Контрольная работа по экономико-математическому моделирования

 

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

Факультет  Учетно-статистический 

Специальность Бух. учет, анализ и аудит

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине "Экономико-математические методы и прикладные модели"

 

Вариант 2

 

 

 

 

 

Преподаватель:

Исполнитель:

№ личного  дела

 

 

 

 

 

 

Москва 2012г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Задача 1.2 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации……………………………………………………………………..3

         2. Задача 2.2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования……………………………………………………………..7

3. Задача 3.2 Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий…………………………………………………………………...15

        4. Задача 4.2 Использовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда………………………………17

Список  использованной литературы…………………………………..36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.2 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

      Совхоз  для кормления животных использует  два вида корма. В дневном  рационе должно содержаться не  менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В.

Какое количество корма надо расходовать  ежедневно на одно животное, чтобы  затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

      Построить экономико-математическую  модель задачи, дать необходимые  комментарии к ее элементам  и получить решение графическим  методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Математическая  модель: Обозначим Хj- количество  j-го компонента смеси (j=1,2). Таким образом, формально план смеси представляет собой вектор Х=(х1,х2).

С учётом введённых  обозначений математическая модель задачи по критерию «минимальные затраты» имеет вид:

min f(Х)=0,2х₁+0,3х₂

2х₁+х₂≥6

2х₁+4х₂≥12

х₁,х₂≥0

Получение решения:

1 Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х₁+х₂≥6

Построим  прямую   2х₁+х₂=6. Она проходит через точки (0;6) и (3;0).                                    

Определим, какая полуплоскость удовлетворяет  неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую  прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Подставим х₁=х₂=0. Получим 2*0+0≥6

0≥6 –  не верно, следовательно, данная  точка не является допустимым  решением и полуплоскость, содержащая  точку, не удовлетворяет неравенству.

2 Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х₁+4х₂≥12

Построим  прямую   2х₁+4х₂=12. Она проходит через точки (0;3) и (6;0).                                    

Определим, какая полуплоскость удовлетворяет  неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую  прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Подставим х₁=х₂=0. Получим 2*0+4*0≥6

0≥6 –  не верно, следовательно, данная  точка не является допустимым  решением и полуплоскость, содержащая  точку, не удовлетворяет неравенству.

3 Построим линию целевой функции и укажем направление вектор-градиента f (х₁,х₂)

min (0,2х₁+0,3х₂)

0,2*х₁+0,3*х₂=0

        - вектор- градиент с коэффициентом         (0,2;0,3) – умножим на 10 ( увеличение из-за масштаба), следовательно:

 (f(х₁); f(х₂))= (2;3)

4 Найдём координаты точки Е:

2х₁+х₂=6

2х₁+4х₂=12

х₁=х₂=2

5 Определим значение f(х) в угловой точке Е в ОДЗ и определим min: f(E)= 0,2*х₁+0,3*х₂=0,2*2+0,3*2=1

Т.D (3;0)

f(D)=0,2*3+0,3*0=0,6

т. А (0;3)

f(A)=0.2*0+0.3*3=0.9

Если решать задачу на максимум, то в задаче поменялась бы ОДЗ, которая была бы заключена  в треугольнике АСЕ, при этом т.А – оказалась бы т. min, а т. С – т. Max.

Для этого  необходимо перемещать перпендикуляр  вдоль роста вектора. Делая так, мы не найдём последней точки многоугольника решений, то есть решения задачи, так  как область определения уходит в бесконечность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи в Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 Для изготовления четырех  видов продукции используют три  вида сырья. Запасы сырья, нормы  его расхода и цены реализации  единицы каждого вида продукции  приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I II III	1 0 4	0 1 2	2 3 0	1 2 4	180 210 800
Цена изделия	9	6	4	7

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение:

1. Обозначим Хj (j=1,2,3,4) объём выпуска продукции.   Таким образом, формально план смеси представляет собой вектор Х=(х₁,х₂, х₃,х₄).

С учётом введённых  обозначений математическая модель задачи по критерию «максимум выручки» имеет вид:

f(x)=mах (9х₁+6х₂+4х₃+7х₄)

1х₁+0х₂+2х₃+1х₄≤180 

0х₁+1х₂+3х3+2х₄≤210                           (1)

4х₁+2х₂+0х₃+4х₄≤800

  х₁,х_2,х_3,х_4,≥0

Для получения  оптимального плана воспользуемся  MS Excel, а именно «Поиском решений»

Получение решения:

 

 

В результате получаем оптимальную план выпуска продукции:

Х₁=95   X₂=210

X₃, X₄= 0 означает то, что выпуск данной продукции не рентабелен при данной цене и ресурсных ограничениях.

                                mах (9х₁+6х₂+4х₃+7х₄)=2115

2. Сформулируем  двойственную задачу. В исходной задаче 3 ограничения по запасам сырья, а следовательно в двойственной задаче  имеем 3 неизвестных: y₁, y₂, y₃.

Целевая функция:

f(y)= min (180y₁ + 210y₂ + 800y₃)

Число переменных в исходной задаче равно четырем, следовательно в двоичной задаче имеем 4 ограничения:

1y₁  + 0 y₂ + 4 y₃ ≥ 9;

0y₁  + 1 y₂ + 2 y₃ ≥6     

 2y₁  + 3 y₂ + 0 y₃ ≥ 4;

1y₁ + 2 y₂ + 4y₃ ≥ 7.                                   (2)

где, правая часть  - коэффициенты при  неизвестных в целевой функции  исходной задачи, а левая – определяет стоимость ресурса на производство единицы продукции (каждое ограничение соответствует определенному виду продукции).

Есть еще  и прямые ограничения: y₁, y₂, y₃ ≥ 0.

Подставим Х  в систему (2):

1*95+0*210+2*0+1*0 = 95 < 180

 0*95+1*210+3*0+2*0 = 210 = 210;                        (3)

 4*95 + 2*210 + 0*0 + 4*0 = 800 = 800.

Запасы сырья  используются не полностью (95 < 180), поэтому  имеют нулевую двойственную оценку.

Согласно  II теореме двойственности:

.

Подставим значения:

y₁ *( 1*95 + 0*210 + 2*0 + 1*0 -180) = 0;

y₂ *( 0*95 + 1*210 + 3*0 + 2*0 – 210) = 0;              (4)

y₃ *( 4*95 + 2*210 + 0*0 + 4*0 – 800) = 0.

Так как для (строгое неравенство), то у1 = 0. (1-й вид ресурса недефицитен).

 Согласно II ТД: , следовательно:

х₁*(1* y₁ + 0* y₂ + 4* y₃ - 9) = 0;

х₂*(0* y₁ + 1* y₂ + 2* y₃  - 6) = 0;

 х₃*(2* y₁ + 3* y₂ + 0* y₃  - 4) = 0;              (5)

х₄*(1* y₁ + 2* y₂ + 4* y₃ – 7) = 0.

 

Так как для i = 1 и j = 2 соответственно х₁> 0 и х₂> 0, то в системе (2) для соответствующих строк имеем: 

y₁ = 0                                                                     

1* y₁ + 0* y₂ + 4* y₃ = 9                                        (6)

0* y₁ + 1* y₂ + 2* y₃ = 6    

 

y₁ = 0

y₂ = 3/2

y₃ = 9/4

 

Z(у) = 180* y₁ + 210* y₂ + 800* y₃ = 2115;

F(х) = 9*95 + 6*210 + 4*0 + 7*0 = 2115.

Т. к. f*(у) =f(х), то согласно I ТД:

План    Х – оптимален

            У – оптимален.

 

Рассчитаем  значение целевой функции двойственной задачи:

min (180y₁ + 210y₂ + 800y₃)=180*0+210*1,5+800*2,25=2115

3. Условием не дефицитности i-го ресурса является: , тогда его оценка   (y) = 0. Так как y₁ = 0, то i вид ресурса недефицитен. Тогда II и III виды ресурсов дефицитны, причем острее чувствуется дефицитность III вида (y₃ > y₂).

4. Для у > 0 имеем:

Тогда, зная у и изменения запасов ресурсов, можно определить изменение общей  стоимости продукции:

 

Найдем первый план, пересчитав систему (1) для дефицитных ресурсов:

0* х₁+ 1* х₂+ 3* х₃+2* х₄= 210+120;

4* х₁+ 2* х₂+ 0* х₃+ 4* х₄= 800+160.

Для получения  оптимального плана воспользуемся  средствами  MS Excel, а именно Поиском решений.

Так как х₃= 0 и х₄=0, то х₂=330 и х₁=75.

Имеем новую  производственную программу: Х = (75;330;0;0).

5. Отчет по устойчивости

Ячейки переменных
			Окончательное	Приведенн.
	Ячейка	Имя	Значение	Градиент
	$B$18	X1	75	0
	$C$18	X2	330	0
	$D$18	X3	0	-0,499999402
	$E$18	X4	0	-4,999999217
Ограничения
			Окончательное	Лагранжа
	Ячейка	Имя	Значение	Множитель
	$F$23	Левая часть	75	0
	$F$24	Левая часть	330	1,499999844
	$F$25	Левая часть	960	2,250000054

 

Из отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов, 2-го и 3-го видов сырья могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса 1-го ресурса на план выпуска продукции не влияет. Новый  план выпуска составляет 75 изделий  первого вида и 330 изделий второго  вида. Изменение общей стоимости  продукции на 540 ед. (2655-2115=540) получено за счёт уменьшения плана выпуска  на 20 ед. продукции первого вида по цене 9 ед. (9*(75-95)=-180 ед) и увеличении на 120 ед. продукции второго вида по цене 6 ед. (6*(330-210)=720 ед).

  С помощью оценок двойственности можно понять эффективно или не эффективно было бы производить изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие (Д)	Оценка ресурсов
I	2	0
II	12	1,5
III	2	2,25
Цена изделия	12

 

_{, это значит что изделие выгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление покрываются полученной прибылью.}

 

 

 

 

 

 

Задача 3.2 Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое предприятие  специализируется на выпуске продукции  первого вида, второе предприятие  – продукция второго вида; третье предприятие – продукция третьего вида. Часть выпускаемой продукции  потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление),  остальная  часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей  компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

 

Требуется:

1. Проверить  продуктивность технологической  матрицы  (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить  баланс (заполнить таблицу) производства  и распределения прдукции предпрятий холдинга.

Решение

Для определения  общего (валового) выпуска продукции 1-го и 2-го видов воспользуемся моделью  Леонтьева в виде:

 

X=(E-A)^-1Y.

 

 

С помощью  функций Excel определяем матрицу-разность (E-A):

(E-A) =.

С помощью функции =МОБР (=МОБР(F10:H12)) Мастера функций Excel найдем обратную матрицу:

 

                B=(E-A)^-1 =.

 

Делаем вывод о продуктивности матрицы А поскольку матрица (E-A) неотрицательно обратима. Значит мы можем найти матрицу-столбец объемов валовой продукции X в соответствии с моделью Леонтьева.

С помощью функции =МУМНОЖ (=МУМНОЖ(J10:L12;F4:F6) ) Мастера функций Excel найдем матрицу X как произведение матриц B и Y:

                    X= =

Таким образом, общие объемы производства продукции  цехов:

Х₁ = 285,67,    Х₂  = 331,06.     X₃=362,80

Распределение продукции между  цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения:  Х_{i j}     = а_{i j} Х_j   , т.е.

Х₁₁     =  0*285,67 = 0;  Х₁₂=0,1*331,06 = 33,11; X₁₃=0,2*362,80=72,56

Х₂₁     =0,1*285,67 = 28,57;  Х₂₂ =0,2*331,06 = 66,21     Х₂₃ =0,1*362,80 =36,28.

Х₃₁     =0,2*285,67 = 57,13;     Х₃₂  =0,1*331,06 = 33,11    Х₃₃ =0,2*362,80=72,56.

В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции предприятия - будет иметь следующий вид:

Баланс производства и распределения  продукции холдинга
Предприятие	Внутреннее потребление			Конечный	Валовой
(вид продукции)	1	2	3	продукт	продукт
1	0	33,11	72,56	180	285,67
2	28,57	66,21	36,28	200	331,06
3	57,13	33,11	72,56	200	362,80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.2 Использовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

t	Y(t)
1	43
2	47
3	50
4	48
5	54
6	57
7	61
8	59
9	65

 

Требуется: 

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений. 

2) Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Построить адаптивную модель  Брауна  с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

4) Оценить адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5) Оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

 Вычисления  провести с одним знаком в  дробной части. Основные промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

1) Используя метод Ирвина проверим наличие аномальных наблюдений:

 

, где

 

 

                               - среднеквадратическое отклонение

 

Выполним  все вычисления, используя MS Excel:

В результате получим:

 

 

Так как по всем уровням t значение не превосходит табличное 1,5, то аномальных наблюдений нет.

2) Построим линейную модель вида Y(t) = a₀+a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем по следующим формулам:

;    

Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

Получим таблицу:

 

Уравнение регрессии  зависимости Y_t  от t_t имеет вид: Y(t) = 40,861 + 2,58t

Для получения  коэффициентов регрессии можно  использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

 

 

Воспользуемся пунктом Данные → Анализ данных → Регрессия:

 

 

 
Результат регрессионного анализа:

 

 

 

 

Средствами  MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀=40,861, а₁=2,58, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии и статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид: Y(t) = 40,861+ 2,583t

 

 

3) Модель Брауна: ;

;

;

;

Заполним  таблицу  расчетных значений с  параметром сглаживания =0,4 с помощью Excel, мастер функций.

 
Получим :

 

 

 

 

 

 

 

  Заполним таблицу  расчетных значений с параметром сглаживания =0,7 с помощью Excel, мастер функций.

 

 

Получаем:

 

Выберем лучшее значение параметра сглаживания, для этого сравним ошибки E(t): модель с параметром сглаживания =0,4, E(t)=0,06, а модель с параметром сглаживания =0,7, E(t)=0,05, следовательно лучшее значение параметра сглаживания =0,7.

 

 

 

 

4) Оценим адекватность построенных моделей:

1. Модель с  параметром сглаживания =0,4:

Проверку  случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в  столбце «F»,их количество равно четырем (р=4).

Таблица: «Точки пиков». 
_{Так же это можно увидеть на графике «Остатков»}

 

Правая  часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, то есть это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем  проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,425+4,626=7,051

 

RS=R/S=7,051/2,593=2,72, это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для n = 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

Переходя  к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице («Точки пиков») это математическое ожидание равно 0,06: 9 = 0,007 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента. 

Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле , представленные в столбцах «G,H,I»

дают следующее  значение этого критерия: d = 142,29 : 53,8 = 2,64. Эта величина превышает 2, что свидетельствует об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d' = 4-d = 4- 2,64 =1.36. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d₁ =1,08 и d₂ — 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d2 до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.

Из сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной  компоненты временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является адекватной.

2. Модель с  параметром сглаживания =0,7:

Проверку  случайности  уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отметим в  столбце «F», их количество равно четырем (р=4).

Таблица: «Расчетные значения». 

Правая  часть неравенства p>q равняется в нашем случае двум, то есть это неравенство выполняется. Следовательно, свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Проведем  проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS-критерием.

=2,216+3,556 =5,772

 1,932

 

RS=R/S=5,772/1,932=2,987 это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для  n = 10 и уровня значимости α= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

Переходя  к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице  это математическое ожидание равно 0,05: 9 = 0,005  и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.