Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям». 5

Министерство  образования и науки РФ

Филиал

Государственного  образовательного учреждения

высшего профессионального образования-

Всероссийского  заочного финансово-экономического института

В г. Туле 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

на тему: «вариант 9»

                                                         Выполнила: студентка 3 курса

                                                                           Факультета УС

                                                                                          специальности БУАиА

                                                                               группы вечерней

                                                                               Володичева З. А.

                                                                                    № л. д. 08убд12859 

                                                             Проверил: Луценко А.Г. 
 
 
 
 
 

 Тула 2010г.

 Содержание

  Задача 1.9……………………………………………………………………………..3

  Задача 2.9……………………………………………………………………………..6

  Задача 3.9………………………………………………………………………...….11

  Задача 4.9……………………………………………………………………...…….14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Задача 1.9.

  При производстве двух видов продукции  используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.                                                 

  Прибыль от реализации одной единицы продукции  первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

  Задача  состоит в формировании производственной программы выпуска продукции,  обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

  Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

  Решение

  Пусть необходимо изготовить единиц продукции первого вида и единиц продукции второго вида. Тогда прибыль, получаемая от реализации продукции, будет задаваться целевой функцией:

  Ограничения по использованию ресурсов имеют  вид:

  Ресурс 1 –  

  Ресурс 2 –  

  Ресурс 3 –  

  Ресурс 4 –    
 

  Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

  Для получения решения графическим  методом строим прямые:

  Область допустимых решений: ОАВС

  Строим  прямую:

  И вектор (2;3)

  Максимум  ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от прямой по направлению вектора . Он достигается либо в точке А, либо в точке В. Найдем их координаты:

  Теперь  найдем значение целевой функции  в каждой точке:

  Таким образом, максимум функции достигается  в точке В.

  Для того, чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида.

  Если  решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором  предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Значит, для того, чтобы получить минимально возможную прибыль (в данном случае вообще не получить ее) необходимо не производить  продукцию. 
 
 
 
 
 

  Задача 2.9.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы  его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

  Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и   уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

  Решение

  1) Пусть необходимо изготовить  единиц изделия А, единиц изделия Б, единиц изделия В и единиц изделия Г. Прямая оптимизационная задача на максимум прибыли имеет вид:

  Оптимальный план выпуска продукции будем  искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

  Теперь  будем искать оптимальное решение  с помощью настройки «Поиск решения»:

  В результате будет получена следующая  таблица:

  Таким образом, чтобы получить максимум выручки  в размере 9000 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц изделии А и Б, 400 единиц изделий В и 550 единиц изделий Г. 
 

  2) Строим двойственную задачу в  виде:

   , где

  Запишем двойственную задачу:

  Найдем  решение двойственной задачи с помощью  теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

  Так как третье неравенство выполняется  как строгое, то

  Так как  и , то получаем систему уравнений:

  Решение системы: , ,

  3) В двойственной задаче  , так как III вид ресурсов является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

  4) а) Наиболее дефицитным является  I вид ресурсов, так как его двойственная оценка ( ) является наибольшей.

  б) При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и   уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида увеличение выручки составит:

    ден.ед.

  И она составит: ден.ед.

  Определим изменение плана выпуска из системы  уравнений:

  То  есть оптимальный план выпуска будет  иметь вид:

  в) оценим целесообразность включения  в план изделия Д ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

  Затраты на изготовление единицы изделия Д составят:

  Так как затраты на производство изделия  превышают его стоимость ( ), то включение в план изделия Д нецелесообразно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Задача 3.9.

Используя балансовый метод планирования и  модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции  предприятий  

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.  

      Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение. Для решения задачи используем табличный  процессор EXCEL.

      1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат , где — единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL «МОБР» получим: 

      Все элементы матрицы коэффициентов  полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.

      2. Вычисляем вектор валовой продукции  X по формуле . С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим (см. прил.): 

      Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения . Получим (см. прил.): 

      Заполняем схему баланса производства и  распределения продукции предприятий холдинга:

ПРИЛОЖЕНИЕ:

рабочий лист EXCEL с исходными данными и схемой баланса. 

  Задача 4.9.

  В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)(млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведён ниже в таблице.

  Таблица 4

  Требуется

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности  р=70%).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

  Решение

1. Проверим наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:

   ,

  где ,      

  Все , следовательно среди наблюдений нет аномальных.

2. Оценка параметров модели с помощью Excel.

  Построим  линейную однопараметрическую модель регрессии  .                                                          

  Таблица 5

  Оформим необходимые данные в Таблицы 6 и 7. 

    Таблица 6

  Таблица 7 

               Рис 1

    Уравнение регрессии зависимости  (спрос на кредитные ресурсы) от (времени) имеет вид:

  Коэффициент детерминации равен R²=0,967. Само значение R² показывает, что изменение во времени спроса на кредитные ресурсы на 96,7 % описывается линейной моделью.

  Угловой коэффициент а₁ = -2,42 уравнения показывает, что за одну неделю спрос на кредитные ресурсы банка уменьшается в среднем на 2,42 млн. руб.

  При вычислении «вручную» по формуле

  получаем  те же результаты. 

  Рис 2

  4. Оценим  адекватность построенной модели. Рассчитанные по модели

  значения  прибыли (t=1, 2,…, 9).

  Проверим  независимость остатков с помощью  d-критерия Дарбина-Уотсона:

  Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32.

        Так как выполняется  условие

  то  статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется  на уровне значимости a=0,05.

                 Для достоверности проверим отсутствие  автокорреляции в остатках также  и по коэффициенту автокорреляции  остатков первого порядка, который  равен:

                 Критическое значение коэффициента  автокорреляции для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.