Контрольная работа по "Финансовая математика". 5

 

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  
 
 

по  дисциплине   Финансовая математика   

Вариант _      7      
 
 

Студент        

     (Ф.И.О.)

Курс     № группы     

№ зачетной книжки     

Преподаватель       

          (Ф.И.О.) 
 
 
 
 
 

Москва  – 2011

 

      Задание 1.

     Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

     Таблица 1

     Исходные  данные

     Требуется:

     1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта- Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

     -случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

     -независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=l,10 и d₂=l,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ =0,32;

     -нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

     5)Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. 

Решение.

     1).Мультипликативная модель Хольта- Уинтерса с линейным ростом имеет вид:

          *

     где k- период упреждения;

      расчетное значение экономического показателя для  t-го периода;

      и коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

      значение  коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический  показатель;

     L- период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных- L=12).

     Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

       **

         ***

         ****

     Для расчета  и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1-1=0).

     Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым 8 значениям из табл.1. Линейная модель имеет вид:

     

     С помощью метода наименьших квадратов  находим коэффициенты линейного  уравнения и :

     

     

     

     

     

     

Можно проверить  правильность расчетов в Excel, используя процедуру Анализ данных (Регрессия) в Сервисе:

Таблица 2

Вывод итогов в Excel

     Расчетные значения подсчитаны (табл.2). Сопоставляем их с фактическими значениями:

     Таблица 3

     Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

     

     Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к  значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Y_p(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Y_p(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

     Аналогично  находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

     Рассчитаем  значения и для t=1.

     Из  уравнения *, полагая что t=0, k=1, находим

Уравнение Yp(t+k)=[a(t)+k*b(t)*F(t+k-L) при к=1. для t=0 примет вид: 

     Полагая, что t=1, уравнения ** - ****примут вид:

     Для t=2:

     для t=3:

     для t=4:

     для t=5:

     для t=6:

     для t=7:

     для t=8:

     для t=9:

     для t=10:

     для t=11:

     для t=12:

     для t=13:

     для t=14:

     для t=15:

     для t=16:

Расчет по модели Хольта- Уинтерса произведем в Excel. Полученные данные представлены в табл.4:

Таблица 4

Модель Хольта- Уинтерса

 

     2) Проверка точности  модели.

     Произведем  промежуточные расчеты для проверки качества модели:

     Таблица 5

     Промежуточные расчеты для проверки качества модели

Условие точности считается выполненным, если относительная погрешность (100%*abs{E(t)}/Y(t))в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (гр.10 табл. 5) составляет 29,72, что дает среднюю величину 29,72/16= 1,86 %.

     Следовательно, условие точности выполнено.

     3) Проверка адекватности  модели.

     Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

     Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0.

     Общее число поворотных точек равно p=8.

     Рассчитаем  значение q:

     

     

     Если  количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. p=8, q= 6, следовательно, условие случайности ряда остатков выполнено.

     Проверка  независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина- Уотсона;
2. по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

     1)

     Т.к. полученное значение больше 2, имеет  место отрицательная автокорреляция. Уточняем величину d, вычитая полученное значение из 4.

     

     Полученное  сравниваем с табличными значениями d1 и d2.

     d1=1,08, d2=1,36.

     Т.к. d2< <2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

     2)

     Если  модуль рассчитанного значения первого  коэффициента автокорреляции меньше критического значения , то уровни ряда остатков независимы.

      .

     Т.к. уровни независимы.

     Проверка  соответствия ряда остатков нормальному распределению  определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

      ,

     где – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

      - минимальное  значение уровней ряда остатков  E(t) (гр.3 табл. 5);

     S-среднее квадратическое отклонение.

     

     

     Полученное  значение RS сравниваем с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.

     Т.к. 3,00<4,17<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

     Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены.

     4) Точечный прогноз на 4 шага вперед.

     Составим  прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t =20). Максимальное значение t, для которого можно рассчитать коэффициенты a(t) и b(t) определяются количеством исходных данных (N=16). При помощи уже известных значений a(16) и b(16) (табл. 4)можем рассчитать прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) по формуле

     Для t=17:

Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19) и Y_p(20):

     5) График.

     Построим  график с фактическими, расчетными и прогнозными данными.

Рис 1. Сопоставление фактических Y(t) и расчетных Yp(t) данных

     На  рисунке проводится сопоставление  фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения стоимости кредита на жилищное строительство на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

      Задание 2.

     Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

     - экспоненциальную скользящую среднюю;

     - момент;

     - скорость изменения цен;

     - индекс относительной силы;

     - %R, %K и %D.

     Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

     Таблица 6

     Исходные  данные

 

Решение.

     Экспоненциальная  скользящая средняя (ЕМА) рассчитывается по формуле:

     

     где

     С_t - цена закрытия t-го дня;

     EMA_t – значение EMA текущего дня t.

     Вычислим простую среднюю за 5 дней:

     

     Рассчитаем  ЕМА для 6,7,8,9 и 10 дней:

     

     

     

     

     

     Скользящая  средняя МА рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество предшествующих дней по формуле:

     

     где С_t – цена закрытия t-го дня;

     MA_t – значение скользящего среднего текущего дня t.

     Таблица 7

     Расчеты ЕМА и МА

       

     

     Рис. 2.График ЕМА 

     Момент (МОМ) рассчитывается как разница конечной цены текущего дня С_t и цены n дней тому назад С_{t - n}..

     

     где С_t – цена закрытия t-го дня;

     МОМ_t – значение МОМ текущего дня t.

     Произведем  расчеты по формулам:

     

     

     

     

     

     Результаты  представлены в таблице:

     Таблица 8

     Расчет  МОМ

     

 

     

     Рис. 3.График МОМ 

     Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные - о снижении. Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии (конец 8-го – начало 9-го дней) дает сигнал к покупке.

     Скорость  изменения цен (ROC) рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

     

     где - цена закрытия t-го дня;

      - значение ROC текущего дня t.

     Рассчитаем  значения по формулам:

     

     

     

     

     

     Результаты  расчетов в таблице:

     Таблица 9

     Расчет  ROC

     

 

     

     Рис. 4.График ROC

     ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Для принятия решения о купле или продаже используется уровень 100%. При пересечении этого уровня снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз - продавать акции. В нашем случае, показатель ROC указывает на восходящий тренд цены акции на 9-ый день.

     Индекс  относительной силы (RSI).

     Для расчета RSI применяют формулу:

     

     где – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

      - сумма  убыли конечных цен за n последних дней.

     Значения  RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо одновременно с разворотом цен, либо с опережением.

     Сигналом  к продаже акций служит момент выхода графика RSI из зоны перекупленности (80-100%), а к покупке - момент выхода графика RSI из зоны перепроданности (0-20%).

     Рассчитаем  все приросты AU и убыли AD в течение 5 дней из разности цен двух ближайших дней по формуле: dUt=Сt- Сt-1.

     С учетом DUt рассчитаем суммы прироста и убыли за последние 5 дней для каждого дня, начиная с 6 –го.

     Рассчитаем  RSI (табл.10):

     Таблица 10

     Расчет  RSI

     

 

     

     Рис. 5.График RSI 

     Значение RSI на 8 день было близко к зоне перепроданности, что и послужило причиной разворота тренда. На 9 день – обратная ситуация. Стохастические линии.

     

     где - значение индекса текущего дня t;

      - цена  закрытия текущего дня t;

       и  - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

     

     где - значение индекса текущего дня t;

      - цена  закрытия текущего дня t;

       и  - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

     Смысл стохастических индексов состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цене (%К принимает большие значения, а %R – маленькие), а при падении цен – ближе к минимальной (%К принимает маленькие значения, а %R – большие). Индексы %R и %K проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия. При расчете %К разность между ценой закрытия текущего дня и минимальной ценой за 5 дней сравнивают с размахом цен за эти же 5 дней. В случае расчета %R с размахом сравнивают разность между максимальной ценой за 5 дней и ценой закрытия.

     Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

     

     Расчеты представлены в таблице:

     Таблица 11

     Расчет  %К,%R,%D

 

     

     Рис. 6.График %К,%R,%D

     График  показывает, что на 9 день происходит рост цен (%К принимает большие значения, а %R – маленькие), а на 10 день - падении цен (%К принимает маленькие значения, а %R – большие).

     Значения  индикаторов указывают на нисходящий тренд.