Контрольная работа по "Экономике". 281

Содержание

1. Рассчитайте корреляцию между  экономическими показателями (не менее 6) из статистических данных по выборке не менее 50 наблюдений (из Интернета, печатных источников или Вашего предприятия). Интерпретируйте полученные данные.

Имеются исходные выборочные данные по организациям одной из отраслей хозяйствования в 2011 году (выборка 20%-ная, бесповторная) о результатах производственной деятельности организаций:

Корреляционная  зависимость рентабельности от различных  факторов.

Матрица парных коэффициентов корреляции.

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые  могут быть включены в модель множественной  корреляционной зависимости. Факторные  признаки, у которых r_yxi < 0.5 исключают из модели.

На основании  полученных данных можно сделать вывод, что наибольшее влияние на среднегодовую стоимость ОПФ оказывает фактор х1, х2, х3 - выпуск продукции, уровень производительности труда, фондоотдача, у остальных факторов наблюдается более слабый корреляционный отклик.

2) Постройте линейную множественную регрессию. Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели. Определите значимость переменных, найдите среднюю ошибку аппроксимации (вручную в экселе), коэффициент детерминации, линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии, найти критерий Фишера, Т-статистику и т. д.

Для выбора наилучшей  регрессионной функции необходимо ее проанализировать по набору критериев: коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественной корреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.

Для парной регрессии Множественный R равен коэффициенту корреляции (r_xу). Множественный коэффициент корреляции R определяется как коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Y_i и расчетными, прогнозируемыми значениями. По его значению 0,999882 можно сказать, что между X и Y существует сильная линейная зависимость.

Коэффициент корреляции в квадрате близок к 1, это означает, что данная модель хорошо описывает данные.

Получили уравнение регрессии:

Y = 14.84 + 0.15X₁ + 0.26X₂ + 123.75X₃-39.48X₄-0.0241X₅ + 0.00984X₆

Коэффициент b1=0,15 показывает, что при увеличении среднесписочной численность работников, среднегодовая стоимость ОПФ увеличивается в среднем на 0,15, увеличение выпуска продукции на 1%, приводит в среднем увеличению среднегодовой стоимости ОПФ на 0,26, увеличение производительности труда на 1% приводит к уменьшению среднегодовой стоимости ОПФ на 123,75, а уменьшение фондоотдачи, на 1% ведет к уменьшению рентабельности на 39,48. Увеличение товарооборота, на 1% ведет к уменьшению среднегодовой стоимости ОПФ на 0,0241. Увеличение издержек, на 1% ведет к увеличению среднегодовой стоимости ОПФ на 0,00984.

Стандартные ошибки m_i, t-статистики t_i могут быть вычислены по формулам: S_i 

Где σ_Y - среднее квадратическое отклонение для отклика Y, σ_Xi - среднее квадратическое отклонение для регрессора Xi (X1, X2, …)R²- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,   - коэффициент детерминации для зависимости отклика Y от всех регрессоров кроме Xi, - коэффициент детерминации для зависимости Xi от всех регрессоров кроме Xi.

T_табл (n-m-1;α) = (43;0.025) = 2.009

Находим стандартную  ошибку коэффициента регрессии b₀:

Статистическая  значимость коэффициента регрессии b₀ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₁:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₂:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₃:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₃ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₄:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₄ подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₅:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₅ не подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b₆:

Статистическая  значимость коэффициента регрессии b₆ не подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные  интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут  следующими:

(b_i - t_i S_bi; b_i + t_i S_bi)

b₀: (14.84 - 2.009 • 6.9; 14.84 + 2.009 • 6.9) = (0.98;28.69)

b₁: (0.15 - 2.009 • 0.0157; 0.15 + 2.009 • 0.0157) = (0.12;0.18)

b₂: (0.26 - 2.009 • 0.0668; 0.26 + 2.009 • 0.0668) = (0.12;0.39)

b₃: (123.75 - 2.009 • 7.09; 123.75 + 2.009 • 7.09) = (109.51;138)

b₄: (-39.48 - 2.009 • 7.46; -39.48 + 2.009 • 7.46) = (-54.46;-24.49)

b₅: (-0.0241 - 2.009 • 0.0289; -0.0241 + 2.009 • 0.0289) = (-0.0823;0.034)

b₆: (0.00984 - 2.009 • 0.0352; 0.00984 + 2.009 • 0.0352) = (-0.0608;0.0805)

Табличное значение t–критерия Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 43 t_таб=2,009. Коэффициенты t- статистики при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t таб., и согласно t–критерию не являются статистически значимыми.

По величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается незначимым.

Для коэффициентов b₀, b₂, b₃, b₄ значения вероятности близко к нулю, следовательно, b₁ можно считать значимым, b1- близко к единице, коэффициент не значим.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии  осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент  детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через  коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения  Фишера-Снедоккора находят критическое  значение F-критерия (Fкр). Для этого  задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя  числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1.

F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент  к единице, тем больше уравнение  регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой  является скорректированный коэффициент  детерминации:

Добавление  в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент  детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном  равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: β₁ = β₂ = ... = β_m = 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения  Фишера.

Если F < F_kp  = F_{α ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

Табличное значение при степенях свободы k₁ = 6 и k₂ = n-m-1 = 50 - 6 -1 = 43, Fkp(6;43) = 2.25

Поскольку фактическое  значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение  регрессии статистически надежно.

Далее представлены доверительные интервалы (нижняя и  верхняя границы) для рассчитанных коэффициентов.

Таблица 6

Расчет относительной  ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических и рассчитывается по формуле:

Средняя ошибка аппроксимации составляет 91,93 %. Это значит, что качество тренда признается недопустимым, так в норме средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%. Значит, полученная модель плохо описывает линейные данные.

3)Проверка модели  на отсутствие автокорреляции

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями.

Этот критерий является наиболее известным для  обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии  на начальном этапе часто проверяют  выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e_i.

Значение критерия вычисляется по формуле:

Таблица 7

Расчет критерия d - Дарбина-Уотсона

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 50 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция  отсутствует, если выполняется следующее условие:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

Не обращаясь  к таблицам, можно пользоваться приблизительным  правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.62 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям. По таблице Дарбина-Уотсона для n=50 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.50; d₂ = 1.59. Поскольку 1.50 < 1.62 и 1.59 < 1.62 < 4 - 1.59, то автокорреляция остатков отсутствует.

4) Проверка на  гетероскедастичность моделей

При помощи теста  ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги  признаку Y и фактору X. Найдем сумму  разности квадратов d².

По формуле  вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Если среди  значений признаков х и у встречается  несколько одинаковых, образуются связанные  ранги, т. е. одинаковые средние номера; например, вместо одинаковых по порядку  третьего и четвертого значений признака будут два ранга по 3,5. В таком  случае коэффициент Спирмена вычисляется как:

где

j - номера связок  по порядку для признака х;

А_j - число одинаковых рангов в j-й связке по х;

k - номера связок по порядку для признака у;

В_k - число одинаковых рангов в k-й связке по у.

Таблица 8

A = 318/12 = 26.5

B = 198/12 = 16.5

Связь между  признаком Y и фактором X слабая и  прямая.

Значимость  коэффициента ранговой корреляции Спирмена

По таблице  Стьюдента находим t_табл:

t_табл(n-m-1;α/2) = (48;0.05/2) = 2.009

Поскольку Tнабл < tтабл, то принимаем гипотезу о  равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции

r(-0.0762;0.47)

Гипотеза о  гетероскедастичности подтверждается.

Список используемой литературы

1.  Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.

2. Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. – 208 с.

3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

4.  Практикум по эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.

5.  Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с

6. Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008. – 198 с.