Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 25

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

Контрольная работа

Вариант №1

Выполнила

Специальность

№ личного дела

Группа

Дисциплина ЭММ ПМ

Преподаватель

Вариант №1

Задача 1.1.

Условия задачи:

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Решение:

Математическая модель имеет вид.

F = 0,08x₁ + 0,1x₂ Þ max - целевая функция (прибыль)

x₁ + x₂ £ 300

x₁ ³ 2x₂= x₁ -2x₂ ³0 - ограничения по сумме вложений

x₂ £ 100

x₁³ 0; x₂ ³ 0;

Управляющие переменные:

x₁_-сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А _,

x₂– сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно;

F – прибыль.

Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем акций В можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2
3	переменные	х1	х2
4	значения					<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj				значение F
7		0,08	0,1			=СУММПРОИЗВ(В7:С7;В4:С4)
8
9	ограничения	коэф-ты аj				формула	знак	bi
10	1-ое	1	1			=СУММПРОИЗВ(В10:С10;В4:С4)	<=	300
11	2-ое	1	-2			=СУММПРОИЗВ(В11:С11;В4:С4)	>=	0
12	3-ие	0	1			=СУММПРОИЗВ(В12:С12;В4:С4)	<=	100

Диалоговое окно программы «Поиск решения»

Установить целевую ячейку $F$7

Равной O max значению

Изменяемые ячейки переменных:$B$4:$C$4

В соответствии с ограничениями:

$F$10<=$H$10

$F$11>=$H$11

$F$12<=$H$12

v Сделать переменные без ограничений неотрицательными

Метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом»

Результат работы программы «Поиск решения»

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2
3	переменные	х1	х2
4	значения	200	100			<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj				значение F
7		0,08	0,1			26
8
9	ограничения	коэф-ты аij				формула	знак	bi
10	1-ое	1	1			300	<=	300
11	2-ое	1	-2			0	>=	0
12	3-ие	0	1			100	<=	100

Графическое решение.

F = 0,08x₁ + 0,1x₂ Þ max

x₁ + x₂ £ 300

x₁ -2x₂ ³0

x₂£ 100

x₁³ 0; x₂³ 0;

х2

300

200

150

X1-2X2=0

100

X2=100

100

200

300

х1

X1+X2=300

1.Определим множество решений неравенств:

1-ое ограничение

x₁ + x₂ = 300

x₁ 0 300

x₂ 300 0

2-ое ограничение

x₁ -2x₂ =0

x₁ 0 300

x₂ 0 150

3-ие ограничение

x₂=100 – горизонтальная

прямая

2. Приравняем целевую функцию к нулю F = 0,08x₁ + 0,1x₂ =0

x₁ 0 1

x₂ 0 -0,8

через эти две точки проведем линию (L).

3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат

∆ (с₁; с₂);

∆ (0,08; 0,1).

4. При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

x₁ + x₂ = 300

x₂ =100

x₁ = 300 -x₂

x₁ = 300 – 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.

5. Ответ: max (F) =26 и достигается при x₁ =200; x₂ =100;

Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.

6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ∆. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при x_{1 =} 0; x₂ = 0.

Задача 2.1.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
Тип сырья	А	Б	В	Г	Запасы сырья
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план с помощью теорем двойственности.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Математическая модель имеет вид.

F = 18x₁ + 30x₂ + 40x₃Þ min (стоимость ресурсов)

x₁ + x₂ + x₃ ³12
2x₁ +x₂+ 3x₃ ³7 - стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы

x₁ + 2x₂ +3x₃ ³18 продукции, при нормах расходах сырья соответственно

0x₁ + x₂+2x₃ ³10 (А, Б, В, Г).

Управляющие переменные:

x₁ – двойственная оценка или теневая цена 1–ого ресурса

x₂– двойственная оценка или теневая цена 2–ого ресурса

x₃– двойственная оценка или теневая цена 3–го ресурса

Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:

	A	B	C	D	E	F	G
1
2
3	переменные	х1	х2	х3
4	значения				<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj			значение F
7	F	18	30	40	=СУММПРОИЗВ(В7:D7;В4:D4)
8
9	ограничения	коэф-ты аij			формула	знак	bi
10	1-ое	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В10:D10;В4:D4)	>=	12
11	2-ое	2	1	3	=СУММПРОИЗВ(В11:D11;В4:D4)	>=	7
12	3-ие	1	2	3	=СУММПРОИЗВ(В12:D12;В4:D4)	>=	18
13	4-ое	0	1	2	=СУММПРОИЗВ(В13:D13;В4:D4)	>=	10

Диалоговое окно программы «Поиск решения»

Установить целевую ячейку $E$7

Равной О min значению

Изменяемые ячейки переменных: $B$4:$D$4

В соответствии с ограничениями: $E$10: $E$13>=$G$10: $G$13

v Сделать переменные без ограничений неотрицательными

Метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом»

Результат работы программы «Поиск решения»

	A	B	C	D	E	F	G
1
2
3	переменные	х1	х2	х3
4	значения	7	0	5	<--свободные ячейки
5
6	цел-я функция	коэф-ты Cj			значение F
7	F	18	30	40	326
8
9	ограничения	коэф-ты аij			формула	знак	bi
10	1-ое	1	1	1	12	>=	12
11	2-ое	2	1	3	29	>=	7
12	3-ие	1	2	3	22	>=	18
13	4-ое	0	1	2	10	>=	10







		Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
$B$4	значения х1	7	0	18	2	18
$C$4	значения х2	0	1	30	1E+30	1
$D$4	значения х3	5	0	40	2	22


		Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
$E$10	1-ое формула	12	18	12	1E+30	4
$E$11	2-ое формула	29	0	7	22	1E+30
$E$12	3-ие формула	22	0	18	4	1E+30
$E$13	4-ое формула	10	11	10	14	4

3. Если продукция вошла в оптимальный план хj >0, то в двойственных оценках она не убыточна, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна ее цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимально. В нашей задаче – это предприятия вида А и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одной единицы продукции больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошла продукция вида Б и В, потому что затраты по ним превышают цену.

Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора у:

у₁ + у₂+ у₃ ³12 Þ 1*7+1*0+1*5 = 12 = 12 Þ выгодно
2у₁ +у₂+ 3у₃ ³7 Þ 2*7+1*0+3*5 = 29 > 7 Þ невыгодно

у₁ + 2у₂+3у₃ ³18 Þ 1*7+2*0+3*5 = 22 > 18 Þ невыгодно

0у₁ + у₂+2у₃ ³10 Þ 0+1*0+2*5 = 10 = 10 Þ выгодно

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

1-ый и 3-ий ресурсы имеют отличные от нуля оценки: 7 и 5 - эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е сдерживают рост целевой функции.

x₁ + 2x₂+ x₃+ 0 £18 правые части этих ограничений равны левым частям
x₁ +3x₂+ 3x₃+ 2x₄ £40

1*18+2*0+1*0+0 = 18

1*18+3*0+3*0+2*11 = 40

2-ой ресурс используется не полностью (29<30), поэтому имеет нулевую двойственную оценку (у_{2
=}0).

x₁ +x₂+ 2x₃+ x₄ £30

1*18+1*0+2*0+1*11 = 29<30.

Этот ресурс в меньшей степени влияет на план выпуска продукции.

определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида:

Ic =18+4=22

IIc =30+3=33

IIIc =40-3=37

∆Fmax =∆bi*yi

∆ Fmax =4*7+3*0-(3*5) = 28+0-15 = 13

В нашей задаче значение целевой функции увеличивается на 13 ден.ед, план выпуска: x_{1 =}22; x_{2 =} 0; x_{3 =}0; x_{4 =} 7,5.

оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

αi - нормированные затраты ресурсов на производство единицы новой продукции Д.

с – ожидаемая прибыль

с₁- 2; с₂- 2;с₃ - 2;с -10

чистый доход Þ σ = с - ∑ αi yi

σ = 10 – (2*7+2*0+2*5) = (14+0+10) = 10 – 24 = -14

-14 <0 Þ производство изделия Д нецелесообразно.

Ответ: Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 18 единиц продукции А и 11 единиц продукции Г составит 326 ден.ед.

Вывод: Предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить max прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей min затраты на ресурсы.

Задача 4.1

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании

Неделя	Спрос
t	Y
1	10
2	14
3	21
4	24
5	33
6	41
7	44
8	47
9	49

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Ỹ(t)= α₀ +α₁ t, параметры которой оценить МНК (Ỹ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда.

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По одной построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

1.График временного ряда

Требуется проверить аномальный характер 5 наблюдения

Проверяемое наблюдение

t	Y
5	33

Оставшиеся наблюдения

t	Y
1	10
2	14
3	21
4	24
6	41
7	44
8	47
9	49

Для оставшихся наблюдений вычислим:

Yср =	31,44444
Sy =	14,70639
t =	0,105774
t кр =	3,499483

Сравниваем t < t кр наблюдение 5 не является аномальным, не требует замены.

2. Оценка параметров модели.

Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y от t.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,986962273
R-квадрат	0,974094529
Нормированный R-квадрат	0,970393747
Стандартная ошибка	2,530449486
Наблюдения	9

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1685,4	1685,4	263,21319	8,2267E-07
Остаток	7	44,82222222	6,403174603
Итого	8	1730,222222

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	4,944444444	1,838328932	2,68964077	0,0311019	0,59748727
t	5,3	0,326679624	16,22384627	8,227E-07	4,52752544



ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	10,24444444	-0,244444444
2	15,54444444	-1,544444444
3	20,84444444	0,155555556
4	26,14444444	-2,144444444
5	31,44444444	1,555555556
6	36,74444444	4,255555556
7	42,04444444	1,955555556
8	47,34444444	-0,344444444
9	52,64444444	-3,644444444

Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию. 25 📙 Контрольная → 🆔 78411