Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 12

Задача №1

 

    Имеется два  вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамина) , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум  питательных веществ	Число единиц питательных  веществ в 1кг корме
		I	II
	9	3	1
	8	1	2
	12	1	6

  

    Стоимость  1кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

    Необходимо  составить дневной рацион, имеющий  минимальную стоимость, в котором  содержание питательных веществ  каждого вида было не менее  установленного предела.

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение:

 

    1. Обозначим через:

         – масса используемого корма вида I, кг.;

         – масса используемого корма вида II, кг.

и запишем экономико-математическую модель задачи по критерию: «минимум затрат на дневной рацион».

         f(x) = 4 + 6 (min)

        

    2. Решим ЗЛП графически.

    I.   3 + ≥ 9

          3 + = 9

	0	3
	9	0

   

    Контрольная точка (4;0): 3∙4 + 1∙0 = 12 > 9

    II.    + 2 ≥ 8

            + 2 = 8

	0	8
	4	0

   

    Контрольная точка (9;0): 1∙9 + 2∙0 = 9 > 8

    III.    + 6 ≥ 12

            + 6 = 12

	0	12
	2	0

   

    Контрольная  точка (13;0): 1∙13 + 6∙0 = 13 > 12

 

    Строим линию  уровня:

         4 + 6 = a, пусть а = 12.

         4 + 6 = 12

	0	3
	2	0

   

    Отложим вектор-градиент Ñ(4, 6) в направлении которого функция цели возрастает.

Рис. 1.1 Решение ЗЛП  графически

Функция цели достигает минимума в точке B.

    Определим ее координаты. 

        

         ,  т. В(2;3)

         = f(2;3) = 4∙2 + 6∙3 = 26

    Таким образом,  минимальная стоимость дневного рациона составит 26 ден. ед. При этом требуется 2кг корма вида I и 3кг корма вида II.

    При решении  задачи на максимум функция  цели не ограничена и поэтому затраты на дневной рацион будут расти по мере увеличения массы используемых кормов.

    Приведем решение  ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 1.2 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 1.3 Диалоговое окно Поиск  решения и оптимальное

решение задачи на минимум.

 

Задача №2

 

    На основании  информации, приведенной в таблице,  решается задача оптимального  использования ресурсов на максимум  выручки от реализации готовой  продукции.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на ед. продукции			Запасы сырья
	I	II	III
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

 

    Требуется:

    1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации  готовой продукции, получить оптимальный план выпуска.

    2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

    3. Пояснить  нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

    4. На основе  свойств двойственных оценок  и теорем двойственности:

         а) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

         б) определить, как изменятся выручка о реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II – уменьшить на 5 единиц;

         в) определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

 

 

 

Решение:

 

    1. Обозначим через  объем выпуска продукции j-го вида и запишем экономико-математическую модель задачи по критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции».

         f(x) = 3 + 2 + 5 (max)

        

    Решим задачу симплекс  методом.

    Приведем ЗЛП к каноническому  виду.

         f(x) = 3 + 2 + 5 (max)

        

    Дальнейшее  решение приводим в симплекс-таблицах (табл. 2.1).

                                                                                                   Таблица 2.1

№	Базис		План	3	2	5	0	0	0	Q
0		0	430	1	2	1	1	0	0	430
		0	460	3	0	2	0	1	0	230min
		0	420	1	4	0	0	0	1	–
	–	–	0	-3	-2	-5	0	0	0

 

 

                                                                                                   Таблица 2.1

1		0	200	-	2	0	1	-	0	100min
		5	230		0	1	0		0	–
		0	420	1	4	0	0	0	1	105
	–	–	1150		-2	0	0		0	–
2		2	100	-	1	0		-	0
		5	230		0	1	0		0
		0	220	2	0	0	-2	1	1
	–	–	1350	4	0	0	1	2	0	–

 

    Поскольку  все  ≥ 0 ( ), то полученный является оптимальным.

         = 1350 при Х = ( = 0; = 100; = 230).

    Приведем решение прямой ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 2.1 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 2.2   Диалоговое окно Поиск решения и

оптимальное решение задачи.

 

    2. Сформулируем  двойственную задачу.

    Запишем расширенную  матрицу прямой ЗЛП.

        

    Транспонируем эту матрицу.

        

    Двойственная задача  имеет вид:

         z(y) = 430 + 460 + 420 (min)

        

    Для нахождения оценок  , , используем вторую теорему двойственности.

    Проверим, как  удовлетворяется система функциональных  ограничений  оптимальным планом: Х = ( = 0; = 100; = 230).

            (*)

    Т.к. третье ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то

= 0, а т.к.  > 0 и > 0, то имеем систему уравнений:

        

        

         (1;2;0) = 430∙1 + 460∙2 + 420∙0 = 1350

    = = 1350, т.е. согласно первой теореме двойственности действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

    Приведем решение  двойственной ЗЛП с помощью MS  Excel в среде Widows.

Рис 2.3 Рабочий лист Excel с приведенными данными.

Рис 2.4  Диалоговое окно Поиск решения

и оптимальное решение задачи.

 

    3. Нулевое значение говорит о том, что выпускать продукцию вида I в данных производственных условиях невыгодно.

 

    4. а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

    При увеличении запасов сырья вида I на 1 ед. выручка увеличится на

1 у.е. ( = 1), а увеличение запасов сырья вида III не повлияет на оптимальный план и объем выручки.

    Недефицитным ресурсом является сырье вида III ( = 0). Острее ощущается дефицитность сырья вида II ( = 2) – оно более дефицитно, чем сырье вида I ( = 1).

    Относительная заменяемость ресурсов 1:2.

    б) Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

        

    Отсюда план  выпуска продукции в новых  производственных условиях:

Х = ( = 0; = 103,75; = 227,5).

    Выручка составит:

         f(0; 103,75; 227,5) = 3∙0 + 2∙103,75 + 5∙227,5 = 1345 у.е., т.е. уменьшится на 5 у.е.

    в) Определим целесообразность включения в план изделия четвертого вида.

         1∙2 + 2∙4 + 0∙3 – 7 = 3 > 0 – невыгодно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №3

 

    Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (i = 1, 2, 3; j = 1, 2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Предприятия	Коэффициенты прямых затрат,			Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,0	0,4	0,1	160
2	0,4	0,1	0,0	180
3	0,3	0,0	0,1	150

 

Требуется:

    1. Проверить  продуктивность технологической матрицы А = ( ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

    2. Построить  баланс (заполнить таблицу) производства  и распределения продукции предприятий  холдинга.

 

Решение:

 

    1. Матрица А  продуктивна, т.к. она имеет  неотрицательные элементы и при любом j сумма элементов столбца .

    2. Определим матрицу коэффициентов полных затрат.

        

         (Е – А) = –  =

         = 0,639

        

         = 0,81

         = 0,36

         = 0,09

         = 0,36

         = 0,87

         = 0,04

         = 0,27

         = 0,12

         = 0,74

         =    

    Определим  матрицу валового выпуска.

         Х = ∙Y =  ∙ =

    Определим  межотраслевые поставки.

         = ∙ (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).

         0,0∙325,4 = 0

         0,4∙344,6 = 137,84

         0,1∙275,1 = 27,51

         0,4∙325,4 = 130,16

         0,1∙344,6 = 34,46

         0,0∙275,1 = 0

         0,3∙325,4 = 97,62

         0,1∙344,6 = 0

         0,1∙275,1 = 27,51

        

         325,4 – (0 + 130,16 + 97,62) = 97,62

         344,6 – (137,84 + 34,46 + 0) = 172,30

         275,1 – (27,51 + 0 + 27,51) = 220,08

 

 

                                                                                                   Таблица 3.1

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечная продукция	Валовая продукция
	I	II	III
I	0,00	137,84	27,51	160	325,4
II	130,16	34,46	0,00	180	344,6
III	97,62	0,00	27,51	150	275,1
Условно-чистая продукция	97,62	172,30	220,08	490	–
Валовая продукция	325,4	344,6	275,1	–	945,1

 

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 3.1 Рабочий лист Excel.

 

Рис. 3.2 Межотраслевой баланс производства и

распределения продукции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №4

 

    В течение  девяти последовательных недель  фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой  компании. Временной ряд Y(t)  этого показателя приведен ниже:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

Требуется:

    1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

    2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК.

    3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

    4. Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

    5. Оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

    6. По двум  построенным моделям осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р =70%).

    7. Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования  представить графически.

    Основные промежуточные  результаты вычислений представить  в таблицах.

 

Решение:

    1. Проверим наличие аномальных наблюдений, используя критерий Ирвина.

         ,

    где 

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 4.1 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.2 Оценка адекватности и точности трендовой модели.

         = 1,5 при n = 9

    Т.к. все  < , то аномальных наблюдений нет.

    2. Построим линейную модель.

         , где

        

    Согласно рис. 4.2 имеем:

       

    Отсюда уравнение  имеет вид:

        

 

    3. Построим  адаптивную модель Брауна.

    Определим  начальные параметры  и по первым пяти значениям.

    Рис. 4.3 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

    Рис. 4.4 Результаты оценки начальных параметров адаптивной модели Брауна.

    Согласно рис. 4.4 имеем:

       

        

        

         а) при α = 0,4.

    Проведем расчет  с применением пакета прикладных  программ обработки электронных  таблиц MS  Excel в среде Widows.

Рис. 4.5 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.6 Оценка адекватности и точности адаптивной модели Брауна

при α = 0,4.

         б) при α = 0,7.

Рис. 4.7 Рабочий лист Excel с введенными формулами.

Рис. 4.8 Оценка адекватности и точности адаптивной модели Брауна

при α = 0,7.

    В качестве  лучшего параметра сглаживания  выберем  α = 0,4, т.к. при этом  параметре модель имеет наименьшее  значение остаточной дисперсии.

 

    4. Оценим адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону.

         а) линейная модель.

         р = 6

         q =

         q =         

    Так как p > q, то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

         d =

         d = 3,23

         = 4 – d = 4 – 3,23 = 0,77    

         = 1,08                         = 1,36

   Так как 0,77 < 1,08, то свойство независимости уровней ряда остатков не выполняется.

         R/S =

        

         0,92

         R/S = 2,31

         = 2,7               = 3,7

    Так как  2,31 < 2,7, то уровни ряда остатков распределены по закону отличному от нормального.

    Таким образом,  модель не адекватна.

         б) адаптивная модель Брауна  при α = 0,4.

         р = 6

    Так как p > q, то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.

         d = 3,28

         = 4 – d = 4 – 3,28 = 0,72   

         = 1,08                         = 1,36

    Так как  0,72 < 1,08, то свойство независимости уровней ряда остатков не выполняется.

         1,41

         R/S = 2,72

         = 2,7               = 3,7

    Так как  2,7 < 2,72 < 3,7, то уровни ряда остатков распределены по нормальному закону.

    Таким образом,  модель не адекватна.

 

    5. Оценим точность  модели с помощью средней относительной  ошибки аппроксимации.

        

         а) линейная модель.

         3,67%

    Точность модели  хорошая.

         б) адаптивная модель Брауна  при α = 0,4.

         5,15%

    Точность модели  удовлетворительная.

 

    5. Построим прогноз на 2 недели вперед.

         а) линейная модель.

    Согласно рис. 4.2 имеем:

         – точечный прогноз.

         = 43,72 млн. руб.

         47,69 млн. руб.

         – интервальный прогноз.

        

        

         t(0,3; 7) = 1,12

        

         0,99

         1,37 млн. руб.

         1,45 млн. руб.

         млн. руб.

         млн. руб.

         б) адаптивная модель Брауна при α = 0,4.

         = 43,79 млн. руб.

         47,77 млн. руб.

         – интервальный прогноз.

         1,51

         2,08 млн. руб.

         2,20 млн. руб.

         млн. руб.

         млн. руб.

    7. Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.  

         а) линейная модель.

         б) адаптивная модель Брауна при α = 0,4.