Контрольная работа по "Финансовая математика". 13

Вариант1

Задача 1

В варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a(a)=0,3; a(b)=0,3; a(F)=0,6
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r кр =0,32.
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

 

Решение.

Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

 

 

 

График  отражает как  общую тенденцию к повышению суммы кредитов, так и сезонные колебания.

 

В этом случае использование  модели Хольта-Уинтерса целесообразно. 

Выполним  предварительный расчет.

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные  оценки  коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности    за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин  дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

С помощью метода наименьших квадратов построим вспомогательную линейную модель  . Коэффициенты этой модели     можно получить с помощью «мастер функций/ статистические/ ЛИНЕЙН» или «сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ». 

Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде

.

Примем  ,  ,  занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.

Для оценки коэффициентов  сезонности    найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения    для и сопоставим их с фактическими:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
	28	36	43	28	31	40	49	30
	35,58	33,45	34,32	35,19	36,06	36,93	37,80	38,67

Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.

Для первого квартала это  в первом году и   во втором году.  В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

.

Аналогично найдем

,

,

.

Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.

 

 

Перейдем  к построению собственно модели Хольта.

 

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,86
-2				1,08
-1				1,27
0		31,71	0,87	0,79
1	28	32,58	0,87	0,86	28,01
2	36	33,42	0,86	1,08	36,11
3	43	34,11	0,81	1,27	43,69
4	28	35,14	0,87	0,79	27,44
5	31	36,03	0,88	0,86	30,95
6	40	36,97	0,90	1,08	39,80
7	49	38,11	0,97	1,28	47,94
8	30	38,72	0,86	0,78	30,97
9	34	39,57	0,86	0,86	34,04
10	44	40,51	0,88	1,08	43,68
11	52	41,19	0,82	1,27	52,90
12	33	42,07	0,84	0,78	32,84
13	39	43,64	1,06	0,88	36,88
14	48	44,58	1,02	1,08	48,45
15	58	45,64	1,03	1,27	57,85
16	36	46,45	0,97	0,78	36,56

 

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания  ;  период сезонности  .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв  , рассчитаем начальное значение

.

Теперь перейдем к  и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле  модели Хольта-Уинтерса при    получим

.

 

Перейдем к  и уточним коэффициенты модели

;

;

.

По основной формуле  модели Хольта при    получим

и т.д. для  .  Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты , определяется количеством исходных данных и равно 16.

Результаты вычислений приведены в основной расчетной  таблице.

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

 

Оценим  точность построенной модели.

Для этого дополним расчетную таблицу  столбцами    и :

 

	t
	1	28	28,01	-0,01	0,02
	2	36	36,11	-0,11	0,32
	3	43	43,69	-0,69	1,60
	4	28	27,44	0,56	1,99
	5	31	30,95	0,05	0,16
	6	40	39,80	0,20	0,51
	7	49	47,94	1,06	2,17
	8	30	30,97	-0,97	3,24
	9	34	34,04	-0,04	0,11
	10	44	43,68	0,32	0,73
	11	52	52,90	-0,90	1,73
	12	33	32,84	0,16	0,47
	13	39	36,88	2,12	5,43
	14	48	48,45	-0,45	0,95
	15	58	57,85	0,15	0,25
	16	36	36,56	-0,56	1,56
сумма				0,88	21,25

Средняя относительная  погрешность аппроксимации составит

(%) .

.  Следовательно, точность  модели удовлетворительная.

Оценим  адекватность построенной модели.

Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.

Построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество  .

 

 

Вычислим при         .

Сравним  > ,  следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки независимости  остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

С помощью функций «СУММКВ» и  «СУММКВРАЗН» найдем 

,  .

Таким образом,  . 4-d=4-2,47=1,53.

При    критические значения d – статистик .  

Сравнение величин показывает, что  . В этом случае на основании критерия Дарбина-Уотсона уровни ряда остатков независимы.

Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.

Используем функцию  «СУММПРОИЗВ» и найдем сумму  .

Тогда  .

Критическое значение для  коэффициента автокорреляции составляет  .

Сравнение с критическим значением  показывает, что  .  Таким образом, в ряде остатков уровни независимы, модель является адекватной.

 

 

Для проверки свойства нормального  распределения остаточной компоненты используем  R/S-критерий.

Вычислим     .

Критический интервал    определим по таблице критических границ отношения  R/S.

,  значит, для построенной  модели свойство нормального  распределения остаточной компоненты не выполняется.

 

Составим  с помощью построенной модели прогноз цен на акции на один год  вперед.

В целом построенная  модель является адекватной, но не выполняется свойство нормального распределения остаточной компоненты Использовать такую модель для прогнозирования возможно. Проведем расчет прогнозных оценок.

 

Для первого квартала будущего пятого года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса  и найдем

.

Для второго квартала будущего пятого года при  найдем

.

Для третьего квартала будущего пятого года при  найдем

.

Для четвертого квартала будущего пятого года при  найдем

.

Исходные  данные и результаты всех выполненных  расчетов покажем на общем графике.

 

 

 

Задача 2

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней

Требуется рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K, %D.

Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие  выводы. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

 

t
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Решение.

 

 

t	C(t)	EMA(t)
1	982
2	922
3	902
4	846
5	856	901,60
6	881	894,73
7	870	886,49
8	852	874,99
9	802	850,66
10	699	800,11

 

Расчет возможен для  .

Для определения  начального значения ЕМА₅  используем формулу простой скользящей средней

Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней при .  Получим

;

и т.д.

 

Результаты  вычислений округлены до 2-х знаков после запятой и приведены  в столбце EMA(t).  

 

 

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.

 

С 5-го по 10-ый день наблюдается нисходящий тренд (нисходящая экспоненциальная скользящая средняя, ее график расположен выше ценового графика); рекомендуется продажа финансового инструмента.

Проведем  расчет по указанным формулам.

Момент:   

;

и т.д.

Скорость  изменения цен:

;   и т.д.

Результаты  вычислений занесем в соответствующие  столбцы расчетной таблицы и  покажем на графиках.

t	C(t)	MOM(t)	ROC(t)
1	982
2	922
3	902
4	846
5	856
6	881	-101	89,71
7	870	-52	94,36
8	852	-50	94,46
9	802	-44	94,80
10	699	-157	81,66

 

Рассмотрим график момента:

С 6-го по 10-ый день график момента целиком находится в  области ниже нулевого уровня; рекомендуется продажа финансового инструмента.

 

Рассмотрим график скорости изменения цен:

График скорости изменения  цен целиком находится в области  ниже уровня 100%; с 6-го по 10-ый день рекомендуется продажа финансового инструмента.

Для использования формулы расчета индикатора RSI предварительно найдем изменения цен закрытия    для всех дней  .

Из значений    выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех  рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t ( задано по условию).

Теперь несложно найти  величины  RSI_t .  Расчет удобно проводить в таблице.

 

 

			повышен.	понижен.
1	982
2	922	-60	0	60
3	902	-20	0	20
4	846	-56	0	56
5	856	10	10	0
6	881	25	25	0	35	136	20,47
7	870	-11	0	11	35	87	28,69
8	852	-18	0	18	35	85	29,17
9	802	-50	0	50	35	79	30,70
10	699	-103	0	103	25	182	12,08

 

          и  т.д. 

 

Рассмотрим  график RSI:

 

7-9-ый дни: график RSI находится в нейтральной зоне, можно проводить финансовые операции (в данном случае, продажи).

10-ый день: график RSI в зоне «перепроданности», цены упали предельно низко, рекомендуется прекратить продажи и ожидать разворота тренда.

 

Расчет возможен для  . Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.

 

 

t
5	998	823	142	33	175	18,86	81,14
6	970	823	89	58	147	39,46	60,54
7	950	823	80	47	127	37,01	62,99	138	449	30,73
8	930	823	78	29	107	27,10	72,90	134	381	35,17
9	930	800	128	2	130	1,54	98,46	78	364	21,43
10	930	680	231	19	250	7,60	92,40	50	487	10,27

 

Рассмотрим  стохастические линии  %K,  %R и %D:

 

График  %K  показывает, что в 6-7-ые дни можно совершать продажи; в 8 – 10 дни рекомендуется прекратить финансовые операции (график находится в критической зоне «перепроданности»).

График  %R  является зеркальным отражением графика %K. Для него верхняя критическая зона является зоной «перепроданности», а нижняя – зоной «перекупленности». Таким образом, выводы по графику  %R  совпадают с выводами по графику %K.

График  %D  подтверждает приостановку операций в 8 – 10 дни (находится в критической зоне). Индикатор  %D сглаживает график  %K, поэтому его сигналы имеют большее отставание от динамики рынка, чем сигналы  %K.

 

Задача 3

Выполнить различные  коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, T_лет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.

Вариант	Сумма	Начальная дата	Конечная дата	Время в днях	Время в годах	Ставка	Кол-во начислений
№	S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
1	500 000	21,01,02	11,03,02	180	4	10	2

1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды – Т_н, дата возврата – Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i%  годовых. Найти:

• точные проценты с точным числом дней ссуды;

• обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
• обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
2. Через Т_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i%  годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
3. Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i%  годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Т_лет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i%  годовых. Определить наращенную сумму.
5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка - i%  годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i%  годовых.
7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i%  годовых.
8. Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка  i%  годовых.
9. Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке  i%  годовых. Определить дисконт.
10. В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

1)

Используем формулы S = P + I, I = Pni,  n = t / K
3.1.1) K = 365, t = 49, I = 500000*0,1*49 / 365 =	6712,33	руб.
3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;
K = 360, t = 49, I = 500000*0,1*49 / 360 =	6805,56	руб.
3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.
K = 360, t = 50, I = 500000*0,1*50 / 360 =	6944,44	руб.

2)

Применим формулу Р = S/ (1+ ni).	K = 360, t = 180
P = 500000 / (1+ 0,1* 180 / 360) =	476190,48	руб.
Дисконт  D = S - P = 500000 - 476190,48 =	23809,52	руб.

3)

K = 360, t = 180
Дисконт D = Snd = 500000*0,1*180 / 360 =			25000,00	руб.
Предприятие получило сумму
P = S - D = 500000 - 25000 =		475000,00	руб.

4)

Применим формулу S = P(1+i)n
S = 500000(1+ 0,1)4 =	732050,00	руб.

5)

Используем формулу: S = P(1 + j / m)N
где N = Tлет *m - число периодов начисления.			Наращенная сумма S равна
S = 500000*(1 + 0,1 / 2)4*2 =	738727,72	руб.

6)

Применим формулу
iэ = (1+ j / m)m - 1 = (1+0,1 / 2)2 - 1 =			0,1025	iэ =	10,25%

7)

Применим формулу
j = m[(1+iэ)1/m - 1] = 2*[(1+0,1)1/2 - 1] =			0,0976	j =	9,76 %