Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям». 6

Министерство образования РФ

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов  и моделей

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель:

Специальность: «Бухучет, анализ и аудит»

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель: Гармаш А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2006

 

Задача 1

 

1.8. Имеется два вида корма  I и II,  содержащие питательные вещества (витамины) S₁ S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

                                                                                                            

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ  в 1 кг корма
		I	II
S1 S2 S3	9 8 12	3 1 1	1 2 6

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной  рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

Решение:

 

1. Построим ЭММ задачи. Введем необходимые обозначения.

 

Пусть:

х₁ – количество корма первого вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

х₂ - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

Таким образом дневной рацион представляет собой вектор Х (х₁;х₂).

В данной задаче критерий оптимальности  – минимум затрат на дневной рацион.

 

С учетом введенных обозначений  ЭММ задачи имеет вид:

min f (х_1,; х _2, ) = 4х₁ + 6х₂

3х₁ + х₂  ≥ 9 – ограничение по содержанию питательного вещества S₁

х₁ + 2х₂  ≥ 8 – ограничение по содержанию питательного вещества S₂

х₁ + 6х₂  ≥ 12 – ограничение по содержанию питательного вещества S₃

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0 – прямые ограничения

2. Приведенная задача линейного  программирования (ЗЛП) – задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

2.1. Построим область определения  этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.

Функциональные ограничения неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I   3х₁ + х₂  = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)

II  х₁ + 2х₂  = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)

III х₁ + 6х₂  = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)

Представим ОДР на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пересечение указанных выше полуплоскостей в первой четверти системы координат представляет собой область с вершинами АВСD – заштрихованную область на рисунке.

2.2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции. Соединим его вершину с началом координат О (0; 0). При минимизации целевой функции необходимо двигаться в противоположном направлении вектора-градиента.

2.3. Построим некоторую  линию уровня: 4х₁ + 6х₂ = а.

Положим, например, а=0. Линии уровня 4х₁ + 6х₂ = 0 отвечает прямая ОХ (всегда перпендикулярная вектору градиенту).

2.4. При минимизации  целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в противоположном направлении вектора-градиента. Предельной точкой при таком движении является точка В и точка О. Для определения координат точки В необходимо решить систему уравнений:

3х₁ + х₂  = 9 

  х₁ + 2х₂ = 8       

Решением этой системы являются следующие значения переменных:

х₁ = 2, х₂ = 3

Соответственно минимальное значение ЦФ равно:

min f (х₁; х₂) = 4*2 + 6*3 = 26

 

Вывод:  В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.

 

Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции			Запасы               сырья
	I вид	II вид	III вид
I II III	1 3 1	2 0 4	1 2 0	430 460 420
Цена изделия	3	2	5

 

 Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида с ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

 

Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через х_i - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:

max f (х) = 3х₁ + 2х₂ + 5 х₃

 

Ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья.

1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ≤ 430 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ≤ 460 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

1х₁ + 4х₂  ≤ 420 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

х_j  ≥ 0,

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

 

Переменная	х1	х2	х3
	0	100	230
Коэффициент	3	2	5		1350
	1	2	1	430	430
	3	0	2	460	460
	1	4	0	400	420

 

Оптимальный план выпуска продукции: Х^*= ( 0, 100, 230),

 f (Х^*) = 1350

 

2. Для  определения двойственных оценок  построим двойственную задачу:

min φ (y) = 430y₁ + 460y₂ + 420y₃

1y₁ + 3y₂ + 1y₃ ≥ 3

2y₁ + 4y₃ ≥ 2

1y₁ + 2y₂ ≥ 5

 y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0

Для нахождения двойственных оценок используем вторую теорему двойственности. Определим, как удовлетворяется система функциональных ограничений исходной задачи при подстановке в нее оптимального плана:

Х^*= (0, 100, 230),  f (Х^*) = 1350

1*0 + 2*100 + 1*230 = 430 = 430- выполняется как строгое равенство

3*0 + 2*230 = 460 = 460 - выполняется как строгое равенство

1*0 + 4*100 = 400 < 420 - выполняется как строгое неравенство

Поскольку 3-е ограничение в системе  ограничений выполняется как  строгое неравенство, то по второй теореме  двойственности   у₃^*= 0

С другой стороны, так как х₂^* > 0, x₃^* > 0, то имеют место равенства:

2y₁^* + 4y₃^* = 2

1y₁^* + 2y₂^*  = 5

Поскольку у₃^* = 0, то из этой системы равенства получим: у₁^*= 1, у₂^*= 2

Вычислим значение целевой функции  двойственной задачи при полученных значениях двойственных переменных:

 φ (y^*) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 430 + 920 = 1350, т.е. φ (y^*) = f (х^*).

Таким образом, по первой теореме двойственности мы делаем вывод, что двойственные оценки найдены правильно.

 

3. Поскольку для 1-ого вида сырья затраты на единицу сырья превышают выручку от реализации единицы сырья, то ее выпуск экономически не оправдан х₁^* = 0:

1*1 + 3*2 + 1*0 = 7 > 3 оценка затрат на единицу продукции 1-ого вида.

 

4. 1) В пределах интервалов устойчивости найденных двойственных оценок имеют место следующие выводы: первый и третий вид сырья, участвующие в производстве являются дефицитными, а второй находится в избытке. При этом с позиции максимизации выручки более дефицитен третий вид сырья. Прирост на единицу первого вида сырья дает приращение выручки 1 у.е., второго – 2 у.е., т.е. сравнительная норма взаимозаменяемости составляет 1:2.

 

2) 1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ≤ 440 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ≤ 380 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

 

Структура плана остается той же, то есть х₁ = 0. Совмещая эти два вывода будем иметь:

0 + 2х₂ + х₃ = 440

0 + 2х₃ = 380

Решая эту систему уравнений  получаем: х₂ = 105 х₃ = 190

f (Х^*) = 1160

 

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

 

Переменная	х1	х2	х3
	0	105	190
Коэффициент	3	2	5		1160
	1	2	1	400	440
	3	0	2	380	380
	1	4	0	420	420

 

Чтобы оценить  целесообразность включения в план изделия четвертого вида необходимо произвести оценку затрат на единицу продукции:

 

 

2*1 + 4*2 + 3*0 – 7 = 3 > 0

 

Изделие не выгодно включать в план, т.к. затраты на его изготовление не покрываются ценой продажи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные приведены в  таблице 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт
	1	2	3
1	0,0	0,4	0,1	160
2	0,4	0,1	0,0	180
3	0,3	0,0	0,1	150

 

Решение:

 

	0,0	0,4	0,1		160
А =	0,4	0,1	0,0	Y =	180
	0,3	0,0	0,1		150

 

 

1. Проведем оценку по первому  признаку продуктивности: матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица и все ее элементы неотрицательны.

 

 Определим матрицу (Е-А):

	1,0	-0,4	-0,1
Е -А =	-0,4	0,9	0,0
	-0,3	0,0	0,9

 

 

С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу:

	1,27	0,56	0,14
В=(Е-А)-1=	0,56	1,36	0,06
	0,42	0,19	1,16

 

Поскольку все элементы матрицы  В неотрицательны, то матрица А  продуктивна.

 

2. Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом прямых материальных затрат будем иметь следующую модель межотраслевого баланса:

 

          1,0 х₁ - 0,4х₂ - 0,1х₃ = 160

          -0,4х₁ + 0,9х₂ - 0,0х₃ = 180

          -0,3х₁ + 0,0х₂ + 0,9х₃ = 150

Для решения воспользуемся пакетом  Exсel.

В результате решения будем иметь  следующие объемы валового продукта по предприятиям: Х₁ =325,35;  Х₂ =344,60; Х₃ =275,12.

 

Схема межотраслевого баланса будет  выглядеть следующим образом:

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
Производящие	Потребляющие структуры			Конечный	Валовой
структуры	1	2	3	продукт	продукт
1	0	137,84	27,51	160	325,35
2	130,14	34,46	0	180	344,60
3	97,61	0	27,51	150	275,12
Условно чистая	98,61	172,30	220,09	490	-
продукция
Валовой продукт	326,35	344,60	275,12	-	946,07

 

 

 

Задача 4

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

 

Требуется: 

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним  знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

 

1. Введем исходные данные.

Таблица 3.1

t	yt, факт.
1	8
2	13
3	15
4	19
5	25
6	27
7	33
8	35
9	40

 

Для проверки наличия аномальных наблюдений воспользуемся пакетом Excel. В результате решения будем иметь следующие данные:

 

Таблица 3.2

/yt.-yt-1/	с.к.о.	Характеристика  Ирвина
5	10,9023	0,45861696
2		0,183446784
4		0,366893568
6		0,550340352
2		0,183446784
6		0,550340352
2		0,183446784
5		0,45861696

 

Чтобы найти среднее квадратическое отклонение воспользуемся функцией СТАНДОТКЛОН Мастера функций Excel.

Табличное значение Величины Ирвина равно 1,5 , следовательно, в соответствии с методом Ирвина аномальные наблюдения не выявлены.

 

2. Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа воспользуемся надстройкой Excel Анализ данных. В результате получим следующее:

 

Таблица 3.3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,996406256
R-квадрат	0,992825427
Нормированный R-квадрат	0,991800487
Стандартная ошибка	0,987219922
Наблюдения	9

 

Таблица 3.4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	944,0666667	944,0666667	968,6677524	9,12922E-09
Остаток	7	6,822222222	0,974603175
Итого	8	950,8888889

 

Таблица 3.5

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	4,06	0,717198646	5,654717251	0,000770691	2,359650245	5,751460866	2,359650245	5,751460866
t	3,97	0,127449544	31,12342771	9,12922E-09	3,665296384	4,268036949	3,665296384	4,268036949

 

 

Вывод остатка

Таблица 3.6

Наблюдение	Предсказанное yt, факт.	Остатки
1	8,02	-0,02
2	11,99	1,01
3	15,96	-0,96
4	19,92	-0,92
5	23,89	1,11
6	27,86	-0,86
7	31,82	1,18
8	35,79	-0,79
9	39,76	0,24
	Ср. знач.	0,00

 

Во втором столбце таблицы 3.5 содержатся коэффициенты уравнения регрессии  а₀, а₁,. Уравнение регрессии зависимости Y_t (спрос на кредитные ресурсы) от t₁ (время) имеет вид:

 

Y(t) = 4,06 + 3,97t

 

3. Оценка адекватности модели.

1) С помощью функции СРЗНАЧ Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем среднее значение остатков.

2) Построим график остатков. По  графику видно, что P=7 больше 2, следовательно свойство случайности остатков выполняется.