Контрольная работа по "Экономико-математическим методам"

Вопрос 1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Производственная функция, также функция производства — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.) может выражаться как множество изоквант.^[1]

Изокванта — изолиния одинакового объема производства продукта в зависимости от факторов производства;

Взаимозаменяемость ресурсов [input substitution] — возможность альтернативного использования разных ресурсов:

 а) для сохранения или достижения  заданного уровня производства;

 б) для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Задача 1.

Решение:

Пускай число ố=570,тогда уравнение  изокванты:

10√х₁*√х₂=√570;

√100+√570=√570

Возведя обе части в квадрат  и разделив их на 100,получим:х₁*х₂=5,70. Находим координаты точки С₁.

Так как ↦_х1= 570-300/100=4,7, то из уравнения изокванты находим ↦_х2=5,70/4,70=1,21.

Аналогично находим координаты сочки С₂.

 

 

 

 

Так как х_2’’=570-300/100=2,70,то х₁’’=5,70/2,70=2,11.

               С₂

 С₁

 

 

            Итак 121 работник райпо используя  4,7 тыс.м² производственной площади обеспечивают товарооборот √570≈23,87 млн.руб. и такой же товарооборот могут обеспечивать 211 работников райпо, используя площадь 2,70 тыс.м².

 

Вопрос 2. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов? 

Если ценовая эластичность больше единицы, то такой товар принято  называть высокоэластичным; если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с  единичной эластичностью.

Если небольшие изменения  в цене на товар приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Если существенное изменение в цене ведет  к небольшому изменению в количестве покупок, то такой спрос - малоэластичный. Когда процентное изменение цены и последующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, то такой случай называют среднеэластичностью.

Взаимозаменяемые товары —это группа товаров, которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению, качественным и техническим характеристикам, цене и другим параметрам таким образом, что покупатель действительно заменяет или готов заменить их друг другом в процессе потребления (в том числе производственного).

При повышении цены на один из таких товаров растет спрос  на другой, заменяющий его товар.

Задача 2.

Товар	1-й	2-й	3-й
1-й	-0,4	-0,195	0,005
2-й	-0,1625	-0,7	-0,495
3-й	0,0042	-0,55	-1,1

Так как |έ11|=-0,4<1,то 1-й товар малоэластичный.

Так как |έ22|=-0,7≈1,то 2-й товар среднеэластичный.

Так как |έ33|=-1,1>1, то 3-й товар высокоэластичный.

Поскольку έ12=-0,195<0 и έ21=-0,1625,то 1-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Поскольку έ13=0,005>0 и έ31=0,0042>0,то 1-й и 3-й товары взаимозаменяемые.

Поскольку έ23=-0,495 и έ32=-0,55, то 2-й и 3-й товары взаимодополняемые.

Вопрос 3. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

aij = xij / Xj,

где aij — коэффициент прямых затрат продукта i на производство единицы продукта j, xij — общий объём затрат продукта i на производство продукта j, Xj — весь объём производства продукта j. К. п. з. изменяются под влиянием технического прогресса, улучшения организации производства и т. п. и тем самым отражают рост эффективности общественного производства.

Коэффициенты  прямых затрат aij - это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого за отчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли.

Коэффициенты прямых затрат могут использоваться для определения  планового производства валовой  продукции отраслей.

Задача 3.

 

Х₁₁=800-570=230                    Х₁₂=700-570=130

Х₂₁=750-570=180                    Х₂₂=850-570=280

Х₁=230+130+300=660

Х₂=180+280+220=680

а)Коэффициент прямых затрат;

а₁₁=х₁₁/х₁=230/660=0,35

а₂₁=х₂₁/х₁=180/660=0,272

а₁₂=х₁₂/х₂=130/680=0,191

а₂₂=х₂₂/х₂=280/680=0,412

б)Плановый объем валовой  продукции отраслей;

      (1-0,35)х₁-0,191х₂=350

     -0,272х₁+(1-0,412)х₂=250

0,65х₁-0,191х₂=350

-0,272х₁+0,588х₂=250

Выразим из первого уравнения  х₁:

0,65х₁=350+0,191х₂

Х₁=350/0,65+0,191х₂/0,65

Х₁=538,461+0,294х₂ и подставим во второе уравнение:

-0,272(538,461+0,294х₂)+0,588х₂=250

-146,461-0,080х₂+0,588х₂=250

0,508х₂=396,461

Х₂=396,461/0,508

Х₂=780,435

Х₁=538,461+0,294*780,435=538,461+229,448=767,909

Таким образом, х₁”=767,909- плановый объем валовой продукции первой отрасли. х₂=780,435- плановый объем валовой продукции второй отрасли.

Вопрос 4. Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.

 Рассмотрим проблему  уценки неходового товара с  целью получения возможно большей  выручки от реализации. Предположим,  что эластичность спроса в  зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок  на то или иное снижение  цены. Иными словами, нужно принять  решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать  методы теории игр. Обозначим  А1, А2, …, Аm – стратегии снижения  цены на товар на α1%, α2%,…,  αm% соответственно. Возьмем достаточно  подробный перечень возможных  значений эластичности ε1, ε2 ,…,  εn. Если выбрать определенную  стратегию Аi и знать эластичность  товара εj, то, используя еще некоторые,  обычно известные величины, можно  подсчитать выручку от реализации  товара аij. Проделав это для  всех Аi и для всех εj, получим  платежную таблицу. В таблице  представлен подробный перечень  различных ситуаций. Для принятия  решения можно использовать следующие  способы.

Подход  с позиции крайнего пессимизма:

Он заключается в том, чтобы  считать, что при выборе любой  стратегии Аi эластичность товара будет  самая неблагоприятная и выручка  αi будет минимально возможной, т.е,

αi = min (αi1, αi2,…,αim).

Вычислив все величины αi (α1, α2,…,αm), нужно взять наибольшую из них α: α = max (αi).

Та стратегия, которая  соответствует числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе  говоря, такая стратегия есть наилучший  выбор из плохих ситуаций, и эта  стратегия гарантирует, что, как  бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход  с позиции крайнего оптимизма:

Он заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичность будет наиболее благоприятной и  выручка βi наибольшая, т.е,

 

βi= max (αi1, αi2,…,αim).

Вычислив все βi, нужно  взять наибольшую из них: β = max (βi).

Та стратегия, которая соответствует  величине β, и есть искомая.

Подход  с позиции пессимизма-оптимизма:

Рассмотрим величину H = max [(1- ) +  ], где

λ – числовой параметр, 0 1

Предлагается выбирать стратегию, соответствующую величине H.

При λ = 0 Н = max αi= α, и этот подход превращается в подход с позиции  крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max βi=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α  до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

,

а затем выберем наибольшее из них

Стратегию, на которой достигается  величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

Задача 4.

А έ	έ1	έ2	έ3
А1	80	90	50
А2	40	50	60
А3	30	20	70

 

 

Аέ	έ1	έ2	έ3	άi	βi	γi
А1	80	90	50	80	50	65
А2	40	50	60	40	60	50
А3	30	20	70	30	70	50

ά=_max(ά₁,ά₂, ά₃)=(80;40;30)=80

β=_max(β₁,β₂,β₃)=(50;60;70)=70

γ=_max(γ₁,γ₂,γ₃)=(65;50;50)=65

Так как ά=80, и это число  находится в строке, соответствует  А₁,то А₁- стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 80 единицам.

Так как β=70, и это число  находится в строке, соответствует  А₃, то А₃- стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам.

Так как γ=65, и это число  находится в строке А₁,то А₁- стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 65 единицам.

Вопрос 5. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

Системы массового  обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь  требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В  общем случае под требованием  обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток  требований изучается с целью  установления закономерностей этого  потока и дальнейшего улучшения  качества обслуживания. В большинстве  случаев входящий поток неуправляем  и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в  единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также  интервал времени между соседними  поступающими требованиями. Однако среднее  количество требований, поступивших  в единицу времени, и средний  интервал времени между соседними  поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она  показывает, сколько в среднем  требований поступает в единицу  времени.

Средства, обслуживающие  требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших характеристик  обслуживающих устройств, которая  определяет пропускную способность  всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может  изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом  в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя длина очереди;

P₀ - вероятность того, что система свободна;

П - вероятность образования очереди;

P_отк - вероятность отказа в обслуживании;

g - относительная пропускная способность;

А - абсолютная пропускная способность;

n_зан - среднее количество занятых каналов;

t_ож - среднее время нахождения в очереди.

Задача 5.

Пусть ố=570, тогда µ=8,43 треб/мин, а первоначальное значение ƛ равно 9,43 треб/мин.

ά=9.43/8,43=1,118

р₀=2-1,118/2+1,118=0,283 (р_о=28,3%)

L₁=(1,118)³/4-(1,118)²=1,397/2,75=0,508 треб

Если интенсивность ƛ станет равной (700-570)/10=13 треб/мин, то в силу  неравенства 13<2*8,43 условие стационарности СМО выполнено. И можно вычислить  среднюю длину очереди:

ά=13/8,43=1,542

L₂=(1,542)³/4-(1.542)²=3,666/1,622+2,26 треб

L₂/L₁= 2,26/0,508=4,49

Итак, при интенсивности обслуживания µ=8,43 треб/мин и интенсивности  входа ƛ=9,43 треб/мин доля времени  простоя касс 28,3% времени, а средняя  длина очереди равна 0,508треб. Если же интенсивность входа станет равной 13 треб/мин, то средняя длина очереди  увеличиться в 4,49 раз.

Вопрос 6. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.

Задача: определить такой объем заказываемой партии товара, при котором затраты на складские операции в единицу времени будут минимальные и темп поступления заказанного товара будет, превышает норму спроса на этот товар.

Предельная арендная плата  λ экономически интерпретируется как  предельная (максимальная) арендная плата  за использование дополнительных складских  емкостей. Если фактическая арендная плата α  меньше либо равна предельной λ  , т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, то аренда не выгодна.

Задача 6.

ά=700-570/4000=0,0325 (руб/кг*сут)

ƛ=570-400/4000=0,0425 (руб/кг*сут)

ƛ>ά

Вывод:  Фактическая арендная плата меньше предельной арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей выгодна. Объем  заказываемой партии следует увеличить  до таких пределов, чтобы возникший товарный запас можно было разместить в имеющихся складских емкостях, так и дополнительно арендуемых емкостях.

Вопрос 7. Дайте понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Совокупность  генеральная - множество результатов всех возможных наблюдений, которые могли бы быть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупность генеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производится выборка.

Выборочная совокупность - часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.

Задача 7.

а)При фиксированных значениях  среднеквадратичного отклонения ố, объема;

n₁=610-570=40

n₂=570-490=80

  Объемы выборок находятся в соотношении n₁<n₂, тогда из формулы нахождения погрешности:

⧍=(t_p(n)ốb/√n)

Следует, что при возрастании  объема выборки n значение ⧍ увеличивается и ⧍₁>⧍₂,т.е.  доверительный интервал, соответствует объему выборки n₁=40, будет больше доверительного интервала, соответствует объему выборки n₂=80.

б) р₁=800-570/400=0,575

     р₂=570-300/400=0,675

Исходя из формулы следует, что  при возрастании надежности р значение уменьшается, т.к. уменьшается  значение функции Стьюдента t_p(n). Следовательно, ⧍₁<⧍₂, т.е. доверительный интервал, соответствует надежности р₁=0,575, будет меньше доверительного интервала , соответствует надежности р₂=0,675.

в)ố₁=700-570/100=1,3

    ố₂=570-400/100=1,7

 

Исходя, из формулы следует, что при увеличении среднеквадратичного  отклонения значение ⧍ уменьшается. Следовательно, ⧍₁<⧍₂, т.е. доверительный интервал соответствует среднеквадратичному отклонению ố₁=1,3, будет меньше доверительного интервала, соответствует среднеквадратичному отклонению ố₂=1,7.

Вопрос 8. Дайте понятия функциональной и корреляционной зависимостей. Коэффициент корреляции. Его смысл и свойства.

Корреляционная  зависимость - это такая связь между результативными и факторными признаками, когда значение результативного признака функции полностью определяется значениями факторных признаков.

Функциональная  зависимость - форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями или отражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенное количественное изменение (определенным значениям факторных признаков соответствует множество случайных значений результативного признака).

Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости  между двумя числовыми переменными.

Коэффициентом корреляции rху случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

rxy = µxy/σxσy

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент  корреляции независимых случайных  величин равен нулю.

Свойства:

Абсолютная величина корреляционного  момента двух случайных величин  Х и Y не превышает среднего геометрического  их дисперсий.

│µxy│≤ √DxDy

Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

│rxy│≤ 1

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен  нулю. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности  нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они  могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Задача 8.

Направление и теснота  связи между признаками х и  у оцениваются на основе коэффициента корреляции, который рассчитывается по формуле:

r=b*ố_х/ố_у

в данном случае:

b=(-1)⁵⁷⁰*650-570/300=0,2667

ố₁=700-570/100=1,3

ố₂= 570-400/100=1,7

r=0,2667*1,3/1,7=0,2667*0,765=0,204

Коэффициент корреляции показывает, что связь между признаками х и у слабая и прямая, т.е. с возрастанием значения х возрастает значение у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 
-Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979.

Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987.

-Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2000.

-Громенко В. В. Математическая экономика: Учебно-практическое пособие, руководство по изучению дисциплины, учебная программа по дисциплине / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.:МЭСИ, 2004. – 100 с.

-Щедрин И.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика , 1980.