Контрольная работа по "Эконометрика". 9

ЗАДАНИЕ 1.

В таблице 1.1 приведены данные о размерах совокупного располагаемого дохода X совокупных расходах на личное потребление Y в США в период с 1979 по 1988 год. Обе величины выражены в текущих долларах США:

Таблица 1.1

Исходные данные

X	695	751	810	914	998	1096	1194	1313	1474	1650
Y	621	672	737	811	887	976	1084	1204	1346	1506

 

Найти:

1) Построить линейную регрессию. Вычисление коэффициентов выполнить  методом наименьших квадратов, дать  интерпретацию.

2) Вычислить выборочный коэффициент  корреляции между  Y и X и проверить гипотезу о его значимости;

3) Определите значимость коэффициентов  регрессии и построить для  них 95%-ые интервалы;

4) Используя построенное уравнение, спрогнозировать значение при  ;

5) Построить доверительный интервал для зависимой переменной с надежностью 95%;

6) Определить, есть или нет автокорреляция  остатков с помощью критерия  Дарбина-Уотсона;

7) Вычислить коэффициент детерминации  и проверить его значимость.

8) Оценить прогнозные качества  модели;

9) Сделать общий вывод по качеству построенной модели.

Решение:

1) Построим линейную  регрессию. Вычисление коэффициентов  выполним методом наименьших  квадратов, дать интерпретацию.

Однофакторной моделью регрессии называется модель с одним входным параметром (фактором).

На практике для одного входного параметра составляется однофакторная модель вида Y=b*X+a.

Вид регрессионных моделей находится по следующему алгоритму

1. Определение фактора.

2. Сбор статистического материала. Т.е. определение векторов (последовательности значений) отклика и входных значений. В нашем случае таблица значений задана по условию.

3. Нахождение коэффициентов регрессии  для Y=b*X+a, используя Метод наименьших квадратов (МНК).

Метод Наименьших Квадратов (МНК) - это метод минимизации суммы квадратов невязок (значение отклика заданное - полученное из уравнения регрессии).

Причем коэффициенты регрессии находятся из следующих уравнений:

Докажем правильность приведенных формул для поиска коэффициентов регрессии:

Для этого построим функцию:

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю частных производных данной функции. Неизвестными переменными в нашем случае являются параметры а и b. Найдем эти частные производные:

Получим систему:

Разделив оба уравнения на “n” получим:

Выразив из первого уравнения a и подставив во второе уравнение, получим:

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 1.2

Расчетные данные

№	X	Y	X*X	X*Y	Y*Y		(Y- )^2
1	695	621	483025	431595	385641	616,763	17,95246559	155630,3	132059,56
2	751	672	564001	504672	451584	668,9498	9,303982359	114582,3	97593,76
3	810	737	656100	596970	543169	723,9323	170,7655674	78120,25	61206,76
4	914	811	835396	741254	657721	820,8506	97,03428096	30800,25	30067,56
5	998	887	996004	885226	786769	899,1308	147,155969	8372,25	9486,76
6	1096	976	1201216	1069696	952576	990,4577	209,0242797	42,25	70,56
7	1194	1084	1425636	1294296	1175056	1081,785	4,908183255	10920,25	9920,16
8	1313	1204	1723969	1580852	1449616	1192,681	128,108646	49952,25	48224,16
9	1474	1346	2172676	1984004	1811716	1342,719	10,76812412	147840,3	130754,56
10	1650	1506	2722500	2484900	2268036	1506,734	0,538976223	314160,3	272066,56
Итого:	10895	9844	12780523	11573465	10481884		795,5604745	910420,5	791450,4
Среднее:	1089,5	984,4	1278052,3	1157346,5	1048188,4	-	-	-	-

 

Получим:

a=984,4+0,93190674*1089,5= -30,91239301

Получили однофакторное уравнение регрессии в виде Y=0,9319X-30,91239. Коэффициент b положителен, что означает: при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут.

 

Ответ: Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

Y=0,9319X-30,91239

Коэффициент b показывает, на какую величину изменятся совокупные расходы на личное потребление США, если совокупный располагаемый доход возрастет на 1 единицу.

Сводный член а уравнения регрессии определяет прогнозируемое значение У при совокупном располагаемом доходе Х=0.

 

2) Найдем коэффициент корреляции между X и Y и проверим гипотезу о его значимости.

Коэффициент парной корреляции ryx характеризует тесноту линейной зависимости между x и y. Он находится по формуле:

= .

Для коэффициента парной корреляции выполняется соотношение:

- 1£ ryx £ 1. Чем ближе значение | ryx | к единице, тем теснее линейная связь между x и y. Если | ryx | =1, то между x и y существует функциональная зависимость вида . Если величина | ryx | близка к нулю, то это свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между x и y, что не исключает возможность наличия нелинейной взаимосвязи между x и y.

Близость значения коэффициента корреляции к нулю или единице носит относительный характер. Действительно, если ryx =0,99, то можно с уверенностью говорить о близости значения к единице и достаточно сильной линейной взаимосвязи между x и y. Но если ryx равен, например, 0,7, то говорить о его близости к единице оснований значительно меньше. А если ryx=0,5, то можно с равными основаниями говорить как о близости к нулю, так и о близости к единице.

В условиях нашей задачи получим:

Значит, коэффициент корреляции между X и Y равен 0,999497277. Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными Х и У, т.к. значение │r│ близок к 1.

Одним из важнейших элементов эконометрического анализа является установление наличия связи между различными показателями. Обычно анализ начинают с простейшей линейной зависимости. Чтобы установить наличие значимой линейной связи между X и Y следует проверить гипотезу о статической зависимости коэффициента корреляции. В этом случае используется следующая гипотеза:

: =0

: <>0

Для проверки по выборке (x1,y1),…,(x10,y10) объема 10 строится статистика.

В нашем случае N=10, =0,999497277 (выборочный коэффициент корреляции).

Значит

Определим по таблице распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и степени свободы.

2,306

Если , тогда нет оснований отклонения ;

Если , тогда отклоняется в пользу

В нашем случае отклоняется, значит, коэффициент корреляции статически значим, и между переменными существует линейная связь (прямая).

 

Ответ: Коэффициент корреляции между X и Y равен 0,999497277. Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о сильной (прямой) линейной зависимости между рассматриваемыми переменными Х и У, т.к. значение │r│ близок к 1. Связь прямая, при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут. Коэффициент корреляции статически значим

 

3) Проверим значимость  коэффициентов регрессии и построим для них 95%-ые интервалы.

Определяем значимость коэффициента уравнения. Для проверки значения коэффициента рассчитываются t-статистика.

где Sа ,  Sb – стандартные ошибки коэффициента регрессии

,

где S – стандартная ошибка регрессии

      S2 – остаточная дисперсия.

= 795,5604745/8= 99,44505931

Так как , , то нулевая гипотеза при заданном уровне значимости =0,05 отвергается. Это означает статистическую значимость  коэффициентов a и b. Значит, членами уравнения регрессии нельзя пренебречь, рассматривая   регрессию .

Соотношения, определяющие доверительные интервалы:

 

 

= 795,5604745/8= 99,44505931

Подставив полученные значения в исходную формулу, получим:

 

Доверительный интервал для ‘a’:

-30,91239 2,306* ;

(-58,1586; -3,66624)

Доверительный интервал для ‘b’:

0,9319 2,306* ;

(0,907806; 0,956008)

Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии, которые будут приемлемы с надежностью (1- ) при найденных оценках a, b.

Ответ: Так как , то нулевая гипотеза при заданном уровне значимости =0,05 отвергается. Это означает статистическую значимость  коэффициентов a и b.

 

4) Спрогнозируем значение.

 

5) Найдем интервал, в котором с вероятностью 0,95 находится значение .

Доверительный интервал в данном случае определяется границами:

Получим

(1178,4925; 1196,43245)

Ответ: Доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95, находится значение , определяется границами: (1178,4925; 1196,43245). Другими словами, средний размер совокупного расхода на личное потребление США при размере совокупного располагаемого дохода 1307,4 с вероятностью 95% будет находиться в интервале (1178,4925; 1196,43245).

6) Определим автокорреляцию остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Статистические значения коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации не гарантируют высокое качество уравнения регрессии.

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина-Уотсона DW, рассчитываемую по формуле:

Для заданных в таблице Дарбина-Уотсона указываются два числа: -нижняя граница, - верхняя граница.

Выводы осуществляются по следующей схеме:

Если DW< , то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW>4- , то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

Если <DW<4- , то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если <DW< или 4- <DW<4- , то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не может быть ни принята, ни отклонена.

Таблица 1.3

Расчетные данные

№	X	Y
1	695	621	64,870222	4,237035	17,95246559	-	-
2	751	672	69,388071	3,050243	9,303982359	-1,18679	1,408475
3	810	737	70,033478	13,06773	170,7655674	10,01749	100,35
4	914	811	70,678885	-9,850598	97,03428096	-22,9183	525,2498
5	998	887	71,969699	-12,130786	147,155969	-2,28019	5,199257
6	1096	976	67,45185	-14,457672	209,0242797	-2,32689	5,414398
7	1194	1084	66,161036	2,215442	4,908183255	16,67311	277,9927
8	1313	1204	65,515629	11,318509	128,108646	9,103067	82,86583
9	1474	1346	66,806443	3,281482	10,76812412	-8,03703	64,5938
10	1650	1506	64,224815	-0,73415	0,538976223	-4,01563	16,1253
Итого:	-	-	-	-	795,5604745	-4,97119	1079,2

 

По таблице Дарбина-Уотсона найдем (нижняя граница), (верхняя граница). При уровне значимости имеем:

=0,879, =1,320

Получили <DW<4- , значит, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

 

Ответ: <DW (=1,3565264) <4- , значит, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

 

7) Вычислим коэффициент детерминации и определим его статистическую значимость по критерию Фишера.

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии.

Для этой цели используется коэффициент детерминации . определяет долю разброса зависимых переменных, объяснимую регрессией Y на X и рассчитывается в общем случае по следующей формуле:

Поставим расчетные данные, получим:

На практике проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации .

В этом случае используется следующая гипотеза:

: =0

: >0

Для проверки данной гипотезы существует следующая F-статистика:

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости имеет распределение Фишера.

Для проверки нулевой гипотезы при заданном уровне значимости по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение

Нулевая гипотеза отклоняется, если F> . Это значит, что >0 и статистически значим.

Проведем вышеперечисленные расчеты:

 

Поскольку F> как при 5%-м и при 1%-м уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент детерминации статистически значим.

Ответ: Коэффициент детерминации равен . Данный коэффициент близок к единице, значит, уравнение регрессии с высокой точностью отражает имеющуюся зависимость между переменными y и x. Поскольку F> как при 5%-м и при 1%-м уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент детерминации статистически значим.

 

8) Оценим прогнозные качества модели.

Прогнозные качества модели проверяют при помощи средней относительной ошибки аппроксимации:

Таблица 1.4

Расчетные данные

	У	У~	|yi-yi~/yi|
	621	616,7628	0,006823
	672	668,9496	0,004539
	737	723,9321	0,017731
	811	820,8504	0,012146
	887	899,1305	0,013676
	976	990,4574	0,014813
	1084	1081,784	0,002044
	1204	1192,681	0,009401
	1346	1342,718	0,002438
	1506	1506,734	0,000487
Итого			0,084099

%.

Так как значит, данную модель для прогнозирования использовать желательно.

 

9) Оценим качество уравнения регрессии.

При определении общего качества модели обычно анализируются следующие параметры:

1. t - статистики;
2. коэффициент детерминации;
3. статистика Дарбина-Уотсона;
4. прогнозные качества модели.

 

Таким образом,  в данной линейной модели связь между переменными Х и У прямая сильная, так как коэффициенты корреляции (значим) равен  0,999497277. Связь прямая, т.е. при увеличении совокупного располагаемого дохода совокупные расходы на личное потребление США возрастут.

По критерию Стьюдента коэффициенты регрессии а и b являются значимы.

Коэффициент детерминации статистически значим и равен , что говорит о сильной зависимости между совокупным располагаемым доходом и совокупным расходом на личное потребление США.

Согласно статистике Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

Данная модель для прогнозирования приемлема, так как ошибка аппроксимации .

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2.

Общее уравнение экспоненциальной зависимости:

Коэффициенты а и b находятся аналогично линейной зависимости, но для уравнения где , .

Таблица 2.1

Расчетные данные

	x	y	y*	у*х	х2
	695	621	6,43133	4469,78	483025
	751	672	6,51026	4889,2	564001
	810	737	6,60259	5348,1	656100
	914	811	6,69827	6122,22	835396
	998	887	6,78784	6774,27	996004
	1096	976	6,88346	7544,27	1201216
	1194	1084	6,98841	8344,17	1425636
	1313	1204	7,0934	9313,64	1723969
	1474	1346	7,20489	10620	2172676
	1650	1506	7,31721	12073,4	2722500
среднее	1089,5	984,4	6,851768	7549,905	1278052

Получили уравнение y= 342,3089е0,000933*х.

Построим график для найденной зависимости с помощью средств Мастера диаграмм MS Excel. После ввода данных из исходной таблицы 2.1 на рабочий лист нужно построить плоскую диаграмму зависимости y от x. Проще использовать точечный тип диаграмм. Для этого типа в качестве аргумента предлагается задать область аргумента, в нашем случае x.

После того, как диаграмма построена, необходимо активизировать на ней все точки наблюдений. Затем с помощью правой кнопки мыши вызывается контекстное меню, в котором выбирается пункт «добавить линию тренда». Под линией тренда в данной задаче следует понимать линию, определенную уравнением регрессии.

Затем на закладке «Тип» окна «Линия тренда» нужно выбрать тип уравнения в соответствии с выдвинутой нами ранее гипотезой о экспоненциальной зависимости между y и x. На закладке «Параметры» этого же окна включим флажок «показывать уравнение на диаграмме».

 

Рисунок 1. - Закладки «Тип» и «Параметры» окна «Линия тренда»

На рисунке 2 показан результат оценки регрессии, полученный с помощью Мастера диаграмм Microsoft Excel.

 Видим, что это совпадает с ручным результатом y= 342,3089е0,000933*х, полученным выше.

Совпадение результатов ручной схемы и Мастера диаграмм дает уверенность в их правильности.

Найдем корреляционное отношение. Для этого построим таблицу 2.2.

Таблица 2.2

Расчетные данные

№ п/п
1	654,494	-33,494	-363,4
2	689,583	-17,583	-312,4
3	728,589	8,41127	-247,4
4	802,794	8,20572	-173,4
5	868,212	18,7881	-97,4
6	951,3	24,7001	-8,4
7	1042,34	41,6605	99,6
8	1164,68	39,321	219,6
9	1353,36	-7,3623	361,6
10	1594,77	-88,767	521,6
Сумма квадратов		13747,6	791450

Для определения тесноты связи между интенсивностью потока покупателей и товарооборотом, найдем корреляционное отношение:

.

Так как , следовательно, между размерами совокупного располагаемого дохода (Х) и совокупных расходах на личное потребление (У) существует тесная связь.

Для коэффициента детерминации и индекса корреляции выполняется следующее равенство: , поэтому данные показатели можно сравнить у линейной и нелинейной зависимостей.

Коэффициент детерминации для экспоненциальной зависимости равен .

Коэффициент детерминации для экспоненциальной зависимости показывает, что 98,263% изменения средних расходов на личное потребление обусловлено зависимостью от размеров совокупного располагаемого дохода, остальные 1,737016% приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в экспоненциальной модели.

Сравнивая коэффициенты детерминации для линейной ( = ) и экспоненциальной зависимости ( ), можно сделать вывод, что линейная зависимость лучше аппроксимирует данную задачу в отличие от экспоненциальной зависимости.

 

ЗАДАНИЕ 3.

Имеются статистические данные, описывающие зависимость производительности труда в некоторой отрасли производства (переменная У) от удельного веса рабочих с технической подготовкой (объясняющая переменная Х1) и удельного веса механизированных работ (объясняющая переменная Х2).

Таблица 3.1

Исходные данные

№	Удельный вес рабочих с технической подготовкой, %,   Х1	Удельный вес механизированных работ, %,   Х2	Производительность труда
1	70	90	4350
2	67	89	4100
3	53	73	2950
4	52	69	2900
5	55	75	2950
6	60	76	3350
7	59	79	3410
8	67	87	4050
9	63	83	3650
10	60	78	3450
11	66	86	3950
12	73	89	4400
13	69	91	4220

 

Найти:

1. Найти коэффициенты множественной регрессии в Excel;
2. Используя режим регрессия, оценить значимость коэффициентов построенного уравнения и значимость коэффициентов построенного уравнения, и значимость коэффициента детерминации;
3. Сделать вывод о качестве уравнения по найденным параметрам.

 

Решение:

Регрессионные модели можно подразделить на однофакторные и многофакторные.

Определение

Многофакторной моделью регрессии называется модель с несколькими входным параметрами (факторами). В нашем случае это X1 и Х2.

Фактор является детерминированной величиной, т.е. должен задаваться экспериментатором. В отличие от него результат является величиной случайной и представляет собой некоторую функцию в зависимости от входных параметров. Причем функция должна удовлетворять следующим требованиям:

·  Аналитичность, т.е. должна разлагаться в ряд;

·  Непрерывность;

·  Адекватность, т.е. с достаточной точностью отражать параметры оптимизации;

·  Единственность оптимума.

Данным требованиям наилучшим образом отвечают регрессионные модели. Вид регрессионных моделей находится по следующему алгоритму

1. Определение фактора. В нашем  случае влияние удельного веса  рабочих с технической подготовкой  и удельного веса механизированных работ на производительность труда.

2. Сбор статистического материала. Т.е. определение векторов (последовательности  значений) отклика и входных значений. В нашем случае таблица значений  задана по условию.

3. Нахождение коэффициентов регрессии  для  , используя Матричный метод.

Матричный метод позволяет вычислять вектор коэффициентов уравнения b как выражение следующего вида:

.

В условиях нашей задачи вектор Х определен следующим образом:

1	70	90
1	67	89
1	53	73
1	52	69
1	55	75
1	60	76
1	59	79
1	67	87
1	63	83
1	60	78
1	66	86
1	73	89
1	69	91