Контрольная работа по "Экономике". 206

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант № 1

 

 

 

 

Выполнил : Студент 4 курса 42 группы ФЭФ

Горбачев  Артем Александрович

Рецензент : доц. Тимофеева Н.Л.

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

 

Оглавление

Задача 1 3

Задача 2 12

Задача 3 15

Литература 18

 

 

Задача 1

 

Предполагается, что объем предложения некоторого блага  для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены этого блага и заработной платы сотрудников этой фирмы. Исходные данные за 16 месяцев представлены в таблице 10.

 

Таблица 10.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	20	25	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
X1	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
X2	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
3. Рассчитайте стандартизованные коэффициенты модели и запишите уравнение регрессии в стандартизованном виде. Верно ли утверждение, что цена блага оказывает большее влияние на объем предложения блага, чем заработная плата сотрудников?
4. Для полученной модели (в естественной форме) проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
5. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.
6. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки  (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии  Y  по X?

Решение:

1). Для построения множественной  модели регрессии воспользуемся  приложением Excel. (Меню «сервис» - «анализ данных» - «регрессия»). Результат выводится в виде нескольких таблиц (результаты дисперсионного и регрессионного анализа).

Уравнение регрессии будет  выглядеть следующим образом:

Значение множественного коэффициента детерминации ( ) равно 0,971 и оно незначительно отличается от скорректированного коэффициента детерминации (0,967). Полученное значение свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной (объем предложения к-л. блага) в основном (на 97,1%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих переменных (цены блага и заработной платы сотрудников). Следовательно, модель можно считать адекватной.

Для проверки значимости уравнения  регрессии в целом используется F-критерия Фишера. На уровне значимости уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость , и незначимым, если Значимость .

В нашем случае расчетное значение F-критерия Фишера составляет 220,96, а Значимость F = 9,2E-11, что значительно меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

 

2) Экономическая интерпретация  параметров модели:

Коэффициент b₁ при переменной Х₁ равен 0,729 и означает, что при увеличении (снижении) только цены на данное благо (Х₁) на единицу своего измерения, объем предложения увеличится (уменьшится) в среднем на 0,729 ед., аналогично коэффициент b₂ = -9,51, означает, что связь между объемом предложения блага и заработной платой сотрудников обратная, и со снижением цены блага его объем значительно возрастет.

Полученные результаты кажутся  не весьма надежными. Поэтому возникает  необходимость проверить значимость параметров регрессии. Сделать это  можно при помощи исследования стандартных  ошибок параметров модели и расчетных  значений t-критерия Стьюдента.

На рисунке 1 приведена  таблица с результатами регрессионного анализа.

Рисунок 1.

 

Как видно из последней  таблицы на рисунке 1, на уровне значимости коэффициенты при независимых факторах (т.е. Х₁ и Х₂) значимы, так как Р-значения меньше 0,05. К тому же, поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, т.е. лежать по обе стороны от нулевого значения. В нашем примере доверительные интервалы подтверждают адекватность полученных значений коэффициентов регрессии.

 

3). Стандартизованные коэффициенты служат для выявления степени влияния независимых (экзогенных) факторов на результативный признак. Уравнение регрессии в стандартизованной форме выглядит следующим образом:

,        

где ,   – стандартизованные переменные.

Коэффициенты «чистой» регрессии  связаны со стандартизованными коэффициентами следующим соотношением: .

Рассчитаем стандартизованные  коэффициенты для данной задачи (Расчет дисперсий приведен в файле «Расчетная часть.xls», закладка «Исходные данные+регрессия»).

;

;

Теперь запишем уравнение  регрессии в стандартизовано  виде:

Полученные стандартизованные  коэффициенты показывают, что на 0,256 стандартных отклонений (сигм) изменится в среднем объем предложения блага, если фактор Х₁ изменится на одно стандартное отклонение (одну сигму) при неизменной средний второго фактора; и на -0,779 сигм изменится в среднем значение результативного фактора Y при изменении заработной платы работников на одну сигму и неизменной средней цене блага.

Сравнивая (по модулю) стандартизованные  коэффициенты друг с другом, можно  ранжировать факторы по силе их воздействия  на результат. Стандартизованный коэффициент  при факторе Х₂ (заработная плата) по модулю больше, чем аналогичный коэффициент при факторе Х₁ (цена блага), следовательно, утверждение, что цена блага оказывает большее влияние на объем предложения блага, чем заработная плата сотрудников, неверно. Т.е. заработная плата существеннее влияет на изменения объема предложения блага нежели его цена.

 

4. Для полученной модели (в естественной форме) проверим выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

Первоначально все  n  наблюдений упорядочим в порядке возрастания значений фактора X_1.

После чего разделим совокупность на 2 равные части (по восемь наблюдений в каждой) и проведем регрессионный  анализ каждой из совокупностей.

Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Дисперсионный  анализ первых 8 наблюдений

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	11258,82	5629,41	62,178	0,00029
Остаток	5	ESS1 =452,68	90,54
Итого	7	11711,50

 

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 2.

 

Таблица 2. Дисперсионный  анализ последних 8 наблюдений.

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	5900,52	2950,26	73,950	0,00019
Остаток	5	ESS2=199,48	39,90
Итого	7	6100,00

 

Гипотеза о равенстве  дисперсий двух наборов по m наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F >F_α;m-p;m-p, где p – число регрессоров.

Рассчитаем статистику F_расч = ESS₂/ESS₁ (при этом всегда ESS₂>ESS₁). Для нашего примера получаем: F_расч  = 452,68/199,48 = 2,27.

Для того, чтобы узнать табличное  значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР( ; m-p; m-p) где: =0,05 – заданная вероятность ошибки гипотезы ; m-p = 8-2 = 6 – параметры распределения Фишера.

В данном примере статистика F_расч = 2,27 меньше табличного значения F= FРАСПОБР(0,05;6;6) = 4,28. Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков принимается, т.е. модель гомоскедастична.

 

5) Проверим полученную  модель на наличие автокорреляции  остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

 

Прежде всего, по эмпирическим данным необходимо методом наименьших квадратов определить значения отклонений для каждого наблюдения i (i = 1, 2,..., n).

Расчет остатков приведен в таблице 3.

 

 

Таблица 3.

№ п/п	Остатки еi	ei-1	еi-ei-1	(еi-ei-1)	ei2
1	14,443				208,613
2	-3,221	14,443	-17,664	312,031	10,375
3	-11,375	-3,221	-8,154	66,496	129,401
4	-0,020	-11,375	11,355	128,945	0,000
5	-5,464	-0,020	-5,444	29,634	29,852
6	5,723	-5,464	11,187	125,143	32,753
7	-11,670	5,723	-17,393	302,527	136,195
8	-9,859	-11,670	1,812	3,282	97,195
9	2,955	-9,859	12,813	164,179	8,729
10	5,073	2,955	2,118	4,487	25,733
11	-0,302	5,073	-5,375	28,893	0,091
12	1,612	-0,302	1,914	3,663	2,597
13	7,477	1,612	5,865	34,402	55,904
14	6,053	7,477	-1,424	2,027	36,639
15	-0,678	6,053	-6,731	45,301	0,459
16	-0,746	-0,678	-0,068	0,005	0,557
Сумма				1251,02	775,09

 

Затем рассчитывается статистика Дарбина-Уотсона по формуле:

.

По таблице критических  точек распределения Дарбина–Уотсона  для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m можно определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в - верхняя граница.

Для совокупности из 16 наблюдений с двумя объясняющими переменными (p=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 0,98 и d_в = 1,54.

Если расчетное  значение:

• d_в< d <4-d_в, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);
• d_н< d <d_в, или  4-d_в< d <4-d_н, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);
• 0< d <d_н, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
• 4-d_н< d <4, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале d_в< d <4-d_в. (т.е. 1,54 < 1,61<2,46). Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

 

6)  Для проверки на однородность двух совокупностей используется тест Грегори Чоу. В соответствии с данным тестом построим уравнения регрессии и проведем дисперсионный анализ по первым 8-ми наблюдениям (n₁) и последним 8-ми наблюдениям (n₂). Аналогичные действия проводились при проверке остатков модели на гетероскедастичность, здесь предварительного ранжирования данных по какой-либо из независимых переменных не требуется. Все расчеты приведены в файле «Расчетная часть.xls», закладка «Грегори Чоу».

,  ESS₁=298,27

, ESS₂=55,69

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем n = n₁ + n₂ = 16 наблюдениям, представлены в файле «Расчетная часть.xls», закладка «Исходные данные+регрессия». (ESS = 775,09).

Проверяемая нулевая  гипотеза имеет вид – H₀: b'=b''; D(ε')= D(ε'')= σ².

Если нулевая  гипотеза верна, то две регрессионные  модели можно объединить в одну объема  n = n₁ + n₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза H₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n = n₁ + n₂.

 

Рассчитаем статистику F по формуле:

^.

Находим табличное значение F_табл= FРАСПОБР(0,05;3;10) = 3,71

Так как, F_расч>F_табл, то справедлива гипотеза , т.е. можно объединить первую и вторую выборки нельзя, т.к. они являются неоднородными.

 

Задача 2

 

Изучается зависимость  объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Х_t, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

Y_t = -5 + 1,5∙X_t + 2∙X_t-1 + 4∙X_t-2 + 2,5∙X_t-3 + 2∙X_t-4 + ε_t.

    (2,2) (2,3)  (2,5) (2,3)  (2,4)

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R² = 0,90.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.
2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.
3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

 

1) Исходя из имеющихся  исходных данных, можно предположить, что исследуемая модель адекватна,  т.к. коэффициент детерминации  стремится к единице и означает, что на 90% вариация результативной  переменной (объема ВВП) объясняется  регрессией факторных лаговых  переменных.

Оценить статистическую значимость коэффициентов при лаговых переменных можно с помощью t-критерия Стьюдента (даны по условию). Т.к. все t-статистики при лаговых переменных больше двух, то можно сделать вывод об их существенности, и выбор величины лага  l=4  является оправданным.

 

2) Коэффициент регрессии b_o при переменной Х_t, характеризующий абсолютное изменение Y_t при изменении Х_t на 1 ед. своего измерения в некоторой фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора X, называется краткосрочным мультипликатором. В данном случае он равен 1,5 и показывает, что среднее абсолютное изменение ВВП составит 1,5 млрд. долл. в момент времени t при фиксированных значениях лаговых переменных.

Аналогично в период времени t-1 и неизменных остальных лаговых переменных изменение результативного показателя, т.е. объема ВВП, составит 2 млрд. долл. и т.д.

Как видим из параметров модели при лаговых переменных, наибольшая связь ВВП прослеживается с уровнем  прибыли в экономике в период t-2. Самое незначительное влияние на ВВП отчетного периода оказывает прибыль в экономике того же периода,  при этом изменение ВВП составит всего 1,5 млрд. долл. без учета воздействия остальных лаговых значений фактора Х. 

Долгосрочный мультипликатор определяется как сумма краткосрочного и промежуточных (т.е. коэффициентов  при переменных X_t-2, X_t-3 и X_t-4) мультипликаторов, т.е.:

b = b₀ + b₁ + … + b_l.=1,5 + 2 + 4 + 2,5 + 2 = 12

Полученный мультипликатор показывает, что абсолютное изменение  в долгосрочном периоде t+4 результата Y (объема ВВП) под влиянием изменения на 1 млрд. долл. Прибыли в экономике, составит 12 млрд. долл.

 

3) Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

 

где β_j=b_j/b (j = 0,…,l) - относительные коэффициенты модели с распределенным лагом, тогда:

- Относительные коэффициенты  равны: 

   

   

Следовательно, 12,5% общего увеличения ВВП, вызванного ростом прибыли в  экономике, происходит в текущий  момент времени; 16,7% - в момент времени (t+1); 33,3% - в момент времени (t+2) и 37,5% - в моменты времени (t+3) и (t+4).

- Средний лаг равен:

Т.е. средний период, в  течение которого будет происходить  изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t, составляет 2,125 (месяца, квартала, года и т.д.). Величина среднего лага свидетельствует об относительно медленном реагировании результата на изменение фактора, т.е. эффект от роста прибыли экономики на объем ВВП  проявляется с задержкой в среднем в 2,125 периода.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого буде реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

.

Для нашего случая медианный  лаг будет находится в периоде (t-2), т.е. + + =0,125+0,167+0,333=0,625>0.5. Т.е. половина эффекта (и больше) от изменения прибыли экономики на объем ВВП достигается в периоде (t-2) и составляет 62,5%.

 

Задача 3

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

где: С_t – расходы на потребление в период  t ,

Y_t – чистый национальный продукт в период  t,

Y_t-1 – чистый национальный продукт в период  t-1,

D_t – чистый национальный доход в период  t,

I_t – инвестиции в период  t,

T_t – косвенные налоги в период  t,

G_t – государственные расходы в период  t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.
2. Запишите приведенную форму модели.
3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

 

Решение:

1) Исследуемая модель  представляет собой систему одновременных  уравнений, состоящую из двух  уравнений, которые необходимо  проверить на идентифицируемость  для определения способа оценки  параметров, и двух тождеств, параметры  которых известны, поэтому необходимости  в проверке их на идентифицируемость  нет.

Модель включает четыре эндогенные переменные (С_t I_t Y_t D_t) и три экзогенные переменные (Y_t-1 T_t G_t), в том числе одну лаговую переменную Y_t-1).

Проверим уравнения модели на идентифицируемость.

 

1 уравнение.

Проверим выполнение необходимого условия идентифицируемости. Это  уравнение включает в себя только эндогенные переменных (С_t,D_t) и ни одной экзогенной. Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных системы, не входящих в это уравнение, равно D = 3. Получаем:  D + 1 > H, следовательно, первое уравнение сверхидентифицируемо.

Теперь проверим достаточное  условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов  при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в первое уравнение (R_t, R_t-1, t):

№ уравнения	It	Yt	Yt-1	Tt	Gt
2	-1	b21	b22	0	0
3	0	-1	0	1	0
4	1	0	0	0	1

 

Определитель квадратной подматрицы 2х2 этой матрицы не равен нулю:

,

и достаточное условие  идентифицируемости выполняется.

 

2 уравнение.

Это уравнение включает две  эндогенные переменные (I_t, Y_t) и одну экзогенную переменную (Y_t-1). Таким образом, H = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 2. Получаем:  D + 1 > H, и второе уравнение является сверхидентифицируемым.

Теперь проверим достаточное  условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов  при переменных, не входящих во второе уравнение (C_t  D_t  T_t  G_t):

Номер уравнения	Ct	Dt	Tt	Gt
1	1		0	0
3	0	1	1	0
4	1	-1	0	1

Определитель этой матрицы  не равен нулю, а ее ранг равен 3:

^.

Таким образом, второе уравнение системы сверхидентифицируемо. Следовательно, и вся модель является сверхидентифицируемой.

 

2) Запишем приведенную  форму модели в общем виде:

 

  Здесь ν₁, ν₂, - случайные ошибки.

 

3) Поскольку модель является  сверхидентифицируемой, то для  оценки  
параметров и первого и второго уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов.

 

Литература

 

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. Учебник. М.: ЮНИТИ, 2008.
2. Практикум по эконометрике. Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2008.
3. Эконометрика. Учебник. Под ред. Елисеевой И.И.  М.: Финансы и статистика, 2008.
4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
5. Доугерти К. Введение в эконометрику Доугерти К. Инфра-М, 2007.
6. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 2000.
7. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М., Дело, 2005.