Контрольная работа по «Финансовая математика». 2. 3

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Тульский  филиал Финуниверситета

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине  «Финансовая математика»

Вариант № 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула 2013 г.

Задание № 1

 

Имеются поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов):

Таблица 1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Сумма	38	48	57	37	40	52	63	38	44	56	67	41	49	60	72	44

 

Требуется:

 

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3, α₂=0,6, α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

3.1. Случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

3.2. Независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

3.3.Нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точеный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

1. Построение адаптивной мультипликативной модели

Хольта-Уинтерса

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным трендом имеет следующий вид:

, где

k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода.

a(t), b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальный данных L=4, для месячных – L=12).

Уточнение (адаптация  к новому значению параметра времени t) коэффициентов производится с помощью формул:

,

,

.

В качестве начальных  значений a(0) и b(0) можно взять коэффициенты уравнения парной линейной регрессии Y_рег(t)=a(0)+b(0)·t. Для построения линейной модели достаточно взять только первые восемь значений из таблицы 1.

Метод наименьших квадратов  дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам:

;       

;    

Произведем необходимые  вычисления:

Находим значения a(0) и b(0):

  ; ;

С  учетом полученных коэффициентов  линейное уравнение будет иметь вид :  

Из этого уравнения находим расчетные значения и сопоставляем их с фактическими значениями:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
	38	48	57	37	40	52	63	38
	44	44,75	45,5	46,25	47	47,75	48,5	49,25

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Для того чтобы определить коэффициенты сезонности F(0), F(-1),         F(-2),F(-3) воспользуемся следующими формулами:

F(-3)= [Y(1)/Yрег(1)+Y(5)/Yрег(5)]/2  (1);

F(-2)= [Y(2)/Yрег(2)+Y(6)/Yрег(6)]/2  (2);

F(-1) =[Y(3)/Yрег(3)+Y(7)/Yрег(7)]/2  (3);

F(0)  =[Y(4)/Yрег(4)+Y(8)/Yрег(8)]/2  (4).

 F(-3)=

F(-2) =

F(-1) =

F(0) =

Путем перебора возможных  значений параметров сглаживания было установлено, что лучшим являются α₁=0,3, α₂=0,6, α₃=0,3.

Подставляя значения параметров в  уравнения

,

,

,

, построим модель Хольта-Уинтерса:

2. Оценка точности  построенной модели с использованием  средней относительной ошибки аппроксимации

Для оценки точности построенной  модели рассчитаем относительные ошибки погрешности каждого уровня.

,

где E(t)=Y(t)-Y_p(t) - абсолютная погрешность. Результаты расчетов представим в таблице :

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Относительная погрешность построенной модели - 1,77%. Значит, модель достаточна точна.

3. Оценка адекватности  построенной модели.

Для того, чтобы модель была адекватна ряд остатков E(t) должен обладать  свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения. Для проверки выполнения этих условий составим промежуточную таблицу:

3.1. Оценка адекватности  модели по критерию пиков

Проверка случайности  уровней остаточной компоненты проводим на основе критериев поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравнивая с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в строке ставится 1, в противном случае – 0.

Общее число поворотных точек p = 10 (ячейка N10).

Критерий случайности отклонений можно представить так:

                           p> , где

р- количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96- квантиль нормального распределения.

Рассчитаем критическое  значение:

Так как 10 > 6, то условие случайности ряда остатков выполнено

 

3.2. Оценка адекватности модели по d-критерию Дарбина-Уотсона

Так как d > 2, то имеет место отрицательная зависимость. Поэтому найдем d`= 4 – 2,71=1,29.

По таблице критических значений Дарбина-Уотсона для n=16 на уровне значимости 0,05 определяем критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37.

1,1 < d = 1,29 < 1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

 

Оценка адекватности модели по первому коэффициенту автокорреляции

 

Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции больше критического (табличного) значения: r₁= 0,36 > r_t = 0,32. Следовательно, нельзя считать уровни ряда остатков независимыми.

 

3.3. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию

 

R/S = (E_max – E_min) / S, где

E_max – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_min – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение.

E_max = 2,36 (ячейка К18); E_min = - 1,59 (ячейка К13).

,

R/S = (2,36 – ( - 1,59)) / 1,041 = 3,794.

Полученное значение R/S: 3,0 < 3,816 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве построенной модели и возможности построения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

 

 

4. Точечный прогноз на 4 шага вперед

Для того, чтобы составить прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20) воспользуемся формулой: .

Произведем необходимые  расчеты в таблице:

Для t=17 имеем:

Аналогично находим Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20).

 

5. Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563
6	595	563	590
7	608	590	598
8	610	573	580
9	595	575	595
10	600	580	580

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K, и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

Рассчитаем  экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

EMA _t = C _t ∙ k  + EMA _t-1 ∙ (1-k)  ,

где k = 2 / (n+1)

1. Интервал сглаживания по условию равен 5 (n=5).
2. k=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33
3. Вычислим MA для первых пяти дней и запишем результат в графы 3 и 4 таблицы.    МA₅=(610+614+625+574+563)/5=2986/5=597,2.
4. Перейдем на одну строку вниз по графе 4 и умножим на k(0,33) данные по цене закрытия текущей строки: 590∙0,33=194,7.
5. Данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем  на (1-k): 597,2∙(1-0,33)=400,124.
6. Сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах.

194,7+400,124=594,824.

7. Дальнейшие расчеты проводятся аналогично:

Рассчитаем  момент

MOM_t= C_t-C_t-n

Рассчитаем скорость изменения цен

ROC_t=C_t/C_t-n*100%

 

Рассчитаем индекс относительной силы

RSI=100-100/(1+AU/AD), где

 AU-сумма приростов конечных цен за последние n дней,

       AD-сумма падений цен за последние n дней

Так как по условию n=5, то RSI₆=100-100/(1+AU₆/AD₆)

Рассчитаем  индексы текущего дня

%K= 100%*(C_t-L₅)/(H₅-L₅);

%R=(H₅-C₅)/(H₅-L₅)*100%;

%D=∑(C_t-L₅)/∑(H₅-L₅)*100%, где

Ct- цена закрытия; L₅ и Н₅ – соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий. При построении величины (C_t-L₅) и (H₅-L₅) индекс %D сглаживают, оперируя их трехдневной суммой.

Расчет  представим в  таблице:

Пояснения к таблице:

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены.

2. Начиная с 5-го  дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней включая текущий.

3. В графе 7 записываем  разность между данными графы  4 и 6.

4. Графа 8 – это разность  между графой 5 и графой 4.

5. В графу 9 записываем  размах цен за 5 дней (H5-L5)- разность между данными графы 5 и графы 6.

6. В графы 10 и 11 записываем  значения, рассчитанные по формулам.

7. Действия 2-7 повторяем до конца таблицы.

8. Для расчета %D, начиная с 7 строки, складываем значения из графы 7 за 3 предыдущих дня включая текущий и заносим их в графу 12.

9. В графу 13 заносим  аналогичные значения из графы  9 (складываем значения за три  предыдущих дня включая текущий).

10. В графу 14 записываем  значения, рассчитанные по формуле.

 

Задание 3.

 Выполнить различные  коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице:

Сумма	Дата начинания	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
3 500 000	11.01.02	19.03.02	90	5	40	4

 

3.1. Банк выдал ссуду, размером 3 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 11.01.02, дата возврата – 19.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 40 % годовых. Найти:

3.1.1. точные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.2. обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3. обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.

, где

I – начисленные проценты;

К – база времени.

База времени при  точных процентах – 365 дней, при обыкновенных (коммерческих) – 360 дней.

а) К = 365, t = 67: руб.;

б) К=360, t = 67: руб.;

в) К = 360, t = 69: руб.

 

3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 3 500 000 руб. Кредит выдан под 40 % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

, , где

Р – первоначальная сумма.

,

   руб.

, где

D – сумма дисконта

 руб.

 

3.3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 3 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 40 % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка (d). Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен:

, откуда исходное значение:

 руб,

 руб.

 

3.4. В кредитном договоре на сумму 3 500 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 40 % годовых. Определить наращенную сумму.

Наращенная сумма по сложным процентам:

, где

n – срок ссуды.

 руб.

 

3.5. Ссуда, размером 3 500 000 руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка – 40 % годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

, где 

m – количество периодов начисления процентов,

n – величина периода.

 руб.

 

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 40 % годовых.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных  процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по номинальной ставке.

, т.е эффективная ставка равна  46,41 %

 

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 40 % годовых.

Формула эффективной  ставки - .

Обратная зависимость  имеет вид:

, т.е. чтобы обеспечит эффективную  ставку 40 % годовых, номинальная ставка  должна быть равна 35,1  %.

 

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3 500 000 руб. Определить её современную стоимость при условии, сто применяется сложная процентная ставка 40 % годовых.

В данном случае решается обратная задача по сложным процентам. Формула наращения по сложным процентам:

, отсюда 

 руб.

 

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 3 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 40 % годовых. Определить дисконт.

Дисконтирование по сложной  учетной ставке осуществляется по формуле:

 руб.,

руб.

 

3.10. В течении 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3 500 000 руб., на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 40 %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

,

 руб.

 

 

Выполнил:_______________________________________