость оценки при уровне значимости  5%, для этого выдвинем две гипотезы

( статистически незначим);

( статистически значим).

Для проверки используем случайную величину ,                       

которая при  справедливости имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Наблюдаемое значение критерия вычисляем по выборочным данным:

.

По виду конкурирующей  гипотезы определяется двусторонняя критическая  область (см. рис.2). По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

.

Так как  , то  гипотезу можно признать справедливой на 5%-ом уровне значимости, оценку статистически значимой.

Оценка  показывает, что если объем денежной массы увеличится на 1 трлн. руб., то величина курса доллара США к рублю снизится в среднем приблизительно на 0,5 руб.

 

Аналогичным образом проверяем статистическую значимость оценки :

( статистически незначим);

( статистически значим).

Для проверки используют случайную величину ,                      

которая при  справедливости имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Наблюдаемое значение критерия .

По таблице  критических точек распределения Стьюдента находим

.

Так как  , то  гипотезу можно признать справедливой на 5%-ом уровне значимости, оценку статистически значимой.

В данном случае экономическая интерпретация  оценки не имеет смысла.

5. Вся вариация зависимой переменной (TSS) складывается из двух частей: объяснённой регрессионным уравнением, т.е. признаками, включёнными в уравнение регрессии (RSS) и не объяснённой, т.е. обусловленной признаками, не включёнными в уравнение регрессии , т.е.

                                  .                                                   

Таким образом, TSS характеризует вариацию зависимой  переменной, обусловленную как включёнными, так и не включёнными в модель факторными признаками и определяется:

                                                .                                              

RSS вычисляем по формуле:

        .                                             

ESS вычисляем по формуле:

                                                     .                            

Для проверки соответствия модели эмпирическим данным используем коэффициент детерминации :

                                                        .                                                   

Коэффициент детерминации позволяет определить долю вариации зависимой переменной, объяснённую уравнением регрессии. Данные расчётов для нахождения представлены в таблице 3.

Таблица 3

Таблица расчётов для нахождения

Месяц
1	2	3	4	5	6
Январь	26,470	26,281	0,490	0,036	0,791
Февраль	26,340	26,430	0,721	0,008	0,576
Март	26,110	26,328	0,559	0,048	0,280
Апрель	25,840	26,071	0,240	0,053	0,067
Март	25,820	25,772	0,037	0,002	0,057
Июнь	25,930	25,423	0,025	0,257	0,122
Июль	25,560	25,343	0,057	0,047	0,000
Август	25,630	25,309	0,074	0,103	0,002
Сентябрь	25,340	25,192	0,151	0,022	0,058
Октябрь	24,890	25,022	0,312	0,017	0,477
Ноябрь	24,470	25,058	0,273	0,346	1,234
Декабрь	24,570	24,685	0,803	0,013	1,022
Итого	-	-	3,741	0,953	4,687

 

Применив формулу 

 

получим:

 (79,8 %).

Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной (величина курса доллара США к рублю) в среднем на 79,8% объясняется вариацией независимой переменной (объем денежной массы), а необъяснённая вариация (21,7%)  - факторами, неучтёнными в эконометрической модели.

Проверим правильность решения, найдем коэффициент детерминации по формуле:

Получим:

Вывод: значение коэффициента детерминации, полученное двумя способами совпадает, значит коэффициент детерминации найден верно.

Вследствие  того, что  вычислен по выборочным данным, необходимо проверить его статистическую значимость и, вместе с тем, качество построенного регрессионного уравнения.  С этой целью выдвигаем статистические гипотезы вида:

(модель статистически не  значима);

(модель статистически значима).

В данном случае нулевая гипотеза проверяется с  помощью случайной величины ,                                                                        

которая при  справедливости имеет распределение Фишера-Снедекора с числами степеней свободы и , где - число факторных признаков, включённых в уравнение регрессии. В случае парной регрессии , тогда ; , т.е. ; =12-2=10.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

Проверим  правильность решения, вычислим через коэффициент детерминации:

_{Вывод: наблюдаемое значение найденное двумя  способами совпадает, значит значение найдено  верно.}

 

По виду конкурирующей  гипотезы можно говорить о правосторонней критической области  (рис. 3). По таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора находим значение критической точки критерия : .

Вследствие  того, что  , принимается конкурирующая гипотеза , т.е. полученное эмпирическое уравнение регрессии можно использовать на практике, например, для прогнозирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.  Кривая распределения случайной величины

 

6. Построим доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии и   с надёжностью, равной 95 % ( ).  Доверительный интервал (интервальная оценка) для истинных коэффициентов регрессии определяется с использованием - статистики, имеющей распределение Стьюдента. Вычислим верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала:

                                   ,                     

где ; (в данном случае ).

Так, с  заданной надёжностью  интервальная оценка теоретического коэффициента регрессии имеет вид:

,

где  .

Тогда    ,

.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что если объем денежной массы увеличится на 1 трлн. руб., то величина курса доллара США к рублю снизится от 0,682 до 0,325 рублей.

           С заданной надёжностью  интервальная оценка теоретического коэффициента (свободного члена) имеет вид:

,

где  .

Произведя необходимые  вычисления, получаем

,

.

С надёжностью 95% можно утверждать, что истинное значение коэффициента (свободного члена) будет лежать в интервале . В данном случае, экономическая интерпретация построенного доверительного интервала не имеет экономического содержания.

 

7. Доверительный интервал для индивидуального (прогнозного) значения объясняемой переменной , отвечающего значению , вычислим следующим образом:

              

,                    

где - прогнозное значение объясняемой переменной (точечный прогноз) при ;

       - стандартная ошибка случайной величины ,  вычисляемая по формуле

                                 ;                         

       .

Подставляя  ранее найденные значения, получим:

0,362.

Доверительный интервал стоится с надежностью 95%, следовательно,  . Значение независимой переменой по условию принимаем равным трлн. руб.  При данном объеме денежной массы в стране, величину курса доллара США к рублю можно рассчитать по построенному уравнению регрессии, т.е.

.

Таким образом, рубля в день.

Тогда, искомый  доверительный интервал имеет вид:

,

.

Таким образом, с надёжностью 95% можно утверждать, что при объеме денежной массы в 12,5 трлн. рублей в стране, величина курса доллара США к рублю будет колебаться в пределах от 23,713 до 25,328 руб./доллар.

 

8.  На корреляционном поле построим эмпирическую линию регрессии, задаваемую уравнением    .

 

Рис. 4.  Корреляционное поле с линией регрессии.