Контрольная работа по «Финансовая математика». 10

ФГОБУВПО

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Курский филиал

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 10

 

Выполнил: студент  4 курса,  41группы

№  зачетной книжки 11флд61160 , 2ВО

Жиляева Г.И.

Проверил: к.э.н. Верютин А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск – 2013

Содержание

 

 

Задание 1 3

Задание 2 11

Список литературы……………………………………………………………..14

 

ЗАДАНИЕ 1

В таблице  приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

 

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

 

 

_{Метод наименьших квадратов  дает возможность  определить коэффициенты линейного уравнения   по формулам:}

Таблица 1

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(Y-Yср)х(t-tср)
1	43	-4	12	-9	33
2	54	-3	6	2	-4
3	64	-2	2	12	-17
4	41	-1	0	-11	6
5	45	1	0	-7	-4
6	58	2	2	6	8
7	71	3	6	19	47
8	43	4	12	-9	-33
36	419	0	42	0	36

 

Произведем  расчет:

Получим линейное уравнение вида:

Для сопоставления  фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t	Y(t)	Yp(t)
1	43	49,42
2	54	50,26
3	64	51,11
4	41	51,95
5	45	52,80
6	58	53,64
7	71	54,49
8	43	55,33

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к  значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

_{Аналогично  находим оценки коэффициентов  сезонности для II, III и IV кварталов:}

Построим  адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс. погр., E(t)	Отн. погр., в %
1	2	3	4	5	6	7	8
0		48,57	0,85	0,8612	-		-
1	43	49,57	0,89	0,8650	42,56	0,44	1,03
2	54	50,35	0,86	1,0746	54,39	-0,39	0,72
3	64	50,88	0,76	1,2658	65,43	-1,43	2,24
4	41	51,85	0,82	0,7877	40,44	0,56	1,37
5	45	52,48	0,76	0,8605	45,56	-0,56	1,24
6	58	53,46	0,83	1,0807	57,21	0,79	1,36
7	71	54,83	0,99	1,2833	68,73	2,27	3,20
8	43	55,45	0,88	0,7803	43,97	-0,97	2,26
9	49	56,52	0,94	0,8644	48,47	0,53	1,07
10	62	57,43	0,93	1,0801	62,09	-0,09	0,15
11	74	58,15	0,87	1,2769	74,89	-0,89	1,20
12	45	58,61	0,74	0,7728	46,05	-1,05	2,34
13	54	60,29	1,03	0,8832	51,31	2,69	4,99
14	66	61,25	1,01	1,0785	66,23	-0,23	0,34
15	79	62,14	0,97	1,2735	79,50	-0,50	0,63
16	48	62,81	0,88	0,7676	48,77	-0,77	1,61
							25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E(t)	Точка поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)xE(t-1)
1	0,44	-	0,194	-	-
2	-0,39	0	0,150	0,69	-0,17
3	-1,43	1	2,05	1,09	0,55
4	0,56	1	0,32	3,98	-0,81
5	-0,56	1	0,31	1,26	-0,32
6	0,79	0	0,62	1,81	-0,44
7	2,27	1	5,17	2,21	1,79
8	-0,97	1	0,95	10,54	-2,21
9	0,53	1	0,28	2,24	-0,51
10	-0,09	0	0,01	0,38	-0,05
11	-0,89	0	0,78	0,63	0,08
12	-1,05	1	1,11	0,03	0,93
13	2,69	1	7,26	14,03	-2,83
14	-0,23	0	0,05	8,52	-0,61
15	-0,50	0	0,25	0,07	0,11
16	-0,77	-	0,60	0,08	0,38
Сумма	0,41	8,00	20,09	47,57	-4,09

 

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности  уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число  поворотных точек в нашем примере  равно  р=8.

Рассчитаем  значение :

_{Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.}

Так как  количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней  ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:}

_{Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е(t) являются независимыми.}

_{2) по первому коэффициенту  автокорреляции  r(1):}

Если  модуль рассчитанного значения первого  коэффициента автокорреляции меньше критического значения < r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,20 < r_табл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению  определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где   - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней  ряда остатков  ;

S – среднее квадратическое отклонение.

 

E_max – E_min = 2,69 – (-1,43) = 4,13

Уровни  ряда остатков подчиняются нормальному  распределению т.к. полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на год.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим  прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле:

,

где  k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном  рисунке проводится сопоставление  фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на  год вперед. Из рисунка  видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1. Сопоставление  расчетных и фактических данных

 

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять  равным 5 дням.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756

 

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной  силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить  для всех дней, для которых эти  расчеты можно выполнить на основании  имеющихся данных.

Решение

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где  k = 2 / (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где   - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения  цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где   - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.

Таблица 1

Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней,

момента, скорости изменения цен

Дни	Цены закр	ЕМАt	МОМt	ROCt
1	804	804,00	-	-
2	849	819,00	-	-
3	806	814,67	-	-
4	760	796,44	-	-
5	763	785,30	-	-
6	795	788,53	-9,0	98,88
7	800	792,35	-49,0	94,23
8	853	812,57	47,0	105,83
9	820	815,05	60,0	107,89
10	756	795,36	-7,0	99,08

 

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где  AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 2

Результаты расчета  индекса относительной силы

Дни	Цены закрытия	Изменение (+/-)	RSI
1	804	45	-
2	849	-43	-
3	806	-46	-
4	760	3	-
5	763	32	-
6	795	5	47,3
7	800	53	31,0
8	853	-33	66,9
9	820	-64	73,8
10	756	45	48,1

 

Рассчитаем  %R,  %К,  %D используя следующие формулы:

 

,

_где   - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.}

 

,

_где   - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.}

 

_{Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины} и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Таблица 3

Результаты  расчетов %R, %К, %D

Дни	Цены			% Kt	% Rt	%Dt
	макс	мин	закр
1	858	785	804		-	-
2	849	781	849	-	-	-
3	870	801	806	-	-	-
4	805	755	760	-	-	-
5	785	742	763	16,41	83,59	-
6	795	755	795	41,41	58,59	-
7	812	781	800	45,31	54,69	34,38
8	854	791	853	99,11	0,89	60,33
9	875	819	820	58,65	41,35	66,22
10	820	745	756	8,46	91,54	53,33

 

 

Список литературы

 

1. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. – М.: МЭСИ, 2000.
2. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
3. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007.
4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2000.