Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 7

Федеральное государственное  бюджетное учреждение высшего профессионального  образования

«Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации»

 

Кафедра экономико-математических методов и моделей

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

                                                             Студентка: Руденко Екатерина Романовна

                                       Курс 3 № группы ФБ-ЭФ 303

                                       Личное дело № 10ФФД20285

                                      Преподаватель: Орлова И.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

Теоретический вопрос

 

Двойственные   оценки   как   мера   дефицитности   продукции  и ресурсов ,  как   мера  влияния ограничений на критерий оптимальности, как мера эффективности технологического способа, как средство балансировки затрат и результатов. Сходство и различия интерпретации оценок при различных критериях оптимальности. Влияние изменений критериальных коэффициентов (удельной прибыльности, себестоимости и т.д.) на величину оценок, эффективность и уровень выпуска продукции. Вариация исходных условий модели. Определение узких мест производства, расчет эффективности выпуска новых видов продукции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 5

Задача 1

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

 

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.                                                                                                          

Исходный продукт

Расход исходных продуктов на тонну краски, т

Максимально возможный  запас, т

Краска Е

Краска I

А

В

1

2

2

1

6

8


Изучение рынка  сбыта показало, что суточный спрос  на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и  почему?

 

РЕШЕНИЕ:

  1. Сформулируем ЭММ задачи на максимизацию выручки

Введем переменные:

Х1 – суточная реализация краски Е (тонн);

Х2 - суточная реализация краски I (тонн);

Составим  целевую функцию:

- суточная выручка от  реализации красок обоих видов;

 

 

 

 

Составим  ограничения:

  • Функциональные ограничения:

Ограничение по расходу продуктов А и В:

- расход продута А на производство  красок I и Е;

6 – запас продукта  А.

- расход продута В на производство  красок I и Е;

8 – запас  продукта В.

По условию  сказано, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение:

Установлено, что  спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Следовательно,

  • Прямые ограничения:


 

  1. Построим область решений системы ограничений

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит искомая прямая:

Х1

0

6

Х2

3

0


- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость  содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит искомая прямая:

Х1

0

4

Х2

8

0


- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство  координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость  содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит прямая:

Х1

0

-1

Х2

1

0


- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим координаты  точки О (0; 0)

(верно), следовательно искомая полуплоскость содержит данную точку О.

-  решением  является прямая, параллельная оси Х1

- решением является полуплоскость,  содержащая точку О (0; 0)

- решение – прямая, совпадающая  с осью оХ2

- решение – правая полуплоскость.

- решение – прямая, совпадающая  с осью оХ1

 - решение – верхняя полуплоскость.

Решением системы  неравенств является выпуклый многоугольник  ОАВСDЕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Найдем оптимальное решение.

Оптимальное решение  может быть только в угловых точках многоугольника т. О, т. A, т. B, т. C, т. D или т.Е.

Построим хотя бы одну из линий уровня. Линия уровня – это линия на которой принимает постоянное значение.

.   

Пусть а = 0, тогда - линия уровня

Х1

0

2

Х2

0

-3


 

Построим вектор – градиент . Т.к. вектор перпендикулярен линии уровня, то координаты его будут (3; 2). Начало вектора в точке О (0; 0).

Поскольку задача стоит на максимизацию выручки, перемещаем линию  уровня по направлению вектора . Максимума достигает в угловой точке D.

Найдем координаты точки D. Она лежит на пересечении прямых -   и .

          

 

Ответ: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е е в количестве 3,333 т.

При решении  задачи на минимум необходимо линию  уровня двигать в направлении  противоположном вектору .  В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0; 0)

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Вид ресурсов

 

Нормы расхода  ресурсов на ед. продукции

 

Запасы

ресурсов

I

вид

II

вид

III

вид

 

Труд

Сырье

Оборудование

 

1

1

1

 

4

1

1

 

3

2

2

 

200

80

140

Цена изделия

40

60

80

  

 

Требуется:

      1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции
      2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
      3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
      4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
    • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

 

 

РЕШЕНИЕ:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем переменные:

Х1 – количество единиц изделий I вида;

Х2 – количество единиц изделий II вида;

Х3 – количество единиц изделий III вида;

Составим  целевую функцию:

- общая стоимость всех изделий;

Составим  ограничения:


- расход ресурса труд на  производство изделий всех видов;

200 – запас ресурса  труд.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

80 – запас  сырья.

 расход рабочего времени  оборудования на производство  изделий всех видов;

140 – запас  рабочего времени оборудования.

Для нахождения оптимального плана используем надстройку Excel Поиск решения. Процесс решения представлен в протоколе решения (Приложение 1).

Ответ: при Х1 = 40; Х2 = 40, Х3 = 0.

Экономический смысл: максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4000 ден. ед. можно получить, если изготавливать изделия I вида в количестве 40 шт., изделия II вида в количестве 40 шт., а изделия III вида не производить совсем.

 

 

 

 

 

  1. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
  2. Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений, столбца свободных членов и дополнительной строки из коэффициентов при переменных функции цели.

  1. Транспонируем эту матрицу:

  1. По полученной матрице, используя свойство двойственных ЗЛП, составим двойственную задачу.

Переменные:

у1 – цена единицы ресурса труд;

у2 – цена единицы сырья;

у3 – цена единицы ресурса оборудование;

Функция цели:

- общая стоимость запасов  всех видов ресурсов

Ограничения:


- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие I вида;   40 – цена изделия I вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых  для изготовления одного изделие  II вида;     60 – цена изделия II вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие III вида;     80 – цена изделия III вида.

 

  1. Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя условия второй теоремы двойственности. Эти условия применяются для нахождения оптимального решения одной из задач, если известно оптимальное решение другой.

          

                                

                                               

                                                               

                            

                                         

                                                                                     

                               

                              

                                                                    

Получаем систему  уравнений:


Решая ее относительно неизвестных  параметров, получаем: у1 = 6,67, у2 = 33,33, у3 = 0.

План выпуска  продукции  и набор цен на ресурсы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.

 

  1. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Нулевое значение переменной Х3 в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление  продукции третьего вида.

80 – цена  едини продукции его вида.

86,67 > 80, затраты  на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

 

  1. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:
  • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- расход ресурса труд на  производство изделий всех видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 – запас  ресурса труд.

200 = 200, следовательно  ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 – запас  сырья.

80 = 80, значит  ресурс сырье расходуется полностью,  является дефицитным.

 расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 – запас  рабочего времени оборудования.

80 < 140, следовательно  ресурс оборудование расходуется  не полностью, он находится  в избытке, не является дефицитным, его ценность равна нулю.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y2=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y1=6,67).

Ограниченные  запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3 = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.

 

  • определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- изменение запаса ресурса вида i;

- изменение общей стоимости продукции.

Применим формулу из третьей теоремы двойственности:

(ден. ед.)

Значит стоимость  продукции увеличиться на 600 ден. единиц и станет равной 4 600 (4000 + 600 = 4600)

Модель задачи при измененных запасах ресурсов будет иметь вид:

Х'1 – количество единиц изделий I вида;

Х'2 – количество единиц изделий II вида;

Х'3 – количество единиц изделий III вида;


   

Применяем формулы  из второй теоремы двойственности

          

                   

              

                                   

                 

                  

                                                

                 

           

                                                

Получаем систему уравнений:


Решая систему, получаем новый оптимальный план выпуска продукции  .

Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.

(ед.), т.е. выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы.

(ед.), т.е. выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц.

- выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.

 

  • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов

Применяем формулу  из третьей теоремы двойственности:

- цена изделия вида j.

- объективно обусловленные затраты  на сырье при выпуске изделия  j.

С4 = 70;   а14 = 2;   а24 = 2;   а34 = 2.

Поскольку , следовательно, продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие четвертого вида реализовывалось по цене равной или большей 80 ед., то его производство было бы выгодным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

Задача 4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y(t)

5

7

10

12

15

18

20

23

26


 

Требуется:

1) построить график временного ряда, сделать вывод о наличии тренда;

2) построить линейную модель Y(t)=aо+а1t , параметры которой оценить с помощью  метода наименьших квадратов (МНК);

3) оценить адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t);

4) оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности P = 75%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

7) Используя пакеты Excel, VSTAT, подобрать для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполнить прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода вперед. В отчете по данному заданию представить соответствующие листинги с комментариями.

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ:

  1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Используем  метод Ирвина


 

t

Y(t)

λ

1

5

102,235

    

2

7

65,790

2

0,277

3

10

26,123

3

0,416

4

12

9,679

2

0,277

5

15

0,012

3

0,416

6

18

8,346

3

0,416

7

20

23,901

2

0,277

8

23

62,235

3

0,416

9

26

118,568

3

0,416

45

136

416,889

    

         

         

          

  

Для 9 наблюдений на уровне значимости α = 0,05 табличное  значение критерия λтабл составит 1,46.

Сравниваем  λтабл. с расчетными значениями λ.

λt < λтабл. (α = 0,05), т.е. с вероятностью допустить ошибку 5% можно утверждать, что аномальных наблюдений нет.

 

2) Построим  линейную модель  

Система нормальных уравнений имеет вид:

     


t

Y(t)

t2

t ∙ y(t)

1

5

1

5

2

7

4

14

3

10

9

30

4

12

16

48

5

15

25

75

6

18

36

108

7

20

49

140

8

23

64

184

9

26

81

234

45

136

285

838


- линейная трендовая модель

 

4) Оценить адекватность построенной моделей

  1. Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.

При сравнении dрасч могут возникнуть 4 ситуации:

  1. 0 < dрасч < d1 – свойство не выполняется, остатки зависимы;
  2. d1 < dрасч < d2 – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
  3. d2 < dрасч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
  4. 2 < dрасч < 4 – находим d’ = 4-dрасч.

Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию. 7 📙 Контрольная → 🆔 78400

Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию. 7 📙 Контрольная → 🆔 78400

Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 7