Контрольная работа по "Экономико-математическим методам в управлении"

Задание 1   Применить метод анализа иерархий для наиболее надежного обеспечения кредита относительно выгод.

 Воспользуемся методом  анализа  иерархий для выбора наиболее  надежного обеспечения кредита  относительно выгод. Иерархический  синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив  весами критериев, имеющихся в иерархии, а так же для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов. Рассмотрим матрицу  парных сравнений критериев:

Примечание: Вычисление ИО производим  следующим образом

1. Суммируем каждый столбец суждений

2.Сумма первого столбца умножается  на величину первой компоненты  КОВ, сумма второго столбца на вторую компоненту, и т.д.

3. Полученные числа суммируются.  Их сумма λmax

4. ИО = (λ_max – п)х(п-1), где п – число сравниваемых критериев

  Отношении согласованности ОО = ИО/М(ИО), М(ИО) индекс однородности (таблица учебного пособия)

Чтобы  сравнить   обеспеченности строим 7 матриц, т.к. необходимо провести сравнение  надежности обеспечения  кредита относительно друг друга  по каждой выгоде

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

  Строим  обобщенную таблицу приоритетов  для выбора надежного обеспечения кредита

Примечание: глобальный приоритет каждого элемента обеспечения кредита  получен как результат  вычислений:

0,15*0,31+0,113*0,23+0,293*0,096+0,33*0,085+0,1007*0,085+0,137*0,096+0,143*0,096=

=0,16411 =0,164  и.т.д.

 Т.о. видим, что наиболее  приоритетным в обеспечении кредита  является недвижимость.

В задаче два  уровня критериев, а у вас один

Сумма глобальных приоритетов равна 1, а у Вас?

6 баллов

Задание 2.

По мнению врачей  прием некоторого витамина каким-то образом влияет на профилактику простудных заболеваний. Провели эксперимент : 200 человек   случайным образом поделены на две группы. Одной группе дали витамин, другой группе дали «пустышку». Но всем сказали, что они получили витамин. Результаты  обеспечения  поместим   в таблицу:

На 5% уровне значимости проверим гипотезу  о независимости простудных заболеваний  от приема витаминов. Для проверки данной гипотезы используем  формулу 

      Χ² =Σ Σ (n_ij – n _ij)²/ n_ij

n_ij - ожидаемая частота появления ί значения первого признака и j значения второго признака.

Имеем таблицу частот

Т.о Χ² = 3,38

Число степеней свободы  v = 2. А значит,  критическое значение при вероятности 

ά= 0,05 будет   равно χ_кр² (0,95;2)=0,103.

Здесь ошибка

 Т.к. χ² > χ _кр²  , то выдвинутая гипотеза была отвергнута. Отсюда -  вывод о зависимости между приемом витаминов и  простудными заболеваниями.

5 баллов

Задание 3

 Рассмотрим зависимость между весом новорожденного  У – в граммах и количеством сигарет   Х, выкуриваемых будущей матерью в день во время беременности. Имеем выборку из 20 элементов, которую занесем в таблицу

:

Строим линейную регрессивную модель. Сделаем проверку статистической значимости коэффициентов модели, проверим значимость модели, вычислим вес новорожденного, если количество выкуриваемых сигарет в день равно 30.

    По данным таблицы  строим поле рассеяния:

  Анализируя построенное поле рассеяния  получим гипотезу о зависимости веса новорожденного  - У,  от  количества выкуриваемых сигарет   - Х в день  будущей матерью.

Эта зависимость описывается линейной  моделью вида  у=а_о+а₁х + έ, где а_о и а₁ – неизвестные постоянные , έ– случайная переменная - случайное возмущение, отражающее влияние неучтенных факторов и погрешностей измерения. Для вычисления оценок параметров модели построим  вспомогательную  таблицу:

Применяя  формулы:  а₁=       ,    a₀= – a₁х

Зная, что  п=20, получим   ∑У_i = 66630/20=3331,5 ,   = ∑ Х_i =   292/20 =14,6 ,                               ² = 14,6² = 213,16

∑ X_iY_i = 964520,       ∑ X_i² = 5120

Т.о.    а₁=(964520-20х3331,5х14,6)/(5120-20х213,16) =-8278/856,8 =-9,66

а₀ = 3331,5 – ( - 9,66)х14,6 = 3472,54

И , значит  =3472,54 – 9,66 Х

Прогнозируемый вес  новорожденного  при 30 выкуренных сигаретах в день  будущей матерью равен    = 3472,54 – 9,66х30 = 3182,74 (гр)

Нет проверки значимости модели

6 баллов

Задание 4.

В конфликтной ситуации участвуют две стороны А – государственная налоговая инспекция , В – налогоплательщик  с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т- условных денежных единиц.  Сторона А  имеет два возможных способа поведения:

1 - состоит  в контролировании  дохода налогоплательщика  В  и  взимании  с него  налога  в размере Т, если налог заявлен и соответствует действительности,взимание  налога в размере Т и штрафа в размере W, если  заявленный доход меньше действительного или в случае сокрытия доходов.

2. способ  поведения   позволяет не контролировать  доход   налогоплательщика В. У  стороны  В  три способа поведения:

1 – заявить о действительном  доходе

2 – заявить доход меньше действительного,  и как следствие  налог   С ( с заявленного) будет меньше  Т

3 –скрыть доход , и,  следовательно  не надо будет платить налог  вообще.

  Построим   платежную матрицу  – матрицу выигрышей А. Найдем  оптимальную стратегию для А.

  За основу примем гипотезу  антогонизма , т.е. в качестве  оценки стратегии А выступает ее  возможный минимальный выигрыш при использовании   I –ой стратегии. Максимальный гарантированный выигрыш стороны А в данной конфликтной ситуации  V_A = max d_i

  Для  стороны В  данная  матрица – матрица потери, т.е.      в качестве  оценки стратегии  Ј       стороны В  выступает максимально возможная потеря  . Наименьшие максимально возможные потери стороны В  в данной конфликтной ситуации   V_B = min _Ј.

  В возникшей ситуации  V_A = V_B = T, т.е матричная игра будет иметь цену ситуации (1,1)-седловая точка в этой матричной игре. Т.о. стратегия 1 является оптимально максимальной стратегией стороны А.

10 баллов

Задание 5.

  Нас интересует выручка от продажи баночного пива в магазинах города в  течение  одного дня.    Исследовали 20 магазинов и получили следующие результаты:

 Строим регрессивную модель зависимости выручки магазинов от числа посетителей. Проверим значимость модели и коэффициентов модели. Построим  95% доверительный интервал для оценки выручки отдельно взятого магазина с 600 покупателями. Построим 95% доверительный интервал  для  среднего значения дневной выручки во всех магазинах с числом посетителей 600. По данным таблицы строим поле рассеяния.

                                                            рисунок 1

 Анализируя  поле рассеяния  выдвигаем  гипотезу: зависимость выручки магазина  У от количества посетителей   Х описывается  линейной моделью вида  у=а₀ + а₁х + έ, где а₀ и а₁ неизвестные коэффициенты, а έ – случайная переменная – случайное возмущение – отражающая  влияние неучтенных факторов и погрешностей измерения.

  Составим  таблицу для вычисления параметров  модели:

 Используя  формулы   а_{1 =}                                    а₀ = - а₁  

При        п = 20,   получим:    = 176,11/20 = 8,81

                                                    = 14623/20 = 731,15           ² = 731,15² = 534580,32

                                                  ∑Х_i У_i = 134127,9 ,                    ∑ Х_i² = 11306209

Значит,  а₁ = ( 134127,90 – 20х73115х8,81)/(11306209 – 20х 534580,32) =0,009

И  а₀ = 8,81-0,009х631,15 = 2,23

Т.о. = 2,23 + 0,009 Х – формула зависимости выручки магазина  от  числа посетителей

 Доверительный  интервал рассчитаем по формуле:  _В,Н= (Х^*) ± t_{1-α/2 n-2} S , где _b ,  _H –соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке Х^к, Х^к – независимая переменная, для которой определяется доверительный интервал

  (Х^к) = а₀ + а₁Х^к.

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента, (1-α) – доверительная вероятность, (п-2)- число степеней свободы.

        = S – стандартная ошибка (Х)

S =       ,               S²= = - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

 Выполняем промежуточные расчеты и занесим их в таблицу

Тогда,   S² =  4,586/18=0,2293 ,            S = =0,48

S_q  = 0,48 = 0,48х0,167 = 0,08

t_{1-α/2, n-2}  = t_{0?95 ;18} = 1,734 ,   (600) = 2,23 + 0,009Х600=7,63                        

  _В   = 7,63 + 1,734Х0,08 = 7,77,             _Н = 7,63 – 1,734Х0,08 = 7,49

 И  так, 95 %доверительный интервал  для оценки дневной  выручки   отдельно взятого  магазина  с  600 покупателями  есть интервал ( 7,49 ; 7,77). 

Чтобы построить 95% доверительный  интервал  для среднего значения дневной выручки во всех магазинах,  вычислим промежуточные значения