Контрольная работа по "Экономике". 38

Содержание:

Задача 1. Экономическое  моделирование стоимости квартир  в Московской области.

 

Задача 2.Иследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда.

 

Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Экономическое  моделирование стоимости квартир  в Московской области.

 

Имеются данные о продаже квартир на вторичном  рынке жилья в Московской области.

 

Исходные данные:

 

№
1	115	0	4	70,4
2	85	1	3	82,8
3	69	1	2	64,5
4	57	1	2	55,1
5	184,6	0	3	83,9
6	56	1	1	32,2
7	85	0	3	65
8	265	0	4	169,5
9	60,65	1	2	74
10	130	0	4	87
11	46	1	1	44
12	115	0	3	60
13	70,96	0	2	65,7
14	39,5	1	1	42
15	78,9	0	1	49,3
16	60	1	2	64,5
17	100	1	4	93,8
18	51	1	2	64
19	157	0	4	98
20	123,5	1	4	107,5
21	55,2	0	1	48
22	95,5	1	3	80
23	57,6	0	2	63,9
24	64,5	1	2	58,1
25	92	1	4	83
26	100	1	3	73,4
27	81	0	2	45,5
28	65	1	1	32
29	110	0	3	65,2
30	42,1	1	1	40,3
31	135	0	2	72
32	39,6	1	1	36
33	57	1	2	61,6
34	80	0	1	35,5
35	61	1	2	58,1
36	69,6	1	3	83
37	250	1	4	152
38	64,5	1	2	64,5
39	125	0	2	54
40	152,3	0	3	89

 

Наименование показателей:

Обозначение	Наименование показателя	Единица измерения
Y	Цена квартиры	тыс. долл.
X1	Город области	1 – Подольск
		0 – Люберцы
X2	Число комнат в квартире
X3	Общая площадь квартиры	кв. м.

 

Задание:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов X.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерия Фишера. Выбрать лучшую модель.
5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, - и - коэффициентов.

 

 

Решение:

Вводим исходные данные:

 

1.Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.

 

Для построения матрицы парных коэффициентов  корреляции с помощью Excel выполняем следующие действия: Сервис ®  Анализ данных ® КОРРЕЛЯЦИЯ:

 

Получим матрицу коэффициентов  парной корреляции между всеми имеющимися переменными:

 

 

Проанализируем  коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из фактором :

 

, следовательно, между переменными Y и наблюдается обратная корреляционная зависимость: цена квартиры ниже для квартир из Подольска.

, значит, между переменными Y и наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем больше комнат в квартире, тем выше цена квартиры.

, значит, между переменными Y и наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем больше площадь квартиры, тем выше цена квартиры.

 

Для проверки значимости найденных коэффициентов  корреляции используем критерий Стьюдента.

Для каждого  коэффициента корреляции вычислим t-статистику по формуле .

По таблице  критических точек распределения  Стьюдента при уровне значимости и числа степеней свободы определим критическое значение (функция СТЬЮДРАСПОБР).

 

 

, следовательно, коэффициент  значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и , зависимость цены квартиры Y от города области является достоверной.

, следовательно, коэффициент  значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и , зависимость цены квартиры Y от числа комнат в квартире является достоверной.

, следовательно, коэффициент  значимо отличается от нуля. На основе выборочных данных можно сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и , зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры является достоверной.

 

Анализ матрицы  коэффициентов парной корреляции показывает, что наиболее тесная и значимая зависимость наблюдается между ценой квартиры Y и общей площадью квартиры .

 

2.Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

 

 

Для построения поля корреляции используем, Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные Y и значения наиболее информативного фактора

 

В результате получим диаграмму  «Поле корреляции»

 

 

3.Рассчитать  параметры линейных парных регрессий  для всех факторов X.

 

Для построения парной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (Сервис ® Анализ данных). В качестве «входного интервала X» покажем значения фактора .

 

Результаты вычислений представлены в таблицах:

 

 

 

 

 

Уравнение для Х1:

 

.

 

Коэффициент регрессии  , значит цена квартиры в Подольске в среднем на 41,484 тыс. долл. ниже цены квартиры в Люберцы.

 

 

Аналогичные расчеты проведем для  построения модели зависимости цены квартиры Y от числа комнат в квартире .

 

 

 

Уравнение для Х2:

 

.

 

Коэффициент регрессии  , следовательно, при увеличении числа комнат в квартире на 1 комнату цена квартиры (Y) увеличивается в среднем на 33,516 тыс. долл.

 

 

Так же построим модель зависимости  цены квартиры Y от общей площади квартиры .

 

 

Уравнение для Х3:

 

.

Коэффициент регрессии  , следовательно, при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м. цена квартиры (Y) увеличивается в среднем на 1,543 тыс. долл.

Свободный член а в трёх случаях не имеет реального смысла.

4.Оценить  качество каждой модели через  коэффициент детерминации, среднюю  ошибку аппроксимации и F – критерия Фишера. Выбрать лучшую модель.

 

 

Модель	R-квадрат
(1)	0,16268
(2)	0,47363
(3)	0,71496

 

Изменение цены квартиры Y на 16,27% объясняется по уравнению (1) изменением расположения квартиры в городах области , на 47,36% объясняется по уравнению (2) изменением числа комнат в квартире ; на 71,50% по уравнению (3) изменением общей площади квартиры .

 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели , содержащиеся в столбце «Остатки» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS.

 

 

Для модели (1):

 

 

 

 

 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение

= 36.9% (функция СРЗНАЧ).

 

Для модели (2):

 

 

 

 

 

 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение

 

=27.86% (функция СРЗНАЧ).

 

Для модели (3):

 

 

 

 

 

 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение

=27.87% (функция СРЗНАЧ).

 

Заносим данные в таблицу.

 

 

Модель	R-квадрат
(1)	0,16268	36,90%
(2)	0,47363	27,86%
(3)	0,71496	27,87%

 

 

 

Проверим  значимость полученных уравнений с  помощью F-критерия Фишера.

 

Модель	R-квадрат		F
(1)	0,16268	36,90%	7,3828
(2)	0,47363	27,86%	34,19305
(3)	0,71496	27,87%	95,31322

Критическое значение найдено для уравнения значимости и чисел степеней свободы , (функция FРАСПОБР).

 

Сравнение показывает: , и ; следовательно, уравнения моделей (1), (2) и (3) являются значимыми, их использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модели факторными переменными , и .

 

Вывод: на основании оценки качества моделей по коэффициенту детерминации, средней ошибке аппроксимации и критерию Фишера наилучшей является модель (3) зависимости цены квартиры от общей площади квартиры.

 

5.С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.

 

Согласно  условию задачи прогнозное значение факторной переменной составит (функция МАКС). Рассчитаем по уравнению модели (3) прогнозное значение показателя Y:

.

Таким образом, если общая площадь квартиры составит 80% от его максимального значения и будет равна 135,6 кв.м., то ожидаемая  цена квартиры будет около 196,067 тыс. долл.

Зададим доверительную вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого  нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака

.

Предварительно  подготовим:

• Стандартную ошибку модели (таблица «Регрессионная статистика» итогов РЕГРЕССИИ);
• По столбцу исходных данных найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ);
• (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования  для среднего значения составляет

.

Размах  доверительного интервала для среднего значения:

.

Границами прогнозного интервала будут

;

.

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если общая площадь квартиры составит 80% от его максимального  значения и будет равна 135,6 кв.м., то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 176,89 до 215,25 тыс. долл.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с  помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели: тип ® линейная; параметры ® показывать уравнение на диаграмме.

Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя ® прогноз; значения Х ® ; значения Y® ;

Имя ® нижняя граница; значения Х ® ; значения Y® ;

Имя ® верхняя граница; значения Х ® ; значения Y® .

 

 

 

 

6.Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Методом включения построим двухфакторные  модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – общую  площадь квартиры .

В качестве «входного интервала Х» укажем значения факторов и , с помощью программы регрессия найдем коэффициенты данной модели.

 

 

 

 

Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от города области и общей площади квартиры построена, ее уравнение имеет вид

.

Используем  в качестве «входного интервала Х» значения факторов и , с помощью программы РЕГРЕССИЯ найдем коэффициенты модели.

 

 

Таким образом, модель (5) зависимости цены квартиры Y от числа комнат квартиры и общей площади квартиры построена, ее уравнение имеет вид

Построим  множественную модель регрессии, учитывая все факторы ( , и ).

 

Таким образом, трехфакторная модель (6) зависимости  цены квартиры Y от города области , числа комнат в квартире и общей площади квартиры построена, ее уравнение имеет вид

.

Выберем лучшую из построенных множественных  моделей.

Для сравнения  моделей с различным количеством  учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированный R-квадрат» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

 

 

 

Модель	Нормированный R-квадрат
(4)	0,81774
(5)	0,69968
(6)	0,81436

Таким образом, лучшей является модель (4) зависимость  цены квартиры Y от города области и общей площади квартиры : .

Коэффициент регрессии  , следовательно, при смене квартиры из города Люберцы в Подольск и неизменной общей площади квартиры цена квартиры (Y) снижается в среднем на 34,558 тыс. долл.

Коэффициент регрессии  , следовательно, при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м. и неизменном городе области цена квартиры (Y) увеличивается в среднем на 1,492 тыс. долл.

Свободный коэффициент не имеет экономического смысла.

 

7.Оценить качество построенной  модели. Улучшилось ли качество  модели по сравнению с однофакторной  моделью? Дать оценку влияния  значимых факторов на результат  с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов

Для оценки качества выбранной множественной  модели (4) аналогично п.4 данной задачи используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R-квадрат выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Регрессионная статистика» для модели(4)).

, следовательно, вариация (изменение)  цены квартиры Y на 82,7% объясняется по данному уравнению вариацией города области и общей площадью квартиры .

Используем  исходные данные Y_i и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки Е_i (таблица «Вывод остатка» для модели (4)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение . Следовательно, точность модели неудовлетворительная.

С помощью F-критерия Фишера проверим значимость модели в целом.

Для этого  выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Дисперсионный анализ» для модели (4)) F = 88,49. Определим критическое значение (функция FРАСПОБР). Сравним найденные величины . Следовательно, уравнение модели (4) является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными и .

Дополнительно с помощью t-критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах программы РЕГРЕССИЯ

 

Критическое значение найдено для уровня значимости и числа степеней свободы (функция СТЬЮДРАСПОБР).

Схема проверки:

                                                                     не знач.                               знач.

                                        0                                                                               ½t½

, следовательно, свободный коэффициент a не является значимым, его можно исключить из модели.

, следовательно, коэффициент  регрессии b₁ является значимым, его и фактор город области нужно сохранить в модели.

, следовательно, коэффициент  регрессии b₂ является значимым, его и фактор общая площадь квартиры нужно сохранить в модели.

Выводы  о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости . Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,33 = 33%; коэффициент регрессии b₁ – на уровне 1,93Е-05 = 0,000019 = 0,0019%; а коэффициент регрессии b₂ – на уровне 3,08Е-14 ®0%.

Для сравнения  качества парной модели (3) и выбранной  множественной модели (4) используем нормированные коэффициенты детерминации.

Модель	Нормированный R-квадрат
(3)	0,707
(4)	0,818

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии  фактора «город области» качество модели улучшилось, что говорит в пользу сохранения фактора в модели.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами , где j = 1, 2, …, где , – выборочные средние признаков и Y; - коэффициенты регрессии.

Вычислим  ; ; (функция СРЗНАЧ) и найдем, , .

Следовательно, при увеличении фактора  на 1% и неизменном уровне общей площади квартиры цена квартиры Y снижается в среднем на 0,212%.

Увеличение  общей площади квартиры на 1% приводит к увеличению цены квартиры Y в среднем на 1,103% (при неизменном городе области).

Бета- коэффициенты определяются формулами , j = 1, 2,…, где ,  – выборочные средние квадратичные (стандартные) отклонения признаков и ; - коэффициенты регрессии.

Подготовим  ; ; (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем , .

Таким образом, при увеличении только фактора  на одно его стандартное отклонение результат Y уменьшается в среднем на 0,336 своего стандартного отклонения , а при увеличении только фактора на одно его стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,818 своего стандартного отклонения .

Дельта- коэффициенты определяются формулами , j = 1, 2,…, где – соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции.

Коэффициенты  парной корреляции и найдены с помощью программы КОРРЕЛЯЦИИ (п.1 данной задачи), коэффициент детерминации определен для рассматриваемой двухфакторной модели программой РЕГРЕССИЯ.

Вычислим дельта- коэффициенты: , .

Значит, по уравнению полученной линейной двухфакторной  модели изменение результирующего  фактора Y (цены квартиры) на 16,4% объясняется воздействием фактора (город области) и на 83,4% влиянием фактора (общая площадь квартиры).

 

2.Построить  линейную модель временного ряда  , параметры которой оценить МНК;

С помощью  программы РЕГРЕССИЯ найдем коэффициенты уравнения регрессии a и b

 

Таким образом, ; .

Модель построена, ее уравнение имеет вид  .

Коэффициент регрессии  показывает, что с каждой неделей спрос на кредитные ресурсы (Y) увеличивается в среднем на 5 млн. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Исходные данные:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	20	27	30	41	45	51	51	55	61

 

Задание:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК;
3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
4. Осуществить прогноз спроса на следующие 2 недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%).
5. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

 

Решение:

Вводим  исходные данные

 

1.Проверить наличие аномальных наблюдений.

 

Используем  метод Ирвина, основанный на определении  – статистик по формуле

,

где - выборочное среднее квадратическое (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим  (функция СТАНДОТКЛН) и рассчитаем - статистики

При и уровне значимости можно использовать .

Схема проверки:

                                                                     не аном.                              аном.