Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 6

Содержание

1.Задание 1

2.Задание 2

3.Задание 3

4.Задание 4

5.Задание 5

6.Задание 6

7.Задание 7

8.Задание 8

Список  используемой литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1. Производственные функции

1) Дайте  понятие производственной функции  и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

Ответ: Производственной функцией называется зависимость количества продукта, которое  может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов.

Производственная  функция характеризует чисто  техническую зависимость между  количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции  в единицу времени. Она описывает  множество технически эффективных  способов производства заданного объема продукции.

Изокванта (в теории производственных функций) – это геометрическое место точек в пространстве ресурсов, в которых различные сочетания производственных ресурсов дают одно и то же количество выпускаемой продукции.

Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы: х₁, х₂, …, х_n, выраженные в соответствующих им единицах. Если понята закономерность получения продукта у из ресурсов = (х₁, х₂, …, х_n), т.е. если в явном виде выражена зависимость у = f(), то такая функция f() называется производственной.

Пусть зафиксировано некоторое число  у₀. Множество в n - мерном пространстве, определяемое равенством = {: f() = y₀}, называется изоквантой функции f() уровня y₀.

Из самого определения изокванты следует, что если, то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта y₀, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других.

Взаимозаменяемость  ресурсов - это возможность использования  разных видов ресурсов для достижения народно-хозяйственного оптимума. Различают  взаимозаменяемость ресурсов техническую  и экономическую. Разработаны экономико-математические модели расчетов эффективности взаимной замены ресурсов.

2.Производственная функция для райпо имеет вид f(x₁,x₂)=10√x₁*√x₂, где f – товарооборот, млн. руб.; x₁ – производственная площадь, тыс.кв. м; x₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня y₀ =√100+β и найдите на ней точку С₁ с координатами x₁, x₂, где x₁=(β-100)/100, и точку С₂ с координатами x₁, x₂, где х₂=(β-300)/100. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (x₁, x₂) и (x₁, x₂). Полученные результаты изобразите графически.

Решение: число β=577, тогда уравнение изокванты 10√x*√x=√577,

( 100+577= 677).

Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим: х₁*х₂=6,77.

Найдем  координаты точки С₁. Так как х₁=(577-100)/100=4,77, то из уравнения изокванты находим х₂=6,77/4,77=1,42. Аналогично находим координаты точки С₂. Так как х₂=(577-300)/100=2,77 , то х₁=6,77/2,77=2,44.

Итак, 142 работника райпо, используя 4,77 тыс.кв.метров производственной площади, обеспечат товарооборот √677≈26,0 (млн.руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 277 работников райпо, используя площадь 2,44 тыс.кв. метров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2. Классификация  товаров

1. Дайте  понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми?

Если  ценовая эластичность больше единицы, то такой товар принято называть высокоэластичным; если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с единичной эластичностью.

Если  небольшие изменения в цене на товар приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Если существенное изменение в цене ведет к небольшому изменению в количестве покупок, то такой спрос - малоэластичный. Когда процентное изменение цены и последующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, то такой случай называют среднеэластичностью.

Взаимозаменяемые  товары — по определению Закона РФ "О конкуренции и ограничении  монополистической деятельности на товарных рынках" от 22 марта 1991 г. "группа товаров, которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению, качественным и техническим  характеристикам, цене и другим параметрам таким образом, что покупатель действительно  заменяет или готов заменить их друг другом в процессе потребления (в  том числе производственного)".

При повышении  цены на один из таких товаров растет спрос на другой, заменяющий его  товар.

2. Произведите  классификацию товаров по следующей  таблице эластичностей:

Решение:

Пусть β=577. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

Так как |Е₁₁| =0,33 ‹ 1, то первый товар малоэластичный;

так как |Е₂₂¦ = 0,63 ˂ 1, то второй товар малоэластичный;

так как |Е₃₃| =1,03 › 1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку Е₁₂= -0,265˂0 и Е₂₁= -0,22˂0, то первый и второй товары взаимодополняемые.

Поскольку Е₁₃= -0,065˂0 и Е₃₁= -0,054˂0, то первый и третий товары взаимодополняемые.

Поскольку Е₂₃= -0,57‹ 0 и Е₃₂= -0,63‹ 0, то второй и третий товары взаимодополняемые. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 3. Межотраслевой  баланс

1.Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

a_ij = x_ij / X_j,

где a_ij — коэффициент прямых затрат продукта i на производство единицы продукта j,

x_ij — общий объём затрат продукта i на производство продукта j,

X_j — весь объём производства продукта j. Коэффициенты прямых затрат изменяются под влиянием технического прогресса, улучшения организации производства и т. п. и тем самым отражают рост эффективности общественного производства.

Коэффициенты  прямых затрат a_ij - это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого за отчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли.

Коэффициенты  прямых затрат могут использоваться для определения планового производства валовой продукции отраслей.

2. За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

x₁= x₁₁+ x₁₂+у₁;

x₂= x₂₁+ x₂₂+у₂;

                           x₁₁= 800- β;     x₁₂= 700- β;

      x₂₁= 750- β;                                           x₂₂= 850- β;

                          у₁ =300;                                                 у₂ =220;

а) Вычислите  коэффициенты прямых затрат.

б) Вычислите  плановый объем валовой продукции  отраслей, если план выпуска конечной продукции y₁=350; y₂=250 при условии неизменности технологии производства.

Решение:

x₁₁=800-577=223

x₁₂=700-577=123

x₂₁=750-577=173

x₂₂=850-577=273

x₁=223+123+300=646

x₂=173+273+220=666

а) Вычислим коэффициенты прямых затрат:

а₁₁=х₁₁/х₁=223/646 =0,345

а₁₂=х₁₂/х₂=123/666=0,185

а₂₁=х₂₁/х₁=173/646=0,268

а₂₂=х₂₂/х₂=273/666=0,409

б) Вычислим плановый объем валовой продукции  отраслей:

(1-0,345)х₁-0,185х₂=350     

0,655х₁-0,185 х₂=350

-0,268х₁+(1-0,409)х₂=250   

-0,268х₁+0,591х₂=250

Выразим из первого уравнения x₁:

0,655х1=350+0,185х₂

х₁=350/0,655+0,185/0,655х₂

х₁=534,351+0,282х₂ –и поставим во второе уравнение

-0,268 (534,351+0,282х₂)+0,591х₂=250

-142,92-0,075х₂+0,591х₂=250

0,591х₂ – 0,075х₂=250+142,92

0,516х₂=392,92

х₂=392,92/0,516=761,47

х₁=534,351+0,282*761,47=534,351+214,734=749,085.

Таким образом, х₁=749,085– плановый объем валовой продукции первой отрасли;

х₂=761,47– плановый объем валовой продукции второй отрасли. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 4. Системы массового  обслуживания

1.Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Обслуживание  требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований - совокупность требований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Одной из важнейших  характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность  всей системы, является время обслуживания. Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может  изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом  в единицу времени.

Экономические показатели, характеризующие работу СМО:

P_k - доля времени работы k каналов, k=0,1,+,n;

L - средняя  длина очереди

P₀ - вероятность того, что система свободна

П - вероятность образования очереди

Pотк - вероятность отказа в обслуживании

g - относительная пропускная способность

А - абсолютная пропускная способность

n_зан - среднее количество занятых каналов

t_ож - среднее время нахождения в очереди.

2. В  магазине самообслуживания работают  две кассы с интенсивностью  µ=(β+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(β+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ =(700- β)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Пусть β =577. Тогда µ=8,77 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,77 (треб./мин.)

α = 9,77/8,77=1,114

р₀= (2-1,114)/(2+1,114) = 0,886/3,114 = 0,284 (р₀ = 28,4%)

L₁ = (1,114)³ /4- (1,114) = 1,382/2,886 = 0,478 (треб.)

Если  интенсивность λ станет равной (700-577)/10 = 12,3 (треб./мин.), то в силу неравенства 12,3 ˂ 2·8,77 условие стационарности СМО выполнено, и можно вычислить среднюю длину очереди:

α=12,3/8,77=1,402,

L₂=(1,402)³/4-(1,402)=2,755/2,598=1,06 (треб.),

₌=2,217.

Итак, при  интенсивности обслуживания µ=8,77 (треб./мин.) и интенсивности выхода λ =9,77 (треб./мин.), доля времени простоя касс составляет 28,4%, а средняя длина очереди равна 0,478 треб. Если же интенсивность входа станет равной 12,3 треб./мин., то средняя длина очереди увеличится в 2,217 раза. 
 

Задание 5 Модели управления запасами

1. Сформулируйте  задачу оптимального управления  запасами.

Задача: определить такой объем заказываемой партии товара, при котором затраты  на складские операции в единицу  времени будут минимальные и  темп поступления заказанного товара будет превышать норму спроса на этот товар.

2. Дайте  экономическую интерпретацию предельной  арендной платы.

Предельная  арендная плата λ экономически интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая  арендная плата α  меньше либо равна  предельной λ , т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, то аренда не выгодна.

3. Сделайте  вывод о целесообразности аренды  дополнительных складских емкостей  или о необходимости сокращения  объема заказываемой партии товара  с учетом имеющихся складских  емкостей при сравнении фактической  α (руб/кг*сут) и предельной λ (руб/кг*сут) арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

α = (700 –  β) / 4000,

λ = (β  – 400) / 4000.

Решение

α = (700 – 577) / 4000 = 0,031 (руб/кг*сут)

λ = (577– 400) / 4000 = 0,044 (руб/кг*сут)

α ˂ λ

Вывод: предельная арендная плата больше фактической арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей выгодна. 
 
 
 

Задание 6. Модели теории игр

1.Объясните смысл элементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма.

Ответ: Рассмотрим проблему уценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от цены неизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены. Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В таком случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А₁, А₂, …, А_m – стратегии снижения цены на товар на α₁%, α₂%,…, α_m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε₁, ε₂ ,…, ε_n. Если выбрать определенную стратегию А_i и знать эластичность товара ε_j, то, используя еще некоторые, обычно известные величины, можно подсчитать выручку от реализации товара а_ij. Проделав это для всех А_i и для всех ε_j, получим платежную таблицу. В таблице представлен подробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использовать следующие способы.

Подход  с позиции крайнего пессимизма

Он заключается  в том, чтобы считать, что при  выборе любой стратегии А_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

α_i = min (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив  все величины α_i (α₁, α₂,…,α_m), нужно взять наибольшую из них α:

α = max (α_i).

Та стратегия, которая соответствует числу  α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая стратегия  есть наилучший выбор из плохих ситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительная ситуация, выручка будет не меньше, чем α.

Подход  с позиции крайнего оптимизма 

Он заключается  в том, чтобы считать, что при  выборе любой стратегии А_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

β_i= max (α_i1, α_i2,…,α_im).

Вычислив  все β_i, нужно взять наибольшую из них: β = max (β_i).

Та стратегия, которая соответствует величине β, и есть искомая.

Подход  с позиции пессимизма-оптимизма 

Рассмотрим  величину H = max [(1-)+ ], где

λ –  числовой параметр, 01

Предлагается  выбирать стратегию, соответствующую  величине H.

При λ = 0 Н = max α_i= α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max β_i=β , и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще, величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим, а затем выберем наибольшее из них

Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма.

2. Выберите  стратегии с позиций крайнего  пессимизма, крайнего оптимизма  и оптимизма-пессимизма для следующей  платежной таблицы. Укажите соответствующие  выигрыши.

Решение:

Для числа  β=577 таблица приобретает вид:

Выберем по каждой строке таблицы минимальное из чисел α_i, максимальное β_i ,а затем вычислим их полусумму γ_i.

Получим:

α= max (α₁, α₂, α₃,)=(43,33,27)=43;

β= max (_β1, β₂, β₃)=max (97;53;63)=97;

γ= max (γ₁, γ₂, γ₃)=max (70,43,45)=70.

Так как  α =43 и это число находится в строке, соответствующей А₂, то А₂ – стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 43 единицам. Так как β =97 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 97 единицам.

Так как  γ =70 и это число находится в строке, соответствующей А₁, то А₁ стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 70 единицам. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 7. Эконометрические модели. Выборочный метод

1. Дайте  понятия генеральной и выборочной  совокупностей. 

Совокупность  генеральная - множество результатов  всех возможных наблюдений, которые  могли бы быть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупность генеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производится выборка.