Контрольная работа по "Финансовая математика". 3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача №1

1. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить  сумму начисленных процентов  и сумму погашения долгового  обязательства (3-мя способами).

Решение:

   Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

    ,

где

   

   где  - срок ссуды в долях года;

           - число дней в году (временная база);

            - срок операции в днях.

   Рассмотрим  различные варианты расчета:

1. Точные проценты с точным числом дней депозита

      Точное  количество дней определим по таблице  порядковых номеров дней в году:  5 мая – это 125 день в году, а 7 ноября – 311 день. Следовательно, точное количество дней: дней

      Временная база дней

        руб.

       руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита

      Точное  количество дней  , временная база дней

        руб.

       руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней депозита

      Найдем  приближенно число дней, считая что в мае по ноябрь содержится по 30 дней:

      5 мес. · 30 дн. + (30 дн. – 5 дн.) + 7 дн. = 182 дн.

      Временная база дней

        руб.

       руб.

     Ответ:  1 способ – 112,74 руб., 12, 74 руб.,  2 способ – 112,92 руб.,12,92 руб., 3 способ  - 112,64руб., 12,64 руб.

Задача №2

   За  какой срок наращенная стоимость  финансового инструмента номиналом 125000 рублей достигнет 140000 рублей при  условии начисления сложных процентов  по ставке 8% раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и  учетной ставкам.

 Решение:

Для сложной  процентной ставки при начислении раз  в году используем формулу:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - срок наращения.

Откуда 

 года

При начислении несколько раз в году используем формулу номинальной процентной ставки наращения:

 

Следовательно

 года

При дисконтировании  по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим

где   - наращенная сумма;

        - первоначальная сумма;

       - учетная ставка процентов;

       - срок наращения.

откуда

 

 года

года    

Ответ : 1,472 года, 1,430 лет,  1,360 лет,  1,402 года

               

Задача №3

 Простая процентная ставка по векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной  ставки, если вексель выдан :

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

      При сроке 250 дней рассмотреть варианты:

1. временная база ставок одинакова – 360 дней,
2. временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней.

         

Решение:

Наращенная  сумма определяется следующими выражениями:

 

Из равенства  выражений имеем

,

откуда:

 

в случае, когда  , получим 

а) 

 или 8,33%

б)

 или 9,35%

или 9,22%

Ответ: 8,33%, 9,35%, 9,22%. 

     Задача №4

   Ставка  по облигации номиналом 3500 рублей составляет 7%. Определить число лет, необходимое  для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты :

а) используя  антисипативные проценты ,

б) используя  декурсивные проценты.

Решение: 

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

декурсивные проценты :  

S_i = P*(1+n*i)

S_i = 7000=3500*(1+n*0,07)

n= 14,28 лет 

антисипативные  проценты: 

S_i = P/ (1-nd)

S_i = 7000=3500/(1-n*0,07)

n=7,142 лет

В отличие  от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). 

декурсивные проценты: 

S_i = P*(1+i)ⁿ

S_i= 7000=3500(1+0,07)ⁿ

log_1.07 2 = 10.24 лет 

антисипативные  проценты: 

S_i= P/(1-d)ⁿ

S_i= 7000=3500/(1-0,07)ⁿ

Log_0,930,5 = 9,55 лет. 

Ответ: простые декурсивные проценты - 14,28 лет, простые антисипативные проценты - 7,142 лет,  сложные декурсивные проценты - = 10.24 лет, сложные антисипативные проценты - 9,55 лет. 

Задача  №5

   В условиях выпуска сертификата Сбербанка  номиналом 1200 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения :за 5 лет – 2300 руб. , 7  лет – 2595 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

       Решение:

Решение

Формула наращения сложных процентов:

,

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка сложных процентов;

       - срок наращения.

Тогда

1) или 13,89%

2) или 11,65%

Ответ: 13,89%; 11,65%

Задача  №6

1. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

     Требуется:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

     Наращенная  стоимость по простой процентной ставке:

     P_n = P(1+ni)

     P_n = 10 000 (1+1*0,6 + 0,5*0,65 + 0,5*0,7 + 0,5*0,75) = 26500 руб.

     Наращенная  стоимость по простой учетной  ставке:

     S = P/(1-d T )

     S1год = 10 000/(1 - 0,6*1) = 25000 руб.

     Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

     S3полугод = 10 000/(1 - 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

     I 3полугод = 14 815 – 10 000 = 4 815

     S4полугод = 10 000/(1 - 0,7*0,5) = 15385 руб.

     I 4полугод = 15385 – 10000 = 5385

     S5полугод = 10 000/(1 - 0,75*0,5) = 16 000

     I 5полугод = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

     Суммарная наращенная стоимость по учетной  ставке:

     S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.  

     

2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;

 
 
     

3. рассчитать  наращенную стоимость облигации  по сложной процентной и учетной  ставкам;

     При начислении сложных процентов применяется  формула

     S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

     S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.  

     Сложная учетная ставка:

     

     S = 

     S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

     S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

     S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

     S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб. 

     

4. составить план наращения первоначальной стоимости  по сложным процентам;

 
 
     

5. построить график наращения стоимости по простым и сложным процентам;

 

     

 

     

6. проанализировать  доходность вариантов наращения  стоимости с позиций кредитора  и заемщика.

     После первого года простая учетная  ставка и сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.

     Из  графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант  сложной учетной ставки. Затем  идут сложные проценты, простая учетная  ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     Для заемщика ситуация противоположна –  наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна  сложная учетная ставка.

     Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой  дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом. 

Задача  №7

           Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых. 

     Сначала определим число лет при начислении простых процентов.

     Формула простых процентов:

     P_n = P(1+ni), где

     P_n – наращенная сумма,

     i  - ставка процента,

     P – изначальная сумма,

     n  - число периодов начисления.

     Составим  уравнение.

     Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно  Pn = 5P

     5P = P(1 + n*0,15)

     1 + n*0,15 = 5

     0,15n = 4

     n = 26,6 т.е. примерно через 26,5 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах. 

     Формула сложных процентов:

     P_t = P(1 + i)^t, где

     t  - количество периодов наращения,

     i  - ставка процента,

     P – изначальная сумма,

     P_t – наращенная сумма.

     Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно  Pn = 5P 

     5P = P(1 + 0,15)^t

     (1,15)^t = 5

     t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах

     Ответ : 11,5 лет 
 
 

Задача  №8

Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

Дано: , ,

Найти:

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

где  - наращенная сумма;

      - первоначальная сумма;

       - учетная ставка процента

       - период времени от момента  учета векселя до даты его погашения в годах.

 или 66,7%

Годовая процентная ставка находится из равенства следующих соотношений

 

Отсюда:

,  

 или 80%

Ответ: i-80%

Задача  №9

Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым  и сложным процентам.

     По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.

     Тогда:

     P = S(1 - dt)

     P = 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 – при простых процентах

     P = S(1 - d)ⁿ

     P = 5000 (1 – 0,1)⁵ = 2952 – при сложных процентах

Ответ : при простых – 2500 руб, при сложных  – 2952 руб.

     Задача  №10

Пусть во вклад с капитализацией процентов  помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80 % годовых.

     Простые проценты:

     P_n = P(1+ni) для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)

     P_n = 10 000 000 ( 1 + 2*0,8) = 26000000 руб.

     Сложные проценты:

     P_t = P(1 + i)^t, процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

     P_t = 10 000 000 (1 + 0,2)^2*4 = 42 998 169,6 руб.

     Ответ : 42 998 169,6 руб.

      Все полученные результаты: