Контрольная работа по: «Экономико-математические модели и методы»

Автономная  некоммерческая организация высшего  профессионального образования «ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И  ФИНАНСОВ»

Факультет: Экономический

Кафедра:

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Экономико-математические модели и методы»

Вариант № _14__

 

Выполнил:	Лебедева Екатерина Юрьевна
ФИО полностью, заполняется студентом
Группа:	Э3/1-11-С(И)
если  номер группы неизвестен, просто, например, М(Ф, ЭУ и т.д.)-10-С(И),  заполняется студентом
Контактная  информация:	[email protected]
e-mail, моб.телефон , заполняется студентом
Отметка о регистрации:
дата, подпись специалиста (заполняется специалистом кафедры)
Проверил:	Торсунова И.Р.
ФИО преподавателя
Дата:		Оценка:
Примечания:

 

 

 

Пермь 2013

Содержание.

Введение                                                                                                3

Теория игр                                                                                             4

Смешанные стратегии                                                                         10

Заключение                                                                                           15

Список литературы                                                                              16

 

Введение.

Теория игр - это раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались многими учёными. Систематическая же математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория игр.

 

Игра - упрощенная формализованная  модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении все других сторон.

Одну играющую сторону  при исследовании операций может  представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному  информированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно.

Игрок - одна из сторон в игровой  ситуации. Стратегия игрока - его  правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.

Платежная матрица (матрица  эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет т стратегий  А_i,а игрок 2 – n стратегий B_j . Игра может быть названа игрой т ´ n. Представим матрицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями (табл. 1.1).

Таблица 1.1.

Игрок 2 Игрок 1	В1	В2	…	Вn	ai
А1	а11	а12	…	а1n	a1
А2	a21	a22	…	а2n	a2
…	…	…	…	…	…
Аm	аm1	аm2	…	аmn	am
bj	b1	b2	…	bn

 

В данной матрице элементы а_ij - значения выигрышей игрока 1 - могут означать математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш является случайной величиной. Величины a_i, и b_j, – соответственно минимальные значения элементов а_ij по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят  к игре п игроков. Наибольший интерес  вызывают игры двух лиц. Они и математически  более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

Количество стратегий  игры. По этому критерию игры делятся  на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалиционным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицировать игры с нулевой и с ненулевой  суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает  условие: «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра - конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица  является прямоугольной (см. табл. 1). Номер  строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования.

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой  суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец - стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей  каждого игрока в зависимости  от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция  выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей  может быть разделена на сумму  произведений функций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить  на одношаговые и многошаговые. Одношаговые  игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной  игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность сторон. По данному критерию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной информацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информацией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

Получив некоторое представление  о существующих подходах к классификации  игр, можно остановиться на оценках игры.

Рассмотрим матричную  игру, представленную матрицей выигрышей  m´n, где число строк i = а число столбцов j = (см. табл.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный  результат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой стратегии он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша a_ij, которое обозначим

 

a._i = . (1.1)

 

Чтобы этот гарантированный  эффект в наихудших условиях был  максимальным, нужно из всех a._i, выбрать наибольшее значение. Обозначим его a и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

 

a. = (1.2)

 

Таким образом, максиминной стратегии  отвечает строка матрицы, которой соответствует  элемент а. Какие бы стратегии  ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш не меньший, чем а. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j -й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша

 

(1.3) 

в каждом j -м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j -ю чистую стратегию. Из всех своих п 7-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (минимакс):

 

 

 

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший чем а. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший чем β. Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент β (см. табл. 1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры ν - цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают. В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смешанные стратегии.

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в  чистых стратегиях, то находят верхнюю  и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную  смесь чистых стратегий с заданными  вероятностями;

• игра многократно повторяется  в сходных условиях;

• при каждом из ходов  ни один игрок не информирован о  выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения  смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А₁, А₂, ..., А_т с соответствующими вероятностями р₁, р_2, ..., р_т.

 

 

где .

Для игрока 2

где .

q_j — вероятность применения чистой стратегии B_j.

В случае когда р_i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию

 

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

 

 

где и – векторы;

p_i и q_i – компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных  стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

 

 

 

Игрок 2 добивается того, чтобы  выполнялось условие

 

 

 

Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и , при которых будет выполнено равенство

 

 

 

Цена игры - средний выигрыш  игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

1. – оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
2. – оптимальная смешанная стратегия игрока 2;
3. g – цена игры.

Смешанные стратегии будут  оптимальными ( и ), если образуют седловую точку для функции т.е.

 

 

 

Существует основная теорема  математических игр.

Для матричной игры с любой  матрицей А величины

 

 и 

 

существуют и равны  между собой: a = b = g.

Следует отметить, что при  выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Решить игру - означает найти  цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2´2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

        

 

Значит, имеется платежная  матрица

 

 

При этом

        a₁₁p₁ + a₂₁p₂ = g;

a₁₂p₁ + a₂₂p₂ = g;

p₁ + p₂ = 1.

a₁₁p₁ + a₂₁(1 – p₁) = a₁₂p₁ + a₂₂(1 – p₁); a₁₁p₁ + a₂₁ – a₂₁p₁ = a₁₂p₁ + a₂₂ – a₂₂p₁,

откуда получаем оптимальные  значения и :

 

 

 

 

Зная  и , находим g:

 

 

 

Вычислив g, находим и :

a₁₁q₁ + a₁₂q₂ = g; q₁ + q₂ = 1;

a₁₁q₁ + a₁₂ (1 – q₁) = g.

при a₁₁ ¹ a₁₂.

Задача решена, так как найдены  векторы  и цена игры g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Из выше представленного можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.

В условиях выбора очень  часто нелегко принять решение  и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с  помощью использования соответствующих  математических методов принять  обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов  решения матричных игр, позволяет  эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества  выбрать наиболее эффективные, а  также упрощать исходные матрицы  игр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

1. Мак Киси Дж. Введение в теорию игр: Пер. с англ. – М.: 2009.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 2007.