Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию". 10

Ситуационная задача № 1.

Для изготовления продукции  двух видов А и Б предприятие  расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу  выпускаемой продукции, запасах  расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт Б
Сырье (кг)	2	1	233
Оборудование (ст. час)	1	2	85
Трудоресурсы (чел. час)	6	1	400
Цена реализации (руб.)	103	96

 

Задача предприятия  заключается в том, чтобы разработать  программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки  от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Построить математическую  модель оптимизации выпуска продукции в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический  метод решения задачи линейного  программирования, найти оптимальную  программу выпуска продукции  и максимум ожидаемой выручки.

3. Составив задачу, двойственную  к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения.

Решение.

Для построения экономико-математической модели заданной производственной ситуации обозначим через x₁ – искомую программу выпуска продукции А, а через x₂ – искомую программу выпуска продукции Б. Тогда производственная программа полностью будет представлена вектором .

Эта программа должна выбираться с учетом объемов имеющихся  ресурсов в рассматриваемом периоде.

Суммарный расход сырья  на производственную программу естественно  рассчитывать по формуле  , и этот расход не должен превысить 233 кг сырья. Отсюда получаем ограничение на расход сырья:

.

Общая загрузка оборудования на производственную программу рассчитывается по формуле , и эта нагрузка не должна превысить 85 ст. час работы оборудования. Отсюда получаем ограничение на работу оборудования:

Суммарные затраты труда на производственную программу рассчитываются по формуле , и эти затраты не должны превысить 400 чел. час. Отсюда получаем ограничение на затраты труда:

Кроме того, для искомых  переменных х₁, х₂ должны выполняться граничные условия (или требования неотрицательности), а именно:

,

Показателем качества выбранной  производственной программы является ожидаемая общая выручка после  реализации всех выпущенных изделий. Эту выручку естественно рассчитывать по формуле .

Искомая программа должна максимизировать сумму Z, которая также называется целевой функцией или критерием оптимизационной модели. Символически требование максимизации отражается записью:

Представим составленную модель в следующей компактной записи:

Найти ,

Данная модель, представленная такой записью ограничений, граничных условий и целевой функции, относится к типу задач линейного программирования. Термин «линейное» объясняется тем, что для подсчета расходов всех ресурсов на программу выпуска и расчета ожидаемой выручки после реализации всей выпущенной по этой программе продукции используются только линейные функции многих переменных.

В общем случае задача линейного  программирования представляется следующей  стандартной записью:

Найти

Известно, что любую  задачу линейного программирования (задачу ЛП) можно эквивалентными преобразованиями привести к стандартной записи.

В случае, когда количество искомых  переменных задачи ЛП не превышает 2-х, как у нашей задачи, то эту задачу можно решить графическим способом, который состоит из следующих двух этапов:

1. Изображение области допустимых  решений предложенной задачи  ЛП в декартовой системе координат.

2. Визуальное нахождение оптимального решения на построенной области допустимых решений и его аналитическое уточнение.

Под допустимым решением задачи ЛП понимается такой числовой набор значений искомых  переменных, который при подстановке  во все ограничения и граничные  условия задачи обращают их в истинные числовые неравенства и равенства. Под областью допустимых решений (ОДР) задачи ЛП понимается геометрическое место точек, координаты которых являются допустимыми решениями.

Прежде всего, укажем в декартовой системе координат  на рис. 1 область допустимых решений для одного первого ограничения задачи. Для этого проведем в системе координат прямую, соответствующую первому ограничению. Уравнение этой прямой будет получено, если первое ограничение будет записано, как равенство . Задавая произвольно значение одной из координат точки, лежащей на этой прямой, можно через полученное уравнение вычислить значение другой координаты этой же точки. Если данная прямая имеет точки пересечения с обеими осями, то лучше присваивать нулевое значение сначала первой переменной, затем второй переменной, находя соответствующее значение другой переменной.

Для первого ограничения: если х₁ = 0, то х₂ = 233. Если х₂ = 0, то х₁ = 116,5

Для второго ограничения: если х₁ = 0, то х₂ = 42,5. Если х₂ = 0, то х₁ = 85.

Для третьего ограничения: если х₁ = 0, то х₂ = 400. Если х₂ = 0, то х₁ = 66,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Графическое решение задачи ЛП.

Как видно из рис. 1,  оптимальное  решение задачи ЛП представляет собой  точку, координаты которой найдем из системы линейных уравнений:

При этом значение целевой  функции составит:

 руб.

Как правило наряду с  проблемой расчета оптимальной  производственной программы при  заданных на планируемый период ограниченных ресурсах рассматривается проблема оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам.

Пусть u₁ – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья.

u₂ – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час оборудования.

u₃ – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час труда.

Доказано, что предельные эффективности u₁, u₂, u₃ могут быть вычислены как решение следующей задачи линейного программирования, называемой двойственной задачей. Она составляется на основе тех же исходных данных, как и наша задача, называемая прямой задачей.

Найти

Решение будем искать с помощью условий «дополняющей нежесткости»:

Таким образом, оборудование не лимитирует оптимальную программу, а значит .

Решение задачи найдем из системы  уравнений:

Оптимальное решение  двойственной задачи интерпретируется следующим образом:

- u₁ = 78,2 руб. – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся 233 кг.

- u₂ = 0 руб. – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час оборудования к имеющимся 85 ст. час.

- u₃ = 17,8 руб. – величина ожидаемого роста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час труда к имеющимся 400 чел. час.

Ситуационная задача №2.

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час) и оборудование (K, тыс. ст. час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

где Y –объем выпуска продукции (ед.)

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K=90 ) L=18
2. Найти уравнение изоквант ПФ и построить их графики для Y1=161, Y2=241, Y3=322.
3. Известны объем выпуска продукции Y=241 и наличные трудовые ресурсы L=18 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.
4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 350 (ден.ед./тыс.чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 70 (ден.ед./тыс.ст.час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 14000 (ден.ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что производственная функция задана на множестве K>=0, L>=0, и найти графическим методом её решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решение

Производственная функция (ПФ) – функция, описывающая зависимость  максимального объема производимого  продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступает рабочая сила (L, тыс. чел.- час) и оборудование (К, тыс. ст.- час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

А)  К=90

Тогда ПФ – степенная  функция следующего вида:

Пусть L в промежутке от 55 до 64

 

 

 

 

 

Б) L=18

Пусть K в промежутке от 2 до 11

Отметим, что заданная ПФ удовлетворяет основным свойствам  производственных функций:

• при отсутствии хотя бы одного ресурса объем выпуска продукции равен нулю, то есть Y(0,0)=Y(K,0)=Y(0,L);
• с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска Y растет;
• с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу увеличивающегося ресурса убывает, т.е. имеет место закон убывающей эффективности ресурсов.

2) Изокванта – совокупность  всех комбинаций факторов производства (К,L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K,L) в виде её линий уровня.

Вычислим необходимые  значения ПФ:

; ;

Для построения на декартовой плоскости ОКL изоквант целесообразно из их уравнений в явном виде выразить переменную L как функцию от переменной K:

Итак, уравнения, трех изоквант запишем в следующем виде:

3) Известны объем выпуска  продукции Y=241 и наличные трудовые ресурсы L=18 в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10% , если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит

Y=1.1*Yбаз=1,1*241=265,1

Существует множество  комбинаций факторов производства (K,L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 265,1. Потребность в оборудовании в плановом  периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты

 имеем:

Таким образом, если объем  трудовых ресурсов, используемых в  производстве, не изменится и останется на уровне L=18, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст. – час.).

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению  к базовому и составит

То потребность в  оборудовании в плановом периоде составит

Итак, при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , обеспечивающие выпуск продукции в объеме 241 ед.

4)Согласно условию  фирма может приобрести на  рынке используемые в производстве  ресурсы по ценам  и . Величина её затрат С на покупку L единиц рабочей силы и K единиц оборудования составит

Задача фирмы состоит  в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку  ресурсов не превосходит 14000 ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так:

Найти объемы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям

70K+350L≤14000

K≥0, L≥0

 

Её решение можно  найти графическим методом:

K	0	200
L	40	0

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y= , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС=(Pk;Pl) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

, отсюда имеем, что

Следовательно,

K=5 Подставляя полученное выражение K через L в уравнении граничной прямой АВ, получаем:

350 L +350L=14000 или L=20

Оптимальный объем оборудования равен K*=100

А соответствующий объем  выпуска 

Отношение предельных производительностей  оборудования и рабочей силы называется предельной нормой технологического замещения  оборудования рабочей силой и  обозначается MRTS. Эта, величина показывает, на сколько единиц нужно увеличить затраты рабочей силы, чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска продукции остался на прежнем уровне.

MRTS=350/70=5

Равенство можно записать иначе:

Величину этого отношения  можно интерпретировать как предельную эффективность финансовых ресурсов .

Что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден.ед. объем  выпускаемой продукции возрастает на 0.061 ед.

Тестовое задание.

1. Дана пара взаимно-двойственных задач линейного программирования: Известно оптимальное решение прямой задачи: x1=20, x2=10. Какой из нижеследующих наборов дает оптимальное решение двойственной задачи?

Ответ: b) u₁ = 30, u = 10.

2.  В математическом  программировании ресурс производства  считается недефицитным, если …

Ответ: b) этого ресурса было достаточно для реализации оптимальной производственной программы.

3. Для недефицитных  ресурсов оптимальная двойственная  оценка…

Ответ: a) положительна

4. Какое из следующих  условий является достаточным,  чтобы задача линейного программирования не имела оптимального решения?

Ответ: b) Допустимое множество решений задачи должно содержать только одну точку

5. Какое из перечисленных  свойств неверно для предельной  производительности ресурса?

Ответ: c) с ростом затрат одного ресурса предельная эффективность другого ресурса уменьшается

6. Суть задачи оптимизации производства состоит…

Ответ: a) в определении объемов ресурсов, при которых выпускается максимальный объем продукции при заданном бюджетном ограничении производителя.

7. Пусть на пространстве товаров задан вектор цен: р = (р1,…, рn) и потребитель располагает определенной денежной суммой I. Товарный набор определенного объема задается вектором х = (х1,…,хn). Тогда бюджетное ограничение потребителя задается условием:

Ответ: a)

8. Кривые спроса на товар обладают следующим свойством:

Ответ: c) в каждой точке кривой потребитель максимизирует полезность в соответствии с принципом максимальной полезности, достигаемый уровень полезности меняется по мере движения вдоль кривой

9. Предположение транзитивности потребительских предпочтений одного товара другому означает что,…

Ответ: b) если потребитель предпочитает набор x набору y, а набор y набору z, то он предпочтет набор x набору z

10. При уменьшении цен на все  ресурсы и уменьшении бюджетного ограничения производителя в одно и то же число раз значение максимально возможного объема выпускаемой продукции:

Ответ: b) не изменяется