Контрольная работа по "Финансовая математика". 8

В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому  кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Коэффициенты  модели рассчитываются по формулам:

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) построим линейную модель тренда временного ряда по первым восьми уровням Y(t).

Линейная  модель имеет вид: y(t)=a+bt.

Коэффициенты  a и b определяем методом наименьших квадратов по формулам:

; ; ;

Далее вычисляем по формулам:

Для проверки точности модели вычисляем  остатки:

Е_отн=1,33<15%, следовательно условие точности выполнено.

Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков e_t должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверку  случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда e_t сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0.

Общее число поворотных точек p=10. Рассчитаем значение q:

При N=16 – q=6. Так как p>q, условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка  независимости уровней ряда остатков проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина-Уотсона;
2. по первому коэффициенту автокорреляции r₁.

1)

4-d=1,53

Т.к. 1,1<1,37<1,53<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

2) , |r₁|=0,255.

Так как |r₁|<r_таб=0,32, то уровни ряда остатков независимы.

Нормальность  распределения ряда остатков определяем по RS-критерию:

,

3<RS<4,21, значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на четыре квартала вперед.

При расчете Y_p(17), Y_p(18,) Y_p(19), Y_p(20) подставляем a(16) и b(16).

На  графике покажем фактические, расчетные  и прогнозные данные:

Задание 2.

Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных. 
 

Решение.

, C_t – цена закрытия t-го дня

,

, n=5

где AV и AD сумма приростов и убыли конечных цен за 5 дней.

Ct - цена закрытия текущего дня t

L5, H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя  данные, приведенные в таблице.

Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлеет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

3.1 Банк  выдал ссуду, размером S рублей. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом  дней ссуды;

;

3.1.2) обыкновенные  проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные  проценты с приблизительным числом  дней ссуды;

3.2 Через  Тдн дней после подписания  договора должник уплатит S рублей. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

;

3.3 Через  Тдн дней предприятие должно  получить по векселю S рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

;

3.4 В  кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5 Ссуда,  размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6 Вычислить  эффективную ставку процента, если  банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7 Определить, какой должна быть номинальная  ставка при начислении процентов  m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.