Контрольная работа по "Экономическо-математическому моделированию". 3

Задача №1

 

На имеющихся  у фермера 400 га земли он планирует  посеять кукурузу и сою. Сев и  уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду на 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесёт 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесёт ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  её элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдёт, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

ЭММ задачи:

Переменные: х₁ – количество га под кукурузу;

                       х₂ – количество га под сою.

Целевая функция: f (х₁;х₂ ) = 90х₁ + 360х₂ max¹

Функциональные ограничения:

х₁ + х₂ <= 400

200х₁ + 100х₂ <= 60000

30х₁ + 60х₂ <= 21000

Прямые ограничения: х_1,2  <= 0

Преобразуем систему функциональных ограничений:

 

х₁ + х₂ <= 400

2х₁ + 1х₂ <= 600

х₁ + 2х₂ <= 700

1. Построим ОДР
2. Строим вектор градиент (90;360)
3. Строим линию уровня 90х₁ + 360х₂ = а (Const)
4. т.к. задача на max, то линия уровня сдвигается параллельно себе в направлении вектора градиента.

Координаты  т.А определяют оптимальный план задачи х₁ = 0; х₂ = 350.

Ответ: чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 350 га земли соей. При этом он получит: 360*350 = 126000 ден. ед. При решении задачи на min линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении противоположном вектору градиента. Минимум функции будет в т.А(0;0), следовательно фермер не получит прибыль, если не засеет поле.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

 

Для изготовления трёх видов продукции используются три вида сырья, нормы его расхода  и цены реализации единицы каждого  вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы  сырья
	А	Б	В
I	4	2	1	180
II	3	1	2	210
III	1	2	3	244
Цена изделия	10	14	12

 

Требуется:

1. Сформулировать  прямую оптимизационную задачу  на максимум выручки то реализации  готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции.

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти  её оптимизационный план с  помощью теорем двойственности.

3. Пояснить  нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

4. На  основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план её выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;
• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 единицы каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

ЭММ задачи:

Переменные: х₁, х₂, х₃ – количество изделий вида А, Б и В

Целевая функция: f(X) = 10х₁ + 14х₂ + 12х₃  max

Ограничения по ресурсам:

4x₁ + 2x₂ + x₃ <= 180

3x₁ + x₂ + 2x₃ <= 210

x₁ + 2x₂ + 3x₃ <= 244

Прямые ограничения:

x_1,2,3 – целые.

x_1,2,3 >= 0

(Приложение 1).

2. ЭММ двойственной задачи:

у₁ – двойственная оценка единицы сырья первого типа;

у₂ – двойственная оценка единицы сырья второго типа;

у₃ – двойственная оценка единицы сырья третьего типа.

Целевая функция: g(Y) = 180у₁ + 210у₂ + 244у₃              min

Ограничения по ресурсам:

4у₁ + 3у₂ + у₃  >= 10

2у₁ + у₂ +2у₃  >= 14

у₁ +2у₂ +3у₃  >= 12

Прямые ограничения:

у_1,2,3 – целые.

у_1,2,3 >= 0

x₁ = 0; x₂ = 74; x₃ = 32

 

   Применяем 2 теорему двойственности:

у₁ (4x₁ + 2x₂ + x₃ – 180) = 0

у₂ (3x₁ + x₂ + 2x₃ – 210) = 0

у₃ (x₁ + 2x₂ + 3x₃ –244) = 0

 

у₁ (4∙0 + 2∙74 + 32– 180) = 0

у₂ (3∙0 + 74 + 2∙32 – 210) = 0

у₃ (0 + 2∙74 + 3∙32 –244) = 0

0∙ у₁ = 0 – выполняется при любом у₁

-72∙ у₂ = 0 – у₂ = 0

0∙ у₃ = 0 – выполняется при любом у₃

Применяем 2 теорему двойственности:

x₁ (4у₁ + 3у₂ + у₃ – 10) = 0

x₂ (2у₁ + у₂ +2у₃ – 14) = 0

x₃ (у₁ +2у₂ +3у₃ – 12) = 0

 

0 = 0

2у₁+2у₃ = 14

у₁+3у₃ = 12 │∙2

2у₁+2у₃ = 14

2у₁+6у₃ = 24

-4 у₃= - 10

у₃= 2,5

у₁= 4,5

Таким образом  оптимальный план двойственной задачи имеет вид :

у₁= 4,5; у₂ = 0; у₃= 2,5

Вычислим  оптимальные планы: значения целевых  функций прямой и двойственной задач  на найденных оптимальных планах

f(0;74;32) = 10∙0+ 14∙74 + 12∙32 = 1420

g(4,5;0;2,5) = 180∙4,5 + 210∙0 + 244∙2,5 = 1420

1420 = 1420 –  следовательно по 1 теореме двойственности обе задачи решены правильно.

3. у₂ = 0, означает, что ценность ресурса равна нулю. Он расходуется не полностью, находится в избытке.

4. Анализ  использования ресурсов в оптимальном  плане выполняется с помощью  второй теоремы двойственности:

если  у_i > 0, то ∑a_ij∙x_j = b_i, i = 1,m;

если ∑  a_ij∙x_j  < b_i, то yi=0, i = 1,m.

Первый и третий типы сырья имеют  отличные от нуля оценки 4,5 и   2,5 - эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:

4x₁ + 2x₂ + x₃ <= 180

x₁ + 2x₂ + 3x₃ <= 244

 Х=(0;74;32)

4∙0 + 2∙74 + 32 = 180

0 + 2∙74 + 3∙32 = 244

Второй  тип сырья используется не полностью (170<210), поэтому имеет  нулевую двойственную оценку  (у₂ = 0):

3x₁ + x₂ + 2x₃ <= 210

3∙0 + 74 + 3∙32 =170 < 210.

Этот тип  сырья не влияет на план выпуска  продукции.

Согласно  второй теореме двойственности не использованный полностью в оптимальном плане  ресурс получает нулевую оценку. Нулевая  оценка ресурса свидетельствует  о его недефицитности. Недефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов, а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане.

• а) ∆f(Х) – изменение выручки от реализации продукции.

∆f(Х)=?

∆b₁ = +4 – увеличение запаса сырья первого типа;

∆b₃ = +4 – увеличение запаса сырья третьего типа.

У=(4,5;0;2,5)

Решение:

Применяем третью теорему двойственности:

∆f(Х) = ∑y_i∙∆b_i, где

∆f(Х) – изменение функции цели,

∆b_i – изменение запаса ресурса вида i,

y_i – переменная двойственной задачи (двойственная оценка единицы ресурса вида i).

∆f(Х) = ∑y_i∙∆b_i = у₁∙∆b₁ + у₃∙∆b₃= 4,5∙4 + 2,5∙4 = 28

∆f(Х) < 0, значит выручка от реализации продукции увеличится на 28 и станет равной 1448 ден. ед.

б) Найти  ∆х₁, ∆х₂, ∆х₃.

∆х₁ – изменение выпуска продукции вида А,

∆х₂ – изменение выпуска продукции вида Б,

∆х₃ – изменение выпуска продукции вида В.

∆b₁ = +4 , b₁′= 180 + 4= 184

∆b₂ = 0 , b₂′= 210

∆b₃ = +4 , b₃′= 244 + 4 = 248

∆х₁ = х₁′ – х₁,

∆х₂ = х₂′– х₂,

∆х₃ = х₃′– х₃,

Х= (х₁′; х₂′; х₃′) – новый план выпуска продукции.

f(х′)= 10х₁′ +  14х₂′ + 12х₃′ (max-?)

Ограничения по ресурсам:

4x₁′ + 2x₂′ + x₃′ <= 184

3x₁′ + x₂′ + 2x₃′ <= 210

x₁′ + 2x₂′ + 3x₃′ <= 244

(Приложение 2).

• Включаем в план  выпуска изделие вида Г.

С₄ = 13 ден. ед.

а₁₄ = 1, а₂₄ = 3, а₃₄ = 2.

У = (4,5; 0; 2,5)

Используем  следующую формулу:

∆j= ∑а_ij∙y_i – c_j, (j =1,n), где

∑ а_ij∙y_i – это объективно обусловленные затраты на ресурсы, при выпуске единицы продукции вида j,

c_j – цена единицы продукции вида j.

∆4 = а₁₄∙у₁+ а₂₄ ∙у₂+ а₃₄∙у₃ – с₄ = 4,5 + 3∙0 + 2∙2,5 – 13  = 9 – 13 = -4

∆4 > 0 –  изделие вида Г выгодно включать в план производства

• Включаем в план  выпуска изделие вида Д.

С₅ = 12 ден. ед.

а₁₅=2, а₂₅=2, а₃₅=2.

У = (4,5; 0; 2,5)

Используем  следующую формулу:

∆j= ∑а_ij∙y_i – c_j, (j =1,n), где

∑ а_ij∙y_i – это объективно обусловленные затраты на ресурсы, при выпуске единицы продукции вида j,

c_j – цена единицы продукции вида j.

∆5=а₁₅∙у₁ + а₂₅∙у₂ + а₃₅∙у₃ – с₅ = 2∙4,5 + 2∙0 + 2∙2,5 – 13 = 14 – 13 = 1

∆5 > 0 –  изделие вида Д не выгодно включать в план производства, т.к. затраты больше цены изделия. (Приложение 3).

   

 

 

 

 

 

 

 

 Задача № 3

 

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	30	28	33	37	40	42	44	49	47

 

Требуется:

1. Проверить  наличие аномальных наблюдений.

2. Построить  линейную модель Ŷ(t)=а₀+а₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) – расчётные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить  адаптивную модель Брауна Ŷ(t) = a₀+a₁k с параметром сглаживания   α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить  адекватность построенных моделей,  используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5. Оценить  точность моделей на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

6. По двум  построенным моделям осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал  прогноза рассчитать при доверительной  вероятности p = 70%).

7. Фактическое  значение показателя, результаты  моделирования и прогнозирования  представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычисления представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

.

Расчётные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение    уровня ряда считается аномальным.

Необходимые расчёты произведем в таблице № 1.

                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                          Таблица № 1

 

t	yt	yt -	(yt - )2	|yt - yt-1|
1	30	-8,89	79,01
2	28	-10,89	118,57	2	0,27
3	33	-5,89	34,68	5	0,67
4	37	-1,89	3,57	4	0,54
5	40	1,11	1,23	3	0,40
6	42	3,11	9,68	2	0,27
7	44	5,11	26,12	2	0,27
8	49	10,11	102,23	5	0,67
9	47	8,11	65,79	2	0,27
сумма	350	0,00	440,89	-	-

.

Значение  критерия Ирвина для уровня значимости , т.е. с 5%-ной ошибкой, при равно . Так как все расчётные значения и т.д. меньше табличного значения, то аномальных уровней в данном временном ряду нет.

2. Построим  линейную модель  , параметры которой оценим МНК.

В таблице  № 2 приведём промежуточные вычисления и результаты использования линейной модели.

 

 

 

Таблица № 2

 

t		Yt	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1		30	-4	16	-8,89	35,56	28,36
2		28	-3	9	-10,89	32,67	30,99
3		33	-2	4	-5,89	11,78	33,62
4		37	-1	1	-1,89	1,89	36,26
5		40	0	0	1,11	0,00	38,89
6		42	1	1	3,11	3,11	41,52
7		44	2	4	5,11	10,22	44,16
8		49	3	9	10,11	30,33	46,79
9		47	4	16	8,11	32,44	49,42
сумма	45	350	0	60	0	158	350

 

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Последовательно подставляя в модель значение фактора  t от 1 до 9, находим расчётные значения уровней.

3. Построим  адаптивную модель Брауна  с параметрами сглаживания α = 0,4 и α = 0,7, выберем лучшее значение α.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

 

Таблица № 3

t		Yt	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)
1		30	-2	4	-3,6	7,2
2		28	-1	1	-5,6	5,6
3		33	0	0	-0,6	0
4		37	1	1	3,4	3,4
5		40	2	4	6,4	12,8
сумма	15	168	-	10	0	29

 

Остальные вычисления производим по формулам:

Вычисления  отразим в таблице № 4.

При α = 0,4, β = 1-0,4 = 0,6

1-β² = 1-0,6² = 1-0,36 = 0,64

(1-β)² = (1-0,6)² = 0,4² = 0,16

 

 

 

 

Таблица № 4

 

t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		24,90	2,90
1	30	29,21	3,25	27,80	2,20
2	28	29,61	2,54	32,46	-4,46
3	33	32,69	2,68	32,14	0,86
4	37	36,41	2,94	35,37	1,63
5	40	39,77	3,04	39,35	0,65
6	42	42,29	2,91	42,81	-0,81
7	44	44,43	2,72	45,20	-1,20
8	49	48,33	3,02	47,15	1,85
9	47	48,57	2,32	51,35	-4,35

 

 

 

 

Таким образом, на последнем шаге получена модель:

Составим  модель при α = 0,7, β = 1-0,7 = 0,3

1-β² = 1-0,3² = 1-0,09 = 0,91

(1-β)² = (1-0,3)² = 0,7² = 0,49

Получим следующую таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица № 5

t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	E(t)
0		24,90	2,90
1	30	29,80	3,98	27,80	2,20
2	28	28,52	1,15	33,78	-5,78
3	33	32,70	2,78	29,67	3,33
4	37	36,86	3,52	35,48	1,52
5	40	40,03	3,33	40,39	-0,39
6	42	42,12	2,66	43,37	-1,37
7	44	44,07	2,28	44,79	-0,79
8	49	48,76	3,58	46,35	2,65
9	47	47,48	0,96	52,34	-5,34

 

В результате получим модель .

При α = 0,4 модель Брауна лучше, так как расчётные  значения ближе к табличным, чем при α = 0,7.

4. Оценим  адекватность построенной линейной  модели. Результаты исследования  отразим в таблице №6.

Линейная  модель

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                               Таблица № 6

t	Yt	Yp(t)	Et	точки поворота	Et2	Et-Et-1	(Et-Et-1)2	Et*Et-1	|Et/Yt|*100
1	30	28,36	1,64	-	2,70				5,48
2	28	30,99	-2,99	1	8,93	-4,63	21,47	-4,92	10,67
3	33	33,62	-0,62	0	0,39	2,37	5,60	1,86	1,89
4	37	36,26	0,74	0	0,55	1,37	1,87	-0,46	2,01
5	40	38,89	1,11	1	1,23	0,37	0,13	0,83	2,78
6	42	41,52	0,48	0	0,23	-0,63	0,40	0,53	1,14
7	44	44,16	-0,16	1	0,02	-0,63	0,40	-0,07	0,35
8	49	46,79	2,21	1	4,89	2,37	5,60	-0,34	4,51
9	47	49,42	-2,42	-	5,87	-4,63	21,47	-5,36	5,15
сумма	350	350	0,00	4	24,82	-	56,94	-7,93	33,99