Задача 1

     В таблице 5 приведены данные о наличии трудовых ресурсов на предприятии по каждому из типов ресурсов (в нормо-часах), о трудоемкости изготовления единицы продукции каждого вида с разбивкой по типам трудовых ресурсов (в нормо-часах на единицу продукции), а также о цене единицы продукции каждого вида (в условных единицах).

 

     Задание 1. Сформулировать исходную оптимизационную задачу оптимального использования трудовых ресурсов на максимум общей стоимости выпускаемой продукции и решить ее графическим методом. 

Наличие трудовых ресурсов 1, 2 и 3 равно 18, 30 и 40 н.-часов соответственно.

Пусть Х₁ - Кол-во единиц продукции А.

Пусть Х₂ - Кол-во единиц продукции Б. 

Трудовой  ресурс 1 используется следующим образом: 1*X₁+2*X₂ £ 18

Трудовой  ресурс 2 используется следующим образом: 1*X₁+1*X₂ £ 30

Трудовой  ресурс 3 используется следующим образом: 1*X₁+3*X₂ £ 40 

     Каков максимум общей стоимости выпускаемой  продукции, если общая стоимость  выпускаемой продукции равна: 12*X₁+7*X₂. 

     Получим целевую функцию и систему  ограничений: 

max f(x) = 12X₁  + 7X₂

X₁  + 2X₂   £ 18

X₁  + X₂  £ 30

X₁  +  3X₂ £ 40

X_1,2 ³ 0 

     Запишем уравнения ограничивающих линий 

X₁  + 2X₂  = 18

X₁  + X₂  = 30

X₁  +  3X₂ = 40

X₁ = 0

X₂ = 0 

     Решим задачу графическим способом.

     Построим  в первом квадранте граничные  прямые, определим область допустимых значений. Построим из начала координат вектор до точки (12, 7). Будем перемещать вдоль вектора линию, перпендикулярную вектору до последней точки пересечения с ОДЗ в обе стороны. Эти точки и будут оптимальным планом.

     Для задачи поиска максимума получили  значения

Х₁ = 18, Х₂ = 0, max f(X) = 12*18 + 7*0 = 216. 

     Задание 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план на основе первой и второй теорем двойственности линейного программирования. 

     Исходная  оптимизационная задача:

max f(x) = 12X₁  + 7X₂

X₁  + 2X₂   £ 18

X₁  + X₂  £ 30

X₁  +  3X₂ £ 40

X_1,2 ³ 0 

     В этой модели функциональные ограничения  отражают условия ограниченности объемов  используемых трудовых ресурсов.

     Проверим, как удовлетворяется система  функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (X₁ = 18, X₂ = 0):

18  + 2*0  = 18

18 + 0 = 18  < 30   (*)

18  +  3*0  = 18 < 40

     Значение  целевой функции f(x) = 12*18 + 7*0 = 216

     Сформулируем  двойственную задачу

min j(Y) = 18Y₁  + 30Y₂  + 40Y₃

Y₁  + Y₂  + Y₃ ³ 12

2Y₁  +  Y₂  + 3Y₃ ³ 7

Y_1,2,3 ³ 0 

      Для нахождения оценок Y₁, Y₂, Y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и третье ограничение в (*) выполняются как строгое неравенство, то Y₂ = Y₃ = 0.  Так как Х₁ > 0, то:

Y₁  + Y₂  + Y₃ = 12

      Итак  для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

Y₂* = 0

Y₂* = 0

Y₁* +  Y₂*  +   Y₃*  -  12 = 0 

т. е. Y₁* = 12,      Y₂* = 0,    Y₃* = 0.

      Значение  целевой функции двойственной задачи:

      j(Y) = 18*12 + 30*0 +  40*0 = 216

      т. е. f(X) = j(Y) = 2165

      По  первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных. 

 

Задача 2

     В таблице приведены фактические  годовые данные по производительности труда в цементной промышленности, отражающие выработку натурального цемента (в десятках тонн) в расчете на одного работающего.

       
 
 
 

      Задание 1. Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней, взяв длину интервала сглаживания m = 3; результаты сглаживания отразить на графике. 

     Традиционным  методом прогнозирования будущего значения спроса является усреднение его прошлых значений. Формально скользящее среднее y^~₁ определяется как             

        

      Задание 2. Определить наличие тренда, взяв табличные значения статистик Стьюдента и Фишера (для уровня значимости 0,05) t_a = 2,23; F_a = 3,07; другие необходимые табличные данные приведены в табл. 4.5 на стр. 153 учебника. 

      1) Разобьем исходный ряд на две  равные части:

 
 
 
 
 
 

      Вычислим  средние значения и дисперсии:

 

      Так как  , то F =  

      Так как F = 2,2 < F_a = 3,07, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

      Определим расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

      

      

      Так как t = 5,511 > t_a =2,23, то гипотеза об отсутствии тренда не принимается, т. е. тренд существует. 

      Задание 3. Построить линейную трендовую модель, определив ее параметры методом наименьших квадратов. 

     Пусть    ,  тогда для составления системы линейных уравнений используем метод наименьших квадратов.

     Где    

     Тогда получают систему:

     

     n – количество элементов выборки, равно 10.

     

     

     

     

     Получим  систему:

     

                  

      

 

      Получим Y = 0,903 × t + 133,333 

 

      Задание 4. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

      а) близости математического ожидания остаточной последовательности (ряда остатков) нулю; критическое значение статистики Стьюдента взять таким же, как и в задании 2; 

      Проверка  равенства математического ожидания остаточной последовательности (ряда остатков) нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей гипотезы Но:|e|=0. С этой целью строится t-статистика

      

      где   -  среднее арифметическое значений уровней ряда остатков.

      

       - среднеквадратичное отклонение. 

      Тогда получим:        _.

      Так как  , то нулевая гипотеза принимается с заданным уровнем вероятности, т. е. математическое ожидание остаточной последовательности (ряда остатков) равно нулю.

 

      б) случайности отклонений ряда остатков по критерию пиков (поворотных точек); расчеты выполнить на основе соотношения (5.9) на стр. 200 учебника; 

      

     На  графике определяем, что существует 5 пиков, т. е. Р = 5.

      Рассчитаем 

      

      Т. о.  ряд остатков можно считать  случайным. 

      в) независимости (отсутствия автокорреляции) уровней ряда остатков по критерию Дарбина — Уотсона (см. формулу (5.12) на стр. 203 учебника); в качестве критических используйте уровни d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36; если критерий Дарбина — Уотсона не даст ответа, используйте расчеты первого коэффициента автокорреляции для ряда остатков {e }, приняв в качестве критического уровня          r = 0,36;

 

 

      

      Так как   2 < d < 4,   то d’ = 4 – d = 4 – 2,034 = 1,966, а так как d₂< d’ < 2, то есть 1,36 < 1,966 < 2, то можно сделать вывод, что ряд остатков не коррелирован.

      Воспользуемся проверкой по первому коэффициенту автокорреляции для ряда остатков {e }.

      Т. к. r₁ < r_KP = 0,36, то есть 0,066 < 0,36, то можно сделать вывод, что ряд остатков не коррелирован. 

      г) нормальному закону распределения  ряда остатков на основе RS-критерия (см. стр. 202 учебника), взяв в качестве критического интервал от 2,7 до 3,7. 

      Соответствие  ряда остатков нормальному закону распределения  проверим с помощью RS-критерия:

      

      Т. к. расчетное значение попадает между  табулированными границами критического интервала от 2,7 до 3,7, то с заданным уровнем вероятности гипотеза о нормальности распределения ряда остатков принимается. 

     Задание 5. Оценить точность модели на основе показателей среднего квадратического отклонения от линии тренда (формула (5.17) на стр. 210 учебника, принять k = 1) и средней относительной ошибки аппроксимации (формула (5.14) на стр. 204 учебника). 

      В качестве статистических показателей  точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда –

      

      где m — число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации -

      

 

      Ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. В общем случае допустимый уровень точности, а значит и надежности устанавливает пользователь модели, который в результате содержательного анализа проблемы выясняет, насколько она чувствительна к точности решения и насколько велики потери из-за неточного решения. 

     Задание 6. Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (t_a = 2,23;); результаты моделирования и прогнозирования отразить на графике. 

      Если  в ходе проверки разрабатываемая  модель признана достаточно надежной, на ее основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения к: t = п + k.

      Так, в нашем случае экстраполяция  вперед имеет вид: 

      Y₁₁ = 133,333 + 0,903*11 = 143,266

      Y₁₂ = 133,333 + 0,903*12 = 144,169 

      Для учета случайных колебаний при  прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы, зависящие от стандартной ошибки, горизонта прогнозирования k, длины временного ряда п и уровня значимости прогноза а. В частности, для прогноза будущие значения Y вероятностью (1 - а) попадут в интервал

      

 

     Задание 7. Сравнить результаты прогнозирования с фактическими данными на период упреждения, взяв эти данные из временного ряда последующего варианта (два последних уровня); для варианта 10 эти значения принять равными 140 и 142; указать, попадают или нет эти фактические данные в доверительный интервал прогноза.   

     Фактические значения 140 и 142 попадают в соответствующие доверительные интервалы [138,78;  147,752] и [139,758;  148,58]. 
 
 
 
 

Задача 3

      Для трехотраслевой экономической системы  заданы первой и второй квадранты схемы межотраслевого материального баланса и затраты труда в отраслях в некоторых условных единицах измерения:

Задание 1

      Рассчитать  объемы валовой продукции отраслей (формула (6.2) на стр. 237 учебника), матрицу  А коэффициентов прямых материальных затрат (формула (6.4) на стр. 238 учебника) и матрицу В коэффициентов  полных материальных затрат (формула  (6.16) на стр. 244 учебника).  

     Пусть Х = (Х₁ Х₂, Х₃) - вектор валовой продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть Y = (Y₁, Y₂, Y₃) - вектор конечной продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть Х_ij - матрица производственных затрат отраслей. 

      Рассчитаем  объемы валовой продукции отраслей (формула (6.2) на стр. 237 учебника)

      

 

      Рассчитаем  матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат (формула (6.4) на стр. 238 учебника)

      

                  

                  

                  

      Получим: 

 

      Рассчитаем  матрицу В коэффициентов полных материальных затрат (формула (6.16) на стр. 244 учебника).

      

 

     Вычислим  определитель этой матрицы: 

      Транспонируем матрицу (Е-А): 

      Находим алгебраические дополнения для элементов  матрицы (Е-А)’, т. о. матрица, присоединенная к (Е-А) имеет вид:

 

      Получим: 

      

 

      Задание 2. 

      Найти коэффициенты прямой трудоемкости (формула (6.17) на стр. 249 учебника) и коэффициенты полной трудоемкости (формула (6.20) на стр. 250 учебника) отраслей.

     Пусть Х = (Х₁ Х₂, Х₃) - вектор валовой продукции (соответствующих отраслей).

     Пусть L = (L₁, L₂, L₃) - вектор затрат труда (соответствующих отраслей).

     Пусть Х_ij - матрица производственных затрат отраслей (соответствующих производящих отраслей i в потребляющих отраслях j). 

     Для расчета коэффициентов прямой трудоемкости используем формулу:

      t_j = L_j / X_j

      Тогда получим:

      t₁ = L₁ / X₁ = 1100 / 780 = 1,41

      t₂ = L₂ / X₂ = 500 / 500 = 1,0

      t₃ = L₃ / X₃ = 900 / 800 = 1,125

      Т. о. матрица t имеет вид:

     Рассчитаем  матрицу T коэффициентов полной трудоемкости:

T = t B 

      Получим:

 
 

      Задание 3. 

      Составим  схему межотраслевого баланса затрат труда (см. табл. 6.3 на стр. 252 учебника). 

      Умножая первую, вторую и третью строки первого  и второго квадрантов межотраслевого материального баланса на соответствующие  коэффициенты прямой трудоемкости  

      

.