Контрольная работа по "Экономике". 234

Содержание

 

 

Задача 1

 

Некоторая фирма выпускает два  набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входят 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

 

1. Составим экономико-математическую модель задачи.

 

Обозначим х1 – количество обычного набора удобрений, а х2 – количество улучшенного набора, которое требуется купить.

По смыслу переменные не отрицательны: х1≥0, х2≥0.

Количество удобрений:

3х1+2х2 – азотных удобрений,

4х1+6х2 – фосфорных удобрений,

х1+3х2 – калийных удобрений.

 

Учитывая установленные ограничения  и необходимое количество удобрений получим систему неравенств:

 

Общие затраты должны быть минимальными:

F(x) = 3*x1 + 4*x2 → min.

Итак, экономико-математическая модель задачи получена.

Составить суточный план выпуска Х(х1, х2), стоимость которого максимальна

и выполнены ограничения:

х1≥0, х2≥0.

 

2. Для решения задачи  используем графический метод.

 

2.1. Построим область  допустимых решений.

 

Неравенства х1≥0, х2≥0 задают первую координатную четверть в плоскости Ох1х2.

Определим, какую часть плоскости  описывает неравенство 3х1+2х2≥10.

Для этого:

  • Построим прямую L1: 3х1+2х2=10. Она проходит через точки (0; 5) и (10/3;0).
  • Определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству - выбираем любую точку на плоскости, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, тоже удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х1 = х2 = 0 в неравенство 3х1+2х2=10. Получим 3∙0+2∙0≥10. Данное утверждение является неверным, следовательно, неравенству 3х1+2х2≥10 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая точку (0, 0).

Рассуждая аналогично, построим полуплоскость, определяемую неравенством 4х1 +6х2 ≥ 20. Строим прямую L2, проходящую через точки (0; 10/3) и (5; 0). Так как 4∙0+6∙0<20, то неравенству 4х1 + 6х2 ≥ 20 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая точку (0, 0).

Неравенство х1 + 3х2 ≥ 7 определяет полуплоскость, ограниченную прямой L3: х1 + 3х2 = 7, которая проходит через точки (0, 7/3) и (7, 0). Так как

1∙0+3∙0 ≥ 7 неверно, то неравенству х1 + 3х2 ≥ 7 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая начало координат.

Допустимая область - многоугольник ABCD, открытый сверху

 




  А







    B



        C


 

   D

 

 

2.2. Построим вектор целевой функции (градиент, вектор нормали). Координты конца вектора определяются коэффициентами функции цели, при этом начало вектора находится в точке (0, 0): .

 

2.3. Построим линию  уровня целевой функции. Для этого приравняем целевую функцию к постоянной величине a: 3х1 + 4х2 = а. Пусть для удобства а=0, тогда уравнение линии нулевого уровня Lo: 3х1 + 4х2 = 0 и она проходит через точки (0, 0) и (-4; 3). Если построение выполнено правильно, то линии уровня целевой функции и градиент перпендикулярны.

 

2.4. Определим оптимальное  решение задачи.

Для решения задачи на минимум переместим линию нулевого уровня Lo параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору до точки выхода из допустимой области, таким образом, найдем разрешающую точку В.

Найдем  координаты точки B, являющейся пересечением прямых

3х1 + 2х2 = 10

4х1 + 6х2 = 20

 

Получим:

Х1=2, Х2 = 2.

При этих значениях затраты будут  наименьшими.

Значение целевой функции в  этой точке равно Fmin(x) = 3∙2 + 4∙2 = 14

При решении задачи на максимум переместим линию нулевого уровня в направлении вектора до точки выхода из допустимой области. Так как область не ограничена сверху, оптимального решения не существует

 

Задача 2

 

 

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья

Нормы расхода сырья  на ед. продукции

Запасы сырья

А

Б

В

Г

I

2

1

3

2

200

II

1

2

4

8

160

III

2

4

1

1

170

Цена изделия

5

7

3

6

  

 

Требуется:

 

  1. сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
  2. сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности;
  3. пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане;
  4. на основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;

оценить целесообразность включения  в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

 

1. Сформулировать прямую  оптимизационную задачу на максимум  выручки от реализации продукции,  получить оптимальный план выпуска продукции.

 

1.1. Построим математическую  модель прямой задачи.

 

Введем управляющие 

х1 - объем производства продукции А,

х2 – объем производства продукции B,

х3 – объем производства продукции C.

х4 – объем производства продукции D.

Построим функцию цели. Если реализовать  х1 продукции А по цене 5 ден. ед., то выручка составит 5х1 ден. ед. Аналогично для других видов продукции. Следовательно, целевую функцию (выручка предприятия) можно записать в виде:

Исходя из требования максимизации выручки:

Построим систему ограничений. Так как расход ресурсов не может превышать запасов, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:

По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е.

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.

Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:

Найти неизвестные  Х(х1, х2, х3, х4)

при которых 

и выполняются ограничения

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.

 

1.2. Решим задачу с  помощью настройки Поиск решения в среде MS Excel.

 

На листе Excel обозначим искомые  переменные х1, х2, х3, х4 и зарезервируем ячейки для их значений (изменяемые ячейки), оставим эти ячейки пустыми.

Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки ее коэффициенты c1, c2, c3, с4, а в свободную ячейку (целевая ячейка) – формулу для вычисления значения этой функции (функция СУММПРОИЗВ со ссылкой на ячейки значений коэффициентов и переменных).

Для каждого ограничения задачи заполним коэффициенты левых частей неравенств aij, в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений (СУММПРОИЗВ), укажем знак неравенства (<=, >=, или =) и величину его правой части bi.

Вызовем программу Поиск решения  и укажем данные для расчета.

 
 Чтобы не вводить для каждой переменной смысловые ограничения хj≥0 можно воспользоваться окном "Параметры" поиска решений, выделив

Получим:

 

переменные

      
 

х1

х2

х3

х4

      
 

80

0

0

10

      

коэффициенты

5

7

3

6

  

460

  
               
 

Ограничения

      
 

Расход ресурсов

лев.часть

знак

прав.часть

Сырье 1

2

1

3

2

180

<=

200

Сырье 2

1

2

4

8

160

<=

160

Сырье 3

2

4

1

1

170

<=

170


 

В результате решения  задачи найдем оптимальный план х*1=80, х*2=0, х*3=0, х*4=10. При этом f(X*)=460.

Таким образом, максимальная выручка составит 460 ден. ед. и будет получена при выпуске 80 ед. продукции A, 10 ед. продукции D. Продукцию B и C выпускать нецелесообразно.

 

1.3. Для последующего экономического  анализа сформируем "Отчет по устойчивости":

 

Изменяемые ячейки

          
     

Результ.

Нормир.

Целевой

Допустимое

Допустимое

 

Ячейка

Имя

значение

стоимость

Коэффициент

Увеличение

Уменьшение

 

$B$3

х1

80

0

5

7

1,5

 

$C$3

х2

0

-3

7

3

1E+30

 

$D$3

х3

0

-1,1333334

3

1,13333334

1E+30

 

$E$3

х4

10

0

6

34

2,428571429

               

Ограничения

          
     

Результ.

Теневая

Ограничение

Допустимое

Допустимое

 

Ячейка

Имя

значение

Цена

Правая часть

Увеличение

Уменьшение

 

$F$8

Сырье 1 лев.часть

180

0

200

1E+30

20

 

$F$9

Сырье 2 лев.часть

160

0,46666667

160

150

75

 

$F$10

Сырье 3 лев.часть

170

2,26666667

170

21,4285714

150

               

 

Оптимальное значение переменных Х(х1, х2, х3, х4) приведены в столбце "Результ. Значение" первой таблицы.

 

2. Сформулировать двойственную  задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

 

2.1. Применим правила построения модели двойственной задачи:

 

1. Число переменных в двойственной  задаче равно числу ограничений  исходной задачи – 3. Введем  обозначения yi, i=1,…3 – двойственные оценки каждого вида ресурса. Все переменные  y1, y2, y3, – неотрицательны.

2. Коэффициенты при неизвестных  в целевой функции двойственной  задачи являются свободные члены  системы ограничений прямой задачи (200, 160, 170); g(Y) = 200y1+160y2+170y3.

3. Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к  ней – на минимум.

g(Y) → min.

4. Число ограничений в двойственной  задаче равно числу переменных  в прямой – 4.

5. В прямой задаче все неравенства  в системе ограничений имеют  вид "≤", следовательно, в  двойственной задаче – вид  "≥".

6. Матрицы ограничений исходной  и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:

7. Правыми частями в ограничениях  двойственной задачи являются  коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи

Учитывая эти правила, запишем модель двойственной задачи:

Найти неизвестные Y=( y1, y2, y3),

при которых g(Y) = 200y1+160y2+170y3→min

и выполняются ограничения

 

2.2. Найдем решение  двойственной задачи с использованием теорем двойственности при оптимальных значениях х*1=80, х*2=0, х*3=0, х*4=10.

Согласно основной теореме двойственности минимальное значение gmin существует, причем gmin = fmax = 460.

Проанализируем соотношения  теоремы о дополняющей нежесткости:

Учитывая, что y*1=0, получим:

Для проверки вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

g(Y) = 200∙0+160∙7/15+170∙34/15=460

Как и должно быть в соответствии с основной теоремой двойственности, экстремальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.

Итак, оптимальный план двойственной задачи

.

Оптимальные значения двойственных переменных приведены в "Отчете по устойчивости" в столбце "Теневая цена" второй таблицы.

 

3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.

 

Рассмотрим оптимальное  решение прямой задачи х*1=80, х*2=0, х*3=0, х*4=10.

Компоненты оптимального решения  основной задачи х*1=80 и х*4=10 положительны, следовательно, продукция A и D рентабельны, их следует производить в указанном количестве. Непроизводительных затрат нет, так как выполняется равенство . Действительно:

Значит изготовление 1 ед. продукции B будет снижать оптимальный план на 3 ден. ед.

Значит изготовление 1 ед. продукции C будет снижать оптимальный план на 17/15 ден. ед.

 

Величина непроизводительных затрат приведена в отчете по устойчивости в столбце "Нормир. Стоимость" Для рентабельных видов продукции она равна нулю. Для нерентабельных величина нормированной стоимости показывает, на сколько изменится значение целевой функции в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

В столбцах "Допустимое уменьшение" и "Допустимое увеличение" первой таблицы показаны предельные значения приращений целевых коэффициентов, при которых сохраняется найденное оптимальное решение.

Так, допустимое увеличение цены на нерентабельную продукцию B вида равно 3, а допустимое уменьшение практически неограниченно (строка 2 в таблице). Это значит, что если цена на продукцию А вырастет более чем на 3 ден. ед./шт., то оптимальное решение изменится: выпуск данного вида продукции станет целесообразным. Если цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (80; 0; 0; 10) останется прежним (продукция B нерентабельна).

Так же для продукции С.

Допустимое увеличение цены на нерентабельную продукцию С вида равно 1,133 а допустимое уменьшение практически неограниченно (строка 3 в таблице). Это значит, что если цена на продукцию С вырастет более чем на 1,133 ден. ед./шт., то оптимальное решение изменится: выпуск данного вида продукции станет целесообразным. Если цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (80; 0; 0; 10) останется прежним (продукция С нерентабельна).

 

Аналогично, если цена рентабельной продукции A уменьшится на 1.5 ден. ед. или цена продукции D уменьшится на 2.43 ден. ед., то оптимальный план производства изменится: выпуск этих видов продукции станет нецелесообразным.

 

4. На основе двойственных  оценок и теорем двойственности  провести экономический анализ решения задачи.

 

4.1. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

 

Рассмотрим оптимальное  решение двойственной задачи . Нулевая компонента y*1 указывает, что ресурс I недефицитный, он используется не полностью. По теореме о дополняющей нежесткости выполняется неравенство , излишки этого ресурса составляют

 ед.

Увеличение ресурса I не повлияет на величину общей выручки. Ненулевые значения означают, что ресурсы II и III являются дефицитными, они полностью используются в оптимальном плане и таким образом сдерживают рост функции цели. Действительно, по теореме дополняющей нежесткости выполняются равенства

:

, следовательно, ресурс III является более дефицитным, чем ресурс II, его двойственная оценка выше. Каждая дополнительная единица ресурса II, введенная в производство увеличивает выручку на 7/15 ден. ед., а каждая дополнительная единица ресурса III – на 34/15 ден. ед.

Относительная заменяемость ресурсов II и III

y*2 : y*3 = 7/15:34/15=7/34, т.е. 7 дополнительная единица ресурса III в плане получения выручки равноценны 34 дополнительным единицам ресурса II.

Во второй таблице "Отчета по устойчивости" содержится информация, относящаяся к ограничениям: "Результ. Значение" – затраты соответствующего ресурса по оптимальному плану; "Ограничения правая часть" – запасы ресурсов.

Сравнивая эти величины, можно оценить  дефицитность ресурсов и рассчитать излишки недефицитных ресурсов.

 

4.2. Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I вида на 8 ед., II вида на 10 ед. и уменьшении ресурса III вида на 5 ед.

 

Анализ чувствительности решения к изменению запасов сырья проведем с помощью отчета по устойчивости.

В столбцах "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" второй таблицы показано, на сколько  можно уменьшить (устранить излишки  запасов) или увеличить (повысить минимально необходимое количество) ресурс, сохраняя при этом оптимальное решение двойственной задачи. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане показал, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больше продукции, чем в оптимальном решении, и получать более высокую выручку. Такими ограничениями являются дефицитные ресурсы II и III.

По условию задачи запас  ресурса II предполагается увеличить на 10 ед., что соответствует значению Δb2 = +10. Это изменение входить в интервал устойчивости (для запасов ресурса II допустимое увеличение равно

Δb2 = +150, Допустимое уменьшение Δb2 = -75), значит можно применить теорему об оценках ΔFmax = y*i∙bi:

ΔFmax = 7/15∙10=+70/15

Таким образом, при увеличении ресурса II на 10 ед. выручка увеличится на 70/15 ден. ед.

Аналогично при уменьшении ресурса III на 5 ед. выручка уменьшится на ΔFmax = 34/15∙(-5)=-170/15

ΔF(x)= 70/15-170/15 = -100/15 ден.ед.

 

Для определения новой  производственной программы воспользуемся  надстройкой "Поиск решения, изменив  в системе ограничений величину запаса сырья II и III

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.

 

В результате решения найдем новый оптимальный план: х*1=76.67, х*2=0, х*3=0, х*4=11,67. При этом f(X*)=453.33

Таким образом, максимальная выручка  уменьшится и составит 453.33 ден. ед., что объясняется изменением производственной программы. При новых запасах ресурсов целесообразно производить 76,67 ед. продукции А и 11,67 ед продукции D. Продукцию B и C производить по-прежнему нерентабельно.

 

4.3. Определим целесообразность  включения в план изделия четвертого вида.

 

Рассчитаем критерий эффективности  включения в производство нового изделия.

.:

Δ=10-(2∙0+2∙7/15+2∙34/15)=10-82/15=68/15>0,

Следовательно, производство этого  вида продукции выгодно. Производство этого вида продукции станет рентабельным, если выручка от реализации составит не менее 83/15 ден. ед.

 

 

 

 

Задача 4

 

 

          Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного ряда.

Условия:

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

Номер варианта

Номер наблюдения ( t=1, 2, …,9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3

3

7

10

11

15

17

21

25

23


 

          Требуется:

    • Проверить наличие аномальных наблюдений.
    • Построить линейную модель Ý(t) = a0+ a1t, параметры которой оценить МНК (Ý(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
    • Построить адаптивную модель Брауна Ý(t) = a0+ a1k с параметрами сглаживания α=0,4 и α=0,7, выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
    • Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
    • Оценить точность моделей  на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
    • По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).
    • Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные и промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями)

 

 

Решение:

 

1. Проверим  наличие аномальных наблюдений.

 

Используем метод Ирвина, основанный на определении λt – статистик по формуле


 

 

где Sy – выборочное среднее квадратичное (стандартное) отклонение признака Y.

Подготовим Sy = 7,22 (функция СТАНДОТКЛОН). Для каждого наблюдения рассчитаем λt – статистики. Результаты расчетов приведем в таблице:

t

Y(t)

λ

1

3

  

2

7

0,532

3

10

0,399

4

11

0,133

5

15

0,532

6

17

0,266

7

21

0,532

8

25

0,532

9

23

0,266


Критическое значение λкр при n=9 и уровне значимости a=5% можно использовать λкр = 1,5.

Т.к. таких значений нет, то аномальных наблюдений нет

Схема проверки:

не аном                 аном

                                            λ


0        λкр                      

Будем использовать исходный ряд для выполнения следующих  пунктов задачи.

 

2. Построим линейную модель временного ряда ,параметры которой оценим МНК.

 

Для построения линейной модели используем программу РЕГРЕССИЯ (надстройка Анализ данных). В качестве "входного интервала Х" покажем значения фактора времени t, в качестве "входного интервала Y" – значения yt

 

 

Коэффициенты модели содержатся в третьей таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец "Коэффициенты")

 

Коэффициенты

Y-пересечение

1,166667

t

2,7


Таким образом, а=1,17; b=2,7.

Модель построена, ее уравнение имеет вид 

Коэффициент регрессии b=2,7 показывает, что с каждым годом спрос на кредитные ресурсы растет на 2,7 млн. руб.

 

3. Построить  адаптивную модель Брауна  , с параметры сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

 

Для проведения вычислений по формуле Брауна подготовим таблицу.

   

Построение модели Брауна

t

yt

at

bt

y(t)

e(t)

…

…

…

…

…

…


Расчет коэффициентов  а1, b1 требует предварительной оценки а0, b0 для предыдущего периода. В этом качестве используют коэффициенты вспомогательной линейной модели , построенной по первым пяти уровням ряда yt.

С помощью "анализ данных/РЕГРЕССИЯ" найдем

 

Коэффициенты

Y-пересечение

0,80

t

2,80


 

Примем а0 = а = 0,80, b0 = b = 2,80, занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы и перейдем к построению собственно модели Брауна согласно формулам:

3.1 Согласно условию задачи коэффициент сглаживания α=0,4 →β=1-α=0,6. По основной формуле Брауна, приняв t=0, k=1, рассчитаем начальные значения

Теперь перейдем к t=1 и уточним коэффициенты модели

Ошибка расчета 

По основной формуле  Брауна при t=1, k=1, рассчитаем начальные  значения

Перейдем к t=2 и уточним коэффициенты модели

Ошибка расчета 

По основной формуле  Брауна при t=2, k=1, получим

и т.д. для t=3,4,…,9. Максимальное значение t для которых могут быть рассчитаны коэффициенты аt и bt, определяется количеством исходных данных и равно 9.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной  таблице.

   

Построение модели Брауна (α =0,4)

t

yt

at

bt

y(t)

e(t)

   

0,80

2,80

    

1

3

3,22

2,70

3,60

-0,60

2

7

6,61

2,88

5,92

1,08

3

10

9,82

2,96

9,49

0,51

4

11

11,64

2,67

12,77

-1,77

5

15

14,75

2,78

14,31

0,69

6

17

17,19

2,70

17,54

-0,54

7

21

20,60

2,88

19,89

1,11

8

25

24,45

3,12

23,48

1,52

9

23

24,65

2,39

27,57

-4,57

Контрольная работа по Экономике. 234 📙 Контрольная → 🆔 77831

Контрольная работа по Экономике. 234 📙 Контрольная → 🆔 77831

Контрольная работа по "Экономике". 234