Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям». 2

 

 

 

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по экономико-математическим методам и прикладным моделям

Вариант № 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 5

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

 

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.                                                                                                          

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А В	1 2	2 1	6 8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

 

РЕШЕНИЕ:

Введем переменные:

Х1 – суточная реализация краски Е (тонн);

Х2 - суточная реализация краски I (тонн);

Составим целевую функцию:

Составим ограничения:

Ограничение по расходу продуктов А и В:

По условию сказано, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение:

Установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Следовательно,

 

- решением уравнения является  прямая.

- решением неравенства  является полуплоскость. Подставим  в неравенство координаты точки  О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая.

- решением неравенства  является полуплоскость. Подставим  в неравенство координаты точки  О (0; 0)

(верно), значит искомая  полуплоскость содержит точку  О.

- решением уравнения  является прямая.

- решением неравенства  является полуплоскость. Подставим  координаты точки О (0; 0)

(верно), следовательно искомая полуплоскость содержит данную точку О.

-  решением  является  прямая, параллельная оси Х1

- решением является полуплоскость, содержащая точку О (0; 0)

- решением является прямая, совпадающая с осью ОХ2

- решением является правая верхняя полуплоскость.

- решением является прямая, совпадающая с осью ОХ1

 - решением является верхняя правая полуплоскость.

 

 

 

 

 

Построим вектор С с координатами (3000;2000) (или (3;2)). Проведем нормаль к этому вектору. Т.к. задача решается на максимум, то, передвигая нормаль, смотрим, какая точка последней коснется нормали. Это точка D. Определяем ее координаты. Она лежит на пересечении прямых -   и  .

          

 

Вывод: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е е в количестве 3,333 т.

При решении задачи на минимум необходимо линию уровня двигать в направлении, противоположном вектору С. В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0; 0)

 

 

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд Сырье Оборудование	1 1 1	4 1 1	3 2 2	200 80 140
Цена изделия	40	60	80

 

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

 

 

РЕШЕНИЕ:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем переменные:

Х1 – количество единиц изделий I вида;

Х2 – количество единиц изделий II вида;

Х3 – количество единиц изделий III вида;

Составим целевую функцию:

Составим ограничения:

Для нахождения оптимального плана используем надстройку Excel Поиск решения.

Для начала вводим в ячейку Е4 формулу целевой функции, используя математическую функцию СУММПРОИЗВ.

Аналогично вводим ограничения для левой части в ячейки Е8, Е9, Е10:

Теперь используем надстройку Поиск решения:

В параметрах отмечаем линейную модель и неотрицательные значения.

В результате получаем: 

 

 

Ответ: при Х1 = 40; Х2 = 40, Х3 = 0.

Экономический смысл: максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4000 ден. ед. можно получить, если изготавливать изделия I вида в количестве 40 шт., изделия II вида в количестве 40 шт., а изделия III вида не производить совсем.

 

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
1. Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений, столбца свободных членов и дополнительной строки из коэффициентов при переменных функции цели.

2. Транспонируем эту матрицу:

3. По полученной матрице, используя свойство двойственных ЗЛП, составим двойственную задачу.

Переменные:

х1 – цена единицы ресурса труд;

х2 – цена единицы сырья;

х3 – цена единицы ресурса оборудование;

Целевая функция:

Ограничения:

Найдем оптимальное решение двойственной задачи

Вводим формулу в ячейку Е4 для целевой функции и аналогично для ограничений (левая часть).

Используя Поиск решения вычисляем значение целевой функции.

В результате получаем значения переменных Х1, Х2, Х3 и значение ЦФ.

 

 

Х1 = 6,67, Х2 = 33,33, Х3 = 0.

План выпуска продукции и набор цен на ресурсы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.

 

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Нулевое значение переменной Х3 в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление  продукции третьего вида.

80 – цена едини продукции  его вида.

86,67 > 80, затраты на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

 

4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- расход ресурса труд  на производство изделий всех  видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 – запас ресурса  труд.

200 = 200, следовательно, ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.

-  расход сырья на  производство изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 – запас сырья.

80 = 80, значит, ресурс сырье расходуется полностью, является дефицитным.

 расход рабочего времени  оборудования на производство  изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 – запас рабочего  времени оборудования.

80 < 140, следовательно, оборудование расходуется не полностью, он находится в избытке.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y2=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y1=6,67).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3 = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.

 

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

   

Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.

 Выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы, выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц, выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.

 

• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов

 

Продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она не влияет на объем выручки.

 

 

 

 

 

Задача 4.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

Задача 4.5. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется: 

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

2) Построить линейную  модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания. 

4) Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5) Оценить точность моделей  на основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным  моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить  графически.

 

РЕШЕНИЕ:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина

 

t	Y(t)			λ
1	5	102,2
2	7	65,8	2	0,3
3	10	26,1	3	0,4
4	12	9,7	2	0,3
5	15	0,0	3	0,4
6	18	8,3	3	0,4
7	20	23,9	2	0,3
8	23	62,2	3	0,4
9	26	118,6	3	0,4
45	136	416,889

         

         

Для 9 наблюдений на уровне значимости α = 0,05 табличное значение критерия λтабл составит 1,46.

Сравниваем λтабл. с расчетными значениями λ.

λt < λтабл. (α = 0,05), т.е. с вероятностью допустить ошибку 5% можно утверждать, что аномальных наблюдений нет.

 

2) Построим линейную  модель  

 

Система нормальных уравнений имеет вид:

     

t	Y(t)	t2	t ∙ y(t)
1	5	1	5
2	7	4	14
3	10	9	30
4	12	16	48
5	15	25	75
6	18	36	108
7	20	49	140
8	23	64	184
9	26	81	234
45	136	285	838

- линейная трендовая  модель

3) Строим адаптивную модель Брауна при параметрах сглаживания α=0,4 и α=0,7.

Находим А1 и А0 по формулам:

 

 

 

По графику видно, что лучшее значение параметра сглаживания α=0,4.

4) Оценить адекватность построенных моделей

1. Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.

При сравнении dрасч могут возникнуть 4 ситуации:

1. 0 < dрасч < d1 – свойство не выполняется, остатки зависимы;
2. d1 < dрасч < d2 – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
3. d2 < dрасч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
4. 2 < dрасч < 4 – находим d’ = 4-dрасч.

Для n = 9, α = 0,05, d1 = 0.82, d2 = 1.32.

Поскольку, 2 < dрасч < 4 – находим d¢ = 4 – dрасч = 4 – 2,281 = 1,719

Теперь d¢ сравниваем с табличными значениями

d2 = 1,32 < d¢ = 1,719 < 2, следовательно, свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует;

 

t	y(t)		Е(t)	Е(t)2		m
1	5	4,578	0,422	0,178			0,084
2	7	7,211	-0,211	0,045	0,401	1	0,030
3	10	9,844	0,156	0,024	0,134	1	0,016
4	12	12,478	-0,478	0,228	0,401	1	0,040
5	15	15,111	-0,111	0,012	0,134	0	0,007
6	18	17,744	0,256	0,065	0,134	1	0,014
7	20	20,378	-0,378	0,143	0,401	1	0,019
8	23	23,011	-0,011	0,000	0,134	0	0,000
9	26	25,644	0,356	0,126	0,134		0,014
			0,00	0,822	1,876	5	0,225

 

2. Свойство случайности остатков. Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков).

График остатков

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

По графику видно, что m = 5.

Число поворотных точек должно быть больше, чем

Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа

m = 5 > 2. Неравенство выполняется, значит, свойство выполняется, остатки имеют случайный характер.

 

2. Свойство соответствия нормальному закону распределения. Применяем RS-критерий.

Расчетное значение RS – критерия находим по формуле:

           

Критическими значениями RS – критерия являются 2,7 и 3,7.

2,7 < 2,807 < 3,7. Расчетное значение попадает внутрь табличного интервала, значит, свойство выполняется, распределение остаточной компоненты соответствует нормальному закону распределения.

 

Вывод: т.к. рядом остатков выполняются все свойства, то линейная трендовая  модель считается адекватной.

 

5. Оценим точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации:

S<7%, модель считается точной. Расчетные значения спроса отличаются от фактических у(t) на 2,5%.

Линейная трендовая модель является адекватной и точной, следовательно, она качественная и ее можно использовать для дальнейшего прогнозирования.

 

6. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели

Точечный прогноз

Интервальный прогноз

 

 

Далее рассчитываем интервалы:

Критерий Стьюдента на уровне значимости α = 0,3 с числом степеней свободы n – 2 = 9 – 2 = 7 составит 1,119.

28,52 ± 0,334 – интервальный прогноз на 1 неделю вперед

28,19 – нижняя граница

28,85 – верхняя граница

31,21 ± 0,397 – интервальный прогноз на 2 недели вперед

30,82 – нижняя граница

31,61 – верхняя граница

С вероятностью 70 % можно утверждать, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю окажется в пределах от 28,19 млн.руб. до 28,85 млн.руб., а на 11-ую неделю – от 30,82 до 31,61 млн.руб. (График прогноза изображен на стр.18).