Контрольная работа по "Финансовой математике". 31

Министерство образования и науки

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт заочного и дистанционного обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»

Работу выполнил:

Студент(ка) гр.

Ф.И.О.

Работу проверил:

(звание)

Ф.И.О.

ЧЕЛЯБИНСК  2011

1. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить сумму начисленных процентов и сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами).

Решение:

Определим точное и приближенное количество дней до погашения сертификата:

По сертификатам доход начисляется по процентной ставке. Применим три способа расчета процентов:

1)     Проценты точные, срок займа − точное число дней.

Сумма начисленных процентов:

руб.

P − номинал сертификата;

i − процентная ставка;

n − продолжительность периода начисления в днях;

K − расчетное количество дней в году (временная база).

Цена погашения сертификата:

руб.

2)     Проценты обыкновенные, срок займа − точное число дней.

Сумма начисленных процентов:

руб.

Цена погашения сертификата:

руб.

3)     Проценты обыкновенные, срок займа − приближенное число дней.

Сумма начисленных процентов:

руб.

Цена погашения сертификата:

руб.

2. За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 125000 рублей достигнет 140000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8% раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и  учетной ставкам.

Решение:

Наращенная сумма по сложной процентной ставке вычисляется по формуле:

, где

        S - наращенная сумма;

        P - первоначальный размер долга (ссуда, кредит и т.д.);

         i  - процентная ставка;

        n - число лет наращения.

Чтобы найти срок наращения, решим формулу наращения относительно n:

Если проценты начисляются поквартально, формула примет вид:

,

где m - количество внутригодовых начислений.

Наращенная сумма по сложной учетной ставке вычисляется по формуле:

,

где d – учетная ставка.

Чтобы найти срок наращения, решим формулу наращения относительно n:

Если проценты начисляются поквартально, формула примет вид:

Как видим из вычислений, быстрее всего наращенная стоимость достигнет нужной величины при начислении процентов по учетной ставке раз в год.

3. Простая процентная ставка по векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной  ставки, если вексель выдан:

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть варианты:

1)                 временная база ставок одинакова – 360 дней,

2)                 временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней.

Решение:

Эквивалентные ставки – это ставки, дающие одинаковый результат при применении в случае одинаковых сроков вложений.

Эквивалентная учетная ставка связана с простой учетной ставкой следующей зависимостью:

, где  i - простая учетная ставка; n - срок ссуды в годах.

а) Определим эквивалентную учетную ставку, если вексель выдан на 2 года:

Как видно, при наращении по учетной ставке 8,33% владелец векселя получит такой же доход, что и по простой ставке 10%.

б)  Определим эквивалентную учетную ставку для векселя, выданного на 250 дней:

1) В случае, когда срок ссуды меньше года:

, где t - число дней ссуды; К (временная база ставок) = 360 дней.

Эквивалентная учетная ставка составит 9,35%.

2)     Временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней:

Эквивалентная учетная ставка составит 9,23%.

4. Ставка по облигации номиналом 3500 рублей составляет 7%. Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты:

а) используя антисипативные проценты,

б) используя декурсивные проценты.

Решение:

а) Процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов — антисипативным.

Для простых антисипативных процентов:

Для сложных антисипативных процентов:

б) Проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным.

Для простых декурсивных процентов:

Для сложных декурсивных процентов:

5. В условиях выпуска сертификата Сбербанка  номиналом 1200 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения :за 5 лет – 2300 руб. , 7  лет – 2595 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

Решение:

База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс  увеличения суммы долга происходит с ускорением.

Наращенная сумма по сложным процентам вычисляется по формуле:

, где

        S - наращенная сумма;

        P - первоначальный размер долга (ссуда, кредит и т.д.);

         i  - процентная ставка;

        n - число лет наращения.

Годовая сложная ставка процента для суммы 2300 руб.:

Годовая сложная ставка за 5 лет для суммы 2300 руб. составляет 14%.

Годовая сложная ставка процента для суммы 2595 руб.:

Годовая сложная ставка за 7 лет для суммы 2595 руб. составляет 12%.

6. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

Требуется:

1)                 определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

2)                 составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;

3)                 рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

4)                 составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

5)                 построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам;

6)     проанализировать доходность вариантов

Решение:

1) В случае изменения простой процентной ставки, наращенная стоимость определяется по формуле:

Наращенная стоимость по простой учетной ставке:

− за первый год.

25000-10000=15000 руб.− сумма процентов за первый год.

− сумма за третье полугодие.

14815-10000=4815руб. − сумма процентов за третье полугодие.

− за четвертое полугодие.

15385-10000=5385руб. − сумма процентов за четвертое полугодие.

− за пятое полугодие.

16000-10000=6000руб. − сумма процентов за пятое полугодие.

Суммарная наращенная стоимость по простой учетной ставке:

15000+4815+5385+6000=31200руб.

2)    Составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам:

3)    Наращенная стоимость облигации по сложной процентной ставке:

        Наращенная стоимость облигации по сложной учетной ставке:

− за первый год.

− через полтора года.

− через два года.

− через два с половиной года.

4)    Составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам:

5)    Построить графика наращения стоимости по простым и сложным процентам:

6)    Проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора и заемщика.

После первого года разницы между наращенной суммой по простой и сложной процентной  ставке и простой учетной ставке практически нет. Поэтому, на этом этапе для кредитора и заемщика нет разницы между этими методами начисления. Но сложная учетная ставка резко выделяется, − она выгодна кредитору и невыгодна заемщику.

Разница в суммах по различным методам начисления становится очевидна через полтора года.

Метод сложной учетной ставки наиболее выгоден кредитору. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и, наконец, простые проценты.

Для заемщика, напротив, наиболее выгодными являются простые проценты, а сложная учетная ставка наименее выгодна.

7. Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

Дано:

Простые проценты:

Сложные проценты:

8. Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

Решение:

При дисконтировании по простым учетным ставкам применяется формула: , размер дисконта равен:

P – текущая стоимость векселя;

S – номинальная цена векселя;

d – простая годовая учетная ставка;

n – срок (в годах) до наступления платежа по векселю;

t – количество месяцев от даты учета до даты погашения векселя;

K – количество месяцев в году.

Преобразуем формулу:

Ставка простого процента равна 80%.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле: , где d – сложная годовая учетная ставка.

Ставка сложного процента равна 60%.

9. Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

Решение:

По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ее за 10% годовых.

По простым процентам:

По сложным процентам:

10. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80 % годовых.

Решение:

При ежеквартальном начислении процентов формула наращения имеет вид: