Контрольная работа по «Экономико-математическому моделированию». 3

Задача 1.

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум веществ приведены в таблице.

Питательные вещества (витамины)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
	9 8 12	3 1 1	1 2 6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ед.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

1. Пусть - количество корма 1-го вида, а - количество корма 2-го вида, которые необходимо включить в рацион, обеспечив при этом минимальную его стоимость.

Поскольку стоимость корма I и II соответственно составляет – 4  и 6  ед., то стоимость всего рациона можно записать следующим образом:

Тогда количество питательного вещества в кормах I и II составят .

Поскольку необходимые минимум вещества это 9, то ограничение по питательным веществам первого вида можно записать следующим образом:

Аналогично рассуждая относительно питательных веществ и , получим еще два ограничения:

Поскольку количество корма может быть лишь не отрицательным, то математическая модель данной задачи примет вид:

Найти минимум целевой функции ,

при ограничениях

2. Строим множество допустимых решений. Для этого строим прямые , и :

	0	3
	9	0

 

	0	8
	4	0

 

	0	6
	2	1

 

 

3. Штриховкой выделяем область, соответствующую знакам неравенств. На пересечении всех полуплоскостей получаем ограниченную область.

Изображаем линию уровня целевой функции:

И вектор градиента, перпендикулярный линии уровня - .

4. Вектор градиента указывает направление увеличения значения целевой функции. Поэтому для нахождения минимума функции необходимо двигать линию уровня в направлении противоположном вектору градиента, параллельно себе, пока не выйдем из области.

Видно, что выход из области (минимум целевой функции) произойдет в точке пересечения прямых и - точка А.

5. Найдем координаты точки А – точка пересечения прямой и . Для этого решим систему уравнений:

 

6. Найдем минимум целевой функции, для этого подставим найденную точку в целевую функцию:

Стоимость рациона будет минимальной и составит 24 ед., если включить в рацион 2 ед. корма I и 3 ед. корма II.

Если решать задачу на максимум, то необходимо найти такое решение, при котором стоимость рациона будет максимальной. Максимум целевой функции необходимо искать в точке области допустимых значений в направлении увеличения значения целевой функции, т.е. двигаем линию уровня в этом направлении пока не выйдем из области, но такой точки нет, так как область сверху неограниченна, это означает, что максимума целевой функции при данных ограничениях не существует.

Ответ: Стоимость рациона будет минимальной  и составит 24 ед., если включить в рацион 2 ед. корма I и 3 ед. корма II.

.

 

 

Задача 2.

  На основе информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы сырья
	А	Б	В
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5	—

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти её оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-  проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить  на 5 ед., а II - уменьшить на 5 ед.;

-  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7  у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

Решение:

1. Составим ЭММ задачи.

Обозначим количество выпускаемых изделий А, Б, В соответственно как х1, х2, х3.  Имея ограничения по запасам сырья и зная нормы расхода ресурсов на изготовление изделий, а также цены готовых изделий и задачу максимизации прибыли – мы можем сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.

Решаем задачу линейного программирования на ЭВМ с помощью табличного процессора MS Excel.

Для этого заполним в Exel следующую таблицу:

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие			Ограничения		Запасы сырья
	А	Б	В
I	1	2	1		<=	430
II	3	0	2		<=	460
III	1	4	0		<=	420
Цена изделия	3	2	5
Количество	0	0	0
Целевая функция

 

Далее введем формулы для нахождения значении целевой функции:

=СУММПРОИЗВ(B7:D7;B6:D6)

И для ограничений:

=СУММПРОИЗВ(B3:D3;$B$7:$D$7)

=СУММПРОИЗВ(B4:D4;$B$7:$D$7)

=СУММПРОИЗВ(B5:D5;$B$7:$D$7)

И воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» получим значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(0; 100; 230). Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(X*)=1350

Следовательно, для получения максимальной выручки от реализации готовой продукции следует производить 100 изделий Б, 230 изделий В и не производить изделия А (x1*=0). Выпуск изделия А  невыгоден при данных условиях задачи.

Произведем решение задачи симплекс-методом, для этого преобразуем ограничения в равенства:

 

Заполним симплекс-таблицу:

ШАГ 1		3	2	5	0	0	0
БАЗИС
	0	1	2	1	1	0	0	430
	0	3	0	2	0	1	0	460
	0	1	4	0	0	0	1	420
	0	-3	-2	-5	0	0	0
ШАГ 2
	0		2	0	1		0	200
	5		0	1	0		0	230
	0	1	4	0	0	0	1	420
	1150		-2	0	0		0
ШАГ 3
	2		1	0			0	100
	5		0	1	0		0	230
	0	2	0	0	-2	1	1	20
	1350	4	0	0	1	2	0

 

На первом шаге имеем следующее опорное решение:

Значение целевой функции: .

Поскольку на данном шаге в строке имеются отрицательные оценки, (решаем задачу на максимум) то решение не является оптимальным,  выбираем минимальное значение, оно соответствует переменной , следовательно ее будем вводить в базис. Определяем переменную вместо которой будем вводить . Для этого в столбце находим отношения (отношение находим только для неотрицательных значений третьего столбца) и выбираем из них минимальное, минимальное значение соответствует переменной . Таким образом выводим из базиса переменную . Переходим к новому опорному плану с помощью элементарных преобразований – ШАГ 2.

На данном шаге имеем следующее опорное решение:

Значение целевой функции: .

Аналогично определяем, что данный опорный план не является оптимальным, поскольку в строке оценок есть отрицательное значение  -2. Определяем какая из переменных вводится в базис, а какая выводится, в данном случае вводим вместо . Переходим к новому опорному плану с помощью элементарных преобразований – ШАГ 3.

На данном шаге имеем следующее опорное решение:

Значение целевой функции: .

Данное опорное решение является оптимальным, поскольку в строке оценок все значения не отрицательные.

Таким образом, убирая дополнительные переменные, получаем

 и  - решение соответствует решению полученному c помощью Exel.

2. Составим двойственную задачу. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III соответственно как y1, y2, y3. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 3. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

 

Z(Y) = 430y1+460y2+420y3→ min;

Используя теоремы двойственности получим решение двойственной задачи.

Подставим полученное решение исходной задачи в ограничения исходной задачи:

Т.к. последнее ограничение выполняется как строгое неравенство, то

Согласно второй теореме двойственности

(1у1* +3 у2* + 1у3* -3) ∙ х1* = 0;

(2у1* + 0у2* + 4у3* -2) ∙ х2* = 0;

(1у1* + 2у2* + 0у3* -5) ∙ х3* = 0;

х1* = 0, х2*  = 100, х3*  = 230 (из решения исходной задачи)

Следовательно

2у1* + 0у2* + 4у3* -2=0

1у1* + 2у2* + 0у3* -5=0

Так как y3*  = 0, то

2у1*  -2=0

1у1* + 2у2* -5=0

Решая данную систему уравнений получим решение двойственной задачи:

y1*=1; y2*=2; y3*=0.

Минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает  с максимальным значением целевой функции исходной задачи.

3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане и поясним нулевые значения переменных. Для этого еще раз подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 100; 230). и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и  II используются в оптимальном плане полностью, т.е. являются дефицитными. На это указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс II, так как он имеет наибольшую теневую цену (y2*=2); наименее дефицитен ресурс I (y1*=1).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I и II сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 1 руб., увеличение объема ресурса II на единицу — на 2 руб. Ресурс III используется не полностью 400<420, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3*=0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Поясним равенство нулю x1*=0. Если изделие вошло в оптимальный план (х>0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. В нашей задаче это изделия Б и В. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдёт в оптимальный план.

4. Определим, насколько изменится  общая стоимость выпускаемой  продукции при заданных изменениях  запасов сырья. Если изменения находятся в пределах устойчивости двойственных оценок, то это дает возможность непосредственно рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции:

При этом новая наибольшая выручка составит

 руб.

Определим как изменится план выпуска продукции. Поскольку мы предположили, что изменения находятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т.е. структура оптимального плана не меняется  т.е.

Т.е. оптимальный план выпуска продукции:

Значение целевой функции: .

5. Для определения целесообразности включения в план изделия Д ценой 7 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:

Следовательно, продукцию Д  выпускать не выгодно, так как она  поглощает дефицитные ресурсы, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции.

Задача 3.

Задана матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей и вектор конечной продукции Y.

Отрасли	Коэффициенты прямых затрат			Конечный продукт
	1	2	3
1	0,0	0,4	0,1	160
2	0,4	0,1	0,0	180
3	0,3	0,0	0,1	150

 Требуется:

1. Проверить продуктивность А
2. Построить баланс производства и распределение продукции отраслей

Решение:

1. Составим матрицу коэффициентов прямых затрат

Вектор столбец конечной продукции

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица для (Е-А) и все ее элементы неотрицательны.

Матрица Е имеет вид

Тогда

С помощью Exel находим обратную матрицу:

Найдем обратную матрицу аналитически, для этого воспользуемся формулой:

Находим определитель матрицы :

Находим матрицу из алгебраических дополнений:

Транспонируем полученную матрицу:

Окончательно получим:

Все элементы матрицы полных затрат В неотрицательны, следовательно матрица А продуктивна.

Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям, используя формулу c помощью Exel

Следовательно, валовая продукция предприятия , ,

Распределение продукции между предприятиями:

 

Заполняем таблицу

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой  продукт
	1	2	3
1	0	137,84	27,51	160	325,35
2	130,14	34,46	0	180	344,6
3	97,61	0	27,51	150	275,12

 

 

Задача 4.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	30	28	33	37	46	42	44	49	47

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a0+a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности  р=70%).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

1. Проверка наличия аномальных наблюдений

Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных.  Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число

,

где

,

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение считается аномальным.

Составим таблицу:

 

№	t	y(t)
1	1	30	-4	16	-9,56	38,22	91,31
2	2	28	-3	9	-11,56	34,67	133,53	2,00	0,26
3	3	33	-2	4	-6,56	13,11	42,98	5,00	0,64
4	4	37	-1	1	-2,56	2,56	6,53	4,00	0,51
5	5	46	0	0	6,44	0,00	41,53	9,00	1,15
6	6	42	1	1	2,44	2,44	5,98	4,00	0,51
7	7	44	2	4	4,44	8,89	19,75	2,00	0,26
8	8	49	3	9	9,44	28,33	89,20	5,00	0,64
9	9	47	4	16	7,44	29,78	55,42	2,00	0,26
	45	356		60		158,00	486,22

 

Все , следовательно среди наблюдений  нет аномальных.

2. Построим линейную модель , параметры которой оценим МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда)

При вычислений воспользуемся формулами:

 

Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид

Угловой коэффициент а1 = 2,63 уравнения показывает, что за одну неделю спрос на кредитные ресурсы банка увеличивается в среднем на 2,63 млн. руб.

3. Оценим адекватность построенной  модели. Рассчитанные по модели

значения прибыли (t=1, 2,…, 9).

Проверим независимость остатков с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

t	y	Предсказанное	Остатки
1	30	29,02	0,98
2	28	31,66	-3,66
3	33	34,29	-1,29
4	37	36,92	0,08
5	46	39,56	6,44
6	42	42,19	-0,19
7	44	44,82	-0,82
8	49	47,46	1,54
9	47	50,09	-3,09
сумма			0,00

 

Для этого составим таблицу:

№	t
1	1	0,98	0,96
2	2	-3,66	13,36	-4,63	21,47
3	3	-1,29	1,66	2,37	5,60
4	4	0,08	0,01	1,37	1,87
5	5	6,44	41,53	6,37	40,53
6	6	-0,19	0,04	-6,63	44,00
7	7	-0,82	0,68	-0,63	0,40
8	8	1,54	2,39	2,37	5,60
9	9	-3,09	9,54	-4,63	21,47
	45	0,00	70,16	-4,07	140,94