Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 4

 ЗАДАЧА 1. 7.

Завод – производитель высокоточных элементов  для автомобилей выпускает два  различных типа деталей  . Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.- час в неделю. Для производства одной детали типа требуется 1 чел.- час, для производства одной детали типа требуется 2 чел.- час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа и 1750 деталей типа в неделю. Каждая деталь типа требуется 2 килограмма металлических стержней и 5 килограммов листового металла. Для производства одной детали типа требуется 5 килограммов металлических стержней и 2 килограмма листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 килограммов в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует  производить, чтобы максимизировать  общий доход за неделю, если доход  от производства одной детали типа составляет 30 денежных единиц, а от производства одной детали типа – 40 денежных единиц?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимый комментарий к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ.

По  условию задачи обозначим.

 количество деталей типа , количество деталей типа .

Ограничения по фонду рабочего времени: .

Ограничения по производственным мощностям: .

Ограничение по материалу (железу): .

Ограничение по постоянному заказчику: .

Ограничение по профсоюзному соглашению: .

Ограничения по экономическому смыслу для переменных : .

Все ограничения сведём в одну систему:

.

Целевая функция будет иметь вид:

.

Требуется найти максимум целевой функции.

Таким образом, система ограничений (1) и  целевая функция (2) представляют собой  запись экономико-математической модели исходной задачи.

Решим задачу графическим способом.

Имеем систему ограничений:

.

Строим  линии.

Для прямой линии  , имеем:

 

Таблица 2.

	0	4000
	2000	0

Строим  линию.

Строим  линию .

Строим  линию .

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 3.

	0	5000
	2000	0

Строим  линию.

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 4.

	0	2000
	5000	0

Строим  линию.

Строим  линию .

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 4.

	0	1500
	1500	0

Строим  линию.

 

Отмечаем  полуплоскости  .

Строим  линию уровня:

Пусть константа равна, например, нулю. Тогда:

.

Таблица 5.

	0	-4000
	0	3000

 

Строим  нормальный вектор к линии уровня .

Отмечаем  полуплоскости допустимых значений и находим область решений  системы ограничений (смотрите рисунок 1). Область решений системы ограничений исходной задачи есть многоугольник . Перемещаем линию уровня по направлению нормального вектора и находим, что минимум целевой функции находится в точке с координатами , то есть, . Максимум целевой функции находится в точке .

Найдём  координаты точки  . Для этого решаем систему уравнений:

.

Решаем  систему и находим координаты точки  :

Значения  подставим в целевую функцию .

 денежных единиц.

Для нахождения минимума целевой функции  значения подставим в целевую функцию .

 денежных единиц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2. 7.

Предприятие выпускает четыре вида продукции  и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Тип оборудования	Нормы расхода ресурса на единицу одного изделия				Фонд рабочего времени, час
	А	Б	В	Г
Токарное	2	1	1	3	300
Фрезерное	1	0	2	1	70
Шлифовальное	1	2	1	0	340
Цена изделия	8	3	2	1

 

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки  от реализации готовой продукции,  получить оптимальный план выпуска  продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу  и найти её оптимальный план  с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

- определить как изменится выручка  от реализации продукции и  план её выпуска, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

- оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единиц соответственно.

РЕШЕНИЕ.

1. Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получим оптимальный план выпуска продукции.

Обозначим по условию задачи:

количество изделий вида А; количество изделий вида Б; количество изделий вида В, количество изделий вида Г.

Тогда система ограничений прямой оптимизационной  задачи на максимум прибыли, имеет вид:

.

По  экономическому смыслу, очевидно, что .

Целевая функция имеет вид:

.

Таким образом, сформулировали прямую оптимизационную  задачу.

Решим задачу симплекс-методом.

От  системы неравенств исходной задачи перейдём к системе уравнений. Для  этого введём дополнительные переменные (по числу неравенств).

Тогда, получим:

.

Требуется найти максимум целевой функции:

.

Составим  симплекс-таблицу и решим задачу.

Таблица 2.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	300	2	1	1	3	1	0	0	300/2=150
	70	1	0	2	1	0	1	0	70/1=70
	340	1	2	1	0	0	0	1	340/1=340
Индексная строка	0	-8	-3	-2	-1	0	0	0

 

Выбираем  исходное опорное решение. Базисные переменные: 5 6 7  свободные переменные: 1 2 3 4.

Выбираем наименьший элемент в индексной строке (-8). Ведущим будет первый столбец. Столбец свободных членов делим на коэффициенты первого столбца, результаты деления заносим в оценочный столбец . Выбираем наименьшее значение в столбце (среди неотрицательных значений) – (70). Ведущей будет вторая строка. Вводим в базис, выводим . Вторую строку умножаем на 2 и вычитаем из первой строки. Вторую строку умножаем на 1 и вычитаем из третьей строки. Вторую строку умножаем на 8 и складываем с четвёртой строкой. Получаем таблицу 3.

Таблица 3.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	160	0	1	-3	1	1	-2	0	160/1=160
	70	1	0	2	1	0	1	0	70/0=
	270	0	2	-1	-1	0	-1	1	270/2=135
Индексная строка	560	0	-3	14	7	0	8	0

 

Выбираем  исходное опорное решение. Базисные переменные: 5 1 7  свободные переменные: 2 3 4 6.

Выбираем наименьший элемент в  индексной строке (-3). Ведущим будет второй столбец. Столбец свободных членов делим на коэффициенты второго столбца, результаты деления заносим в оценочный столбец . Выбираем наименьшее значение в столбце (среди неотрицательных значений) – (135). Ведущей будет третья строка. Вводим в базис, выводим . Делим третью строку на 2. Имеем:

Таблица 4.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	160	0	1	-3	1	1	-2	0
	70	1	0	2	1	0	1	0
	135	0	1	-1/2	-1/2	0	-1/2	1/2
Индексная строка	560	0	-3	14	7	0	8	0

 

  Третью строку умножаем на 1 и  вычитаем из первой строки. Третью строку  умножаем на 3 и складываем с четвёртой строкой. Получаем таблицу 5.

Таблица 5.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	25	0	0	-5/2	3/2	1	-3/2	-1/2
	70	1	0	2	1	0	1	0
	135	0	1	-1/2	-1/2	0	-1/2	1/2
Индексная строка	965	0	0	25/2	11/2	0	13/2	3/2

 

Таким образом, решение получено, так  как условие оптимальности плана  выполнено: все коэффициенты в индексной  строке не меньше нуля. Следовательно, максимум целевой функции  равен: 965 единиц.

Оптимальной производственной программой является:

, необходимо выпустить 70 изделий  вида А,

, необходимо выпустить 135 изделий вида Б,

, изделия вида В выпускать  не выгодно,

, изделия вида Г выпускать  не выгодно.

   При этом будет получен максимум  общей стоимости (максимум целевой  функции), выпускаемой продукции  при заданных ограничениях на  ресурсы:

 денежных единиц.

2. Сформулируем двойственную задачу и найдём её оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы исходя из следующих объективных условий:

1) покупающая организация старается  минимизировать общую стоимость ресурсов;

  2) за каждый вид ресурсов надо  уплатить не менее той суммы,  которую предприятие может выручить  при использовании  ресурсов  для производства  готовой продукции.  Согласно первому условию, общая  стоимость ресурсов, выразится величиной . Согласно второму требованию вводятся ограничения.

Запишем матрицу исходной задачи:

.

Транспонируем исходную матрицу:

.

Запишем систему ограничений двойственной задачи:

.

Целевая функция будет иметь вид:

.

По  экономическому смыслу очевидно, что .

Таким образом, записали условия двойственной задачи.

Значения  , , , подставим в систему ограничения прямой задачи, получим:

.

.

Следовательно, из второй теоремы двойственности вытекает, что  , так как, первое выражение выполняется как строгое неравенство.

Так как, , то первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как равенства.

Тогда имеем систему уравнений для  определения  :

и так как ,  получим:

.

    Решаем систему, находим денежные единицы; денежные единицы. Найденные значения подставляем в целевую функцию двойственной задачи:

, получаем:

 денежных единиц.

Следовательно, оптимальный план двойственной задачи есть:

Приобретать ресурсы фрезерного оборудования по цене условных денежных единиц и ресурсы шлифовального оборудования по цене условных денежных единиц. Ресурсы токарного оборудования приобретать не выгодно, так как условных денежных единиц.

3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. По условию задачи при её решении на максимум общей стоимости выпускаемой продукции получены следующие результаты , , , . Подставим эти значения в исходную систему ограничений, получим:

Следовательно, ресурсы фрезерного оборудования используются полностью, ресурсы шлифовального оборудования используются полностью. Ресурсы токарного оборудования используются не полностью, в остатке 300 – 275 = 25 часов.

4. Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план её выпуска если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;.

Можно показать, что эти изменения находятся  в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться  теоремой об оценках:

 условных денежных единиц.

Следовательно, величина  общей стоимости выпускаемой продукции увеличится на 36 условных денежных единиц и составит условных денежных единиц.

При этом план выпуска продукции, предполагая, что изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, найдём из условия:

  .

Так как, второе и третье неравенства исходной системы  выполняются как точные равенства и учли, что .

Решаем систему и находим: , .

Тогда, план выпуска продукции будет  таким:

Оптимальной производственной программой является:

, необходимо выпустить 70 изделий  вида А,

, необходимо выпустить 135 изделий  вида Б,

, изделия вида В выпускать  не выгодно,

, изделия вида Г выпускать  не выгодно.

Оценим  целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы  затрат оборудования 8, 2 и 2 единиц соответственно.

Если  , то изделие вида Д невыгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление не покрываются получаемой прибылью.           

Если , то изделие вида Д выгодно для включения в план.

В нашем случае имеем:

,

следовательно, изделие Д не выгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление больше получаемой прибыли.

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА  3. 7.

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трёх видов, при этом каждое из трёх предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске первого вида продукции, второе предприятие специализируется на выпуске второго вида продукции, третье предприятие специализируется на выпуске третьего вида продукции. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идёт на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки элементов технологической матрицы ,(норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции .

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат);

2. Построить баланс (заполнить  таблицу) производства и распределения  продукции предприятий холдинга.

Таблица 1. Исходные данные.

Вариант
3.7	0,1	0,2	0,4	0,0	0,4	0,1	0,1	0,3	0,4	100	200	100

 

РЕШЕНИЕ.

Оценим  продуктивность матрицы :

.

Для того чтобы матрица  была продуктивной необходимо и достаточно выполнения следующего условия: матрица неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица и все её элементы неотрицательны. Проверим.

.

То  есть,

.

Найдём  матрицу  , обратную матрице .

Таким образом, имеем:

.

    

Следовательно, показали, что матрица  неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица и все её элементы неотрицательны. Таким образом, показали продуктивность матрицы .

Построим баланс производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Имеются экономические оценки коэффициентов  прямых затрат и объёмов конечной продукции.

, .

  Требуется составить баланс производства  и распределения продукции предприятий холдинга.

Модель  баланса производства и распределения продукции предприятий можно представить следующей системой уравнений:

.

Откуда получим  систему:

 

Решаем  систему и определяем валовую  продукцию отраслей:

, , .

Распределение продукции между отраслями на внутреннее потребление определяем из соотношения:

.

,  , ,

,  , ,

,  , .

В итоге плановая модель – баланс производства и  распределения продукции отраслей – будет иметь следующий вид:

Таблица 8.2.

Межотраслевой баланс производства и  распределения продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1				100
2				200
3				100
Итого:				400