Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 9

Задача 1

В выборке представлены данные по цене P некоторого блага и количеству (Q) данного блага, приобретаемому хозяйством ежемесячно в течение года.

Месяц	1	2	3	4	5	6
P	10,86	20, 86	15, 86	25, 86	30, 86	35, 86
Q	110, 86	75, 86	100, 86	80, 86	60, 86	55, 86

Месяц	7	8	9	10	11	12
P	40, 86	35, 86	25, 86	40, 86	45, 86	40, 86
Q	40, 86	80, 86	60, 86	30, 86	40, 86	30,86

Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между P и Q.
Оцените по МНК параметры уравнения линейной регрессии.
Оцените выборочный коэффициент корреляции rpq.
Проинтерпретируйте результаты.

Решение

Для определения формулы зависимости между P и Q построим поле корреляции.

На основании поля корреляции можно сделать вывод, что между факторным (P) и результативным (Q) признаками существует линейная зависимость вида: y_x = a₀ + a₁x.

Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,89657885
R-квадрат	0,803853635
Нормированный R-квадрат	0,963635329
Стандартная ошибка	5,145848744
Наблюдения	1

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	12	1085,202407	90,43353392	40,98233654	7,81501Е-05
Остаток	10	264,797593	26,4797593
Итого	22	1350

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							1,1464Е-302	1,1464Е-302
Перемен-ная Х₁							264,797593	264,797593
Перемен-ная Х₂							3,45624Е+18	3,45624Е+18
Перемен-ная Х₃							0	0
Перемен-ная Х₄	5,145848744	1085,202407	0,004741833	0,996309841	-2412,835786	2423,127	-2412,835786	2423,127484
Перемен-ная Х₅							13869621248	13869621248
Перемен-ная Х₆							0	0
Перемен-ная Х₇							52,81731606	56,39951107
Перемен-ная Х₈							3,6153Е-301	3,6154Е-301
Перемен-ная Х₉							-4,1824Е+152	4,1824Е+152
Перемен-ная Х₁₀							-30903441944	30903441944
Перемен-ная Х₁₁	54,60841357	4,046848652	13,49405877	9,62103Е-08	45,59147289	63,62535	45,59147289	63,62535424
Перемен-ная Х₁₂	-0,377461707	0,058962317	-6,401744804	7,81501Е-05	-0,508837936	-0,24609	-0,508837936	-0,246085478

Уравнение регрессии примет следующий вид: y_x= 54,61 – 0,38 х.

Множественный индекс корреляции составляет 0,89657885, что свидетельствует о достаточно тесной связи между ценой некоторого блага и количеством данного блага.

Значение коэффициента детерминации, равное 0,803853635 свидетельствует о том, что теснота связи результата и факторов объясняет 80,39% вариации цены некоторого блага. Расчетное значение Фишера по F-критерию составляет 40,98 при статистической значимости 7,81501Е-05.

Оценим выборочный коэффициент корреляции.

Наименование	Переменная 1	Переменная 2
Средняя	30,51	63,84333333
Дисперсия	122,7272727	692,4242424
Наблюдения	12	12
Корреляция Персона	-0,89657885
Гипотетическая разность средних	0
df	11
t-статистика	-3,156901157
Р (Т≤t) одностороннее	0,004564605
t критическое одностороннее	1,795884814
Р (Т≤t) двухстороннее	0,00912921
t критическое двухстороннее	2,200985159

Выборочные средние равны 30,51 и 63,84333333, выборочный коэффициент корреляции равен -0,89657885.

Задача 2

Имеются данные за 10 лет по прибылям X и Y (в %) двух компаний:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19,286	15,886	12,586	10,386	5,786	-5,886	-3,586	5,286	7,386	6,786
Y	20,186	18,086	10,386	12,586	6,086	-6,886	-2,886	3,086	8,586	8,086

Постройте регрессионную модель Y=b₀+b₁X+e.
Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии.
Оцените коэффициент детерминации R2 данного уравнения.
Постройте регрессионную модель Y=bX+u.
Приведите формулы расчета коэффициента b, его стандартной ошибки Sb и стандартной ошибки регрессии S (обратите внимание на число степеней свободы при расчете данной оценки).
Значимо или нет различаются коэффициенты b1 и b?
Какую из построенных моделей вы предпочтете?
Можно ли на основе построенных регрессий утверждать, что прибыль одной из компаний является следствием прибыли другой?

Решение

Регрессионная статистика
Множественный R				0,982932224
R-квадрат				0,966155756
Нормированный R-квадрат				0,961925226
Стандартная ошибка				1,525899047
Наблюдения				10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS		F	Значимость F
Регрессия	1	531,7456232	531,7456232		228,3769773	3,63716Е-0,7
Остаток	8	18,6269432	2,328367901
Итого	9	550,3725664

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Р-значение

Нижние

95%

Верхние 95%

Нижние

95,0%

Верхние

95,0%

Y-пересечение

0,347592177

0,669930643

0,518848004

0,617909841

-1,197270655

1,892455008

-1,197270655

1,892455008

Переменная Х₁

0,910835075

0,060271058

15,11214668

3,63716Е-07

0,771839765

1,049810385

0,771839765

1,049810385

Уравнение регрессии примет следующий вид: y_x = 0,35 + 0,91 х.

Множественный индекс корреляции составляет 0,9829, что свидетельствует о достаточно тесной связи между прибылью двух компаний.

Стандартная ошибка регрессионного коэффициента b равна квадратному корню из дисперсии b, в данном случае стандартная ошибка равна 1,5259.

Расчетное значение Фишера по F – критерию составляет 228,377 при статистической значимости 3,64. Поскольку фактический уровень значимости меньше α = 0,05, можно сделать соответствующий вывод о статистической значимости уравнения в целом.

Задача 3

Для прогноза возможного объема экспорта на основе ВНП предложено использовать линейную регрессионную модель. При этом используются данные за 1995 – 2004 годы.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
ВНП	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580
Экспорт	190	220	240	240	260	250	280	290	310	350

Сформулируйте соответствующую регрессионную модель, дав интерпретацию ее параметров.
Рассчитайте на основе имеющихся данных оценки параметров модели.
Вычислите стандартную ошибку регрессии.
Рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов.
Определите 90 и 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.
Проанализируйте статистическую значимость коэффициентов при уровнях значимости a=0,1 и a=0,05.
Оцените коэффициент корреляции между ВНП и экспортом.
Дайте прогнозы по объему экспорта на 2006 и 2009 годы.
Определите 95%-е доверительные интервалы для этих прогнозов.
Рассчитайте коэффициент детерминации и сравните его с коэффициентом корреляции.
Какие предпосылки относительно случайного отклонения модели необходимы для обоснованности выводов по предыдущим пунктам?
Сделайте выводы по предыдущим пунктам.

Решение

Регрессионная статистика
Множественный R	0,957270124
R-квадрат	0,91636609
Нормированный R-квадрат	0,963635329
Стандартная ошибка	57,99789527
Наблюдения	1

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	10	294849,9531	29485	87,65498025
Остаток	8	26910,04685	3363,756
Итого	18	321760

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							26810,04685	26910,04685
Перемен-ная Х₁							294849,9531	294849,9531
Перемен-ная Х₂	0,406250	0,406250	1	0,3466	-0,53057	1,343065	-0,53056	1,343065
Перемен-ная Х₃							-2,6Е+168	6,6Е+168
Перемен-ная Х₄							0	0
Перемен-ная Х₅							-362,5878	917,85069
Перемен-ная Х₆							-1,302Е-302	3,2961Е-302
Перемен-ная Х₇							-2,216Е-268	-2,216Е-268
Перемен-ная Х₈							3,361Е+282	-3,36Е+282
Перемен-ная Х₉	277,631442	111,57138	2,48838	0,037617	20,347377	534,9155	20,34738	534,9155
Перемен-ная Х₁₀	3,917751	0,41845	9,36242	1,39Е-05	2,952793	4,8827	2,952793	4,8827

Уравнение регрессии примет следующий вид: y_x= 277,63 х₁ + 3,918 х₂.

Определим 90% и 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов.

90%-е доверительные интервалы:

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							-ЗЕ-281	2,8Е- 281
Перемен-ная Х₁							65535	65535
Перемен-ная Х₂							294850	294850
Перемен-ная Х₃							65535	65535
Перемен-ная Х₄							8,6Е-308	8,6Е-308
Перемен-ная Х₅							65535	65535
Перемен-ная Х₆							8,6Е-308	8,6Е-308
Перемен-ная Х₇							-2Е-61	2,03Е-61
Перемен-ная Х₈							-2Е-64	1,97Е-64
Перемен-ная Х₉	277,631442	111,5714	2,488375	0,03761 7	20,3473 8	534,915 5	70,1591	485,103 8
Перемен-ная Х₁₀	3,917751171	0,418455	9,362424	1,39Е-05	2,95279	4,88271	3,13961 4	4,69588 8

95%-е доверительные интервалы:

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							65535	65535
Перемен-ная Х₁							-4Е-306	4,1Е-306
Перемен-ная Х₂							-8Е-308	7,7Е-308
Перемен-ная Х₃							-3,9Е-64	3,9Е-64
Перемен-ная Х₄							-2,4Е-64	2,44Е-64
Перемен-ная Х₅							62054,7	62054,6 8
Перемен-ная Х₆							-679925	679925, 2
Перемен-ная Х₇							-18,448	18,4480 3
Перемен-ная Х₈							202,133	202,132 7
Перемен-ная Х₉	277,6314	111,5714	2,488375	0,037617	20,34738	534,915 5	20,3473 8	534,915 5
Перемен-ная Х₁₀	3,917751	0,418455	9,362424	1,39Е-05	2,952793	4,88271	2,95279 3	4,88271

Уровень значимости α = 0,05

Двухвыборочный F-тест для дисперсии	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	1308	263
Дисперсия	35751,11111	2134,444444
Наблюдения	10	10
df	9	9
F	16,74960958
P(F≤t) одностороннее	0,000134304
F критическое одностороннее	3,178893105

Уровень значимости α = 0,01

Двухвыборочный F-тест для дисперсии	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	1308	263
Дисперсия	35751,11111	2134,444444
Наблюдения	10	10
df	9	9
F	16,74960958
P(F≤t) одностороннее	0,000134304
F критическое одностороннее	5,351128861

Оценим коэффициент корреляции между ВНП и экспортом:

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение							1,8Е-279	1,8Е-279
Экспорт							0	0
190							1,5Е-280	1,5Е-280
220							1,06Е-64	1,06Е-64
240							6,1Е-298	6,1Е-298
240							1,4Е-280	1,5Е-280
260							1,4Е-280	1,5Е-280
250							9,9Е-289	2,7Е-288
280							3,2Е-288	5Е-288
290							20,34738	534,9155
310	277,6314	111,5714	2,488375	0,037617	20,34738	534,915 5	2,952793	4,88271
350	3,917751	0,418455	9,362424	1,39Е-05	2,952793	4,88271

Наблюдение	Предсказанное ВНП	Остатки	Стандартные остатки
1	87436,95992	-86436,95992	-4,24264069

Вывод: множественный индекс корреляции составляет 0,9573, что свидетельствует о достаточно тесной связи между ВНП и экспортом.

Уравнение регрессии примет следующий вид: y_x=277,63x₁ + 3,9177x₂.

Значение коэффициента детерминации, равное 0,9164 свидетельствует о том, что теснота связи экспорта объясняет 91,64% вариации ВНП, а 8,36% вариации объясняется факторами, не включенными в модель.

Расчетное значение Фишера по F-критерию составляет 16,74960958 при критической значимости 3,178893105 (уровень значимости меньше α = 0,05) и 5,351128861 (уровень значимости меньше α = 0,01).

Задача 4

Предполагается, что объем Q предложения некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены P данного блага и заработной платы W сотрудников фирмы, производящих данное благо:

Статистические данные, собранные за 16 месяцев, занесены в следующую таблицу:

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

1) Оцените по МНК коэффициенты уравнения регрессии.

2) Проверьте гипотезы о том, что при прочих равных условиях рост цены товара увеличивает предложение; рост заработной платы снижает предложение.

3) Определите интервальные оценки коэффициентов при уровне значимости α=0,1. Как с их помощью проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии?

4) Оцените общее качество уравнения регрессии.

5) Является ли статистически значимым коэффициент детерминации R2?

6) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

7) Сделайте выводы по построенной модели.

Решение

Регрессионная статистика
Множественный R				0,984115822
R-квадрат				0,968483952
Нормированный R-квадрат				0,963635329
Стандартная ошибка				7,829107629
Наблюдения				16
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS		F	Значимость F
Регрессия	2	24486,6	12243,3		199,7441	1,73963Е-10
Остаток	13	796,834	61,29493
Итого	15	25283,44

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересе-чение	115,2186247	11,89731803	9,684419998	2,60683Е-07	89,51603173	140,9212176	89,51603173	140,9212176
Перемен-ная Х₁	0,655207839	0,203714748	3,216300469	0,006752341	0,215108884	1,095306794	0,215108884	1,095306794
Перемен-ная Х₂	9,343268509	0,875188707	-10,67571878	8,38268Е-08	-11,23399876	-7,45253826	-11,23399876	7,452538263

Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию. 9 📙 Контрольная → 🆔 78391

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2