Контрольная работа по "Финансовой математике". 32
Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство ( в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
- Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
- Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
- Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения
остаточной компоненты по R/S-
- Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
- Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Квартал |
Вариант 6 |
1 |
36 |
2 |
46 |
3 |
55 |
4 |
35 |
5 |
39 |
6 |
50 |
7 |
61 |
8 |
37 |
9 |
42 |
10 |
54 |
11 |
64 |
12 |
40 |
13 |
47 |
14 |
58 |
15 |
70 |
16 |
43 |
Решение:
- Находим начальные оценки параметров и индексы сезонности при n=8.
yрасч(t)=а0+а1(t)
n*а0+(Σt)a1=Σyt
(Σt)*a0+(Σt2)a1=Σ(t*yt)
t |
t2 |
y(t) |
t*y(t) |
yрасч(t) |
|
Ft | |
|
1 |
1 |
36 |
36 |
41,917 |
0,859 |
0,860 | |
2 |
4 |
46 |
92 |
42,762 |
1,076 |
1,080 | |
3 |
9 |
55 |
165 |
43,607 |
1,261 |
1,280 | |
4 |
16 |
35 |
140 |
44,452 |
0,787 |
0,780 | |
5 |
25 |
39 |
195 |
45,297 |
0,861 |
||
6 |
36 |
50 |
300 |
46,142 |
1,084 |
||
7 |
49 |
61 |
427 |
46,987 |
1,298 |
||
8 |
64 |
37 |
296 |
47,832 |
0,774 |
||
36 |
204 |
359 |
1651 |
358,996 |
8,000 |
t2=204
8*a0+36*a1=359 | *36
36*a0+204*a1=1651 | *8
288*a0+1296*a1=12924
288*a0+1632*a1=13208
-336*a1=-284
a1=0,8452
а0=41,0716
а0(0)=41,072
а1(0)=0,845
y расч(t)=41,072+0,845*t
yрасч(1)=41,072+0,845*1=41,917
урасч(2)=41,072+0,845*2=42,762
урасч(3)=41,072+0,845*3=43,607
урасч(4)=41,072+0,845*4=44,452
урасч(5)=41,072+0,845*5=45,297
урасч(6)=41,072+0,845*6=46,142
урасч(7)=41,072+0,845*7=46,987
урасч(8)=41,072+0,845*8=47,832
= =0,859
= =1,076
= =1,261
= =0,787
= =0,861
= =1,084
= =1,298
= =0,774
Для нахождения начальных оценок индексов сезонности нужно фактические значения признака разделить на расчетные и полученные значения усреднить по одноименным кварталам.
F 0,1= = =0,860
F 0,2= = =1,080
F 0,3= = =1,280
F 0,4= = =0,780
Первый цикл (Первый год)
t=1 к=1
ур(1)=(а0(0)+а1(0)*1)*F0,1=(
а0(1)=α1* +(1-α1)*(а0(0)+а1(0))
а0(1)=0,3*
+(1-0,3)*(41,072+0,845)=12,
а1(1)=α3*(а0(1)-а0(0))+(1-α3)*
а1(1)=0,3*(41,900-41,072)+(1-
F 1,1=α2* +(1-α2)*F 0,1
F 1,1=0,6*
+(1-0,6)*0,860=0,516+0,344=0,
t=2
у расч(2)=(а0(1)+а1(1)*1)*F 0,2
урасч(2)=(41,900+0,840*1)*1,
а0(2)=α1* +(1-α1)*(а0(1)+а1(1))
а0(2)=0,3*
+0,7*(41,900+0,840)=12,778+29,
а1(2)= α3*(а0(2)-а0(1))+(1-α3)*а1(1)
а1(2)=0,3*(42,696-41,900)+0,7*
F 1,2= α2* +(1-α2)*F 0,2
F 1,2=0,6* +0,4*1,080=0,646+0,432=1,078
t=3
у расч(3)=(а0(2)+а1(2)*1)*F 0,3
урасч(3)=(42,696+0,827*1)*1,
а0(3)=α1* +(1-α1)*(а0(2)+а1(2))
а0(3)=0,3*
+0,7*(42,696+0,827)=12,891+30,
а1(3)= α3*(а0(3)-а0(2))+(1-α3)*а1(2)
а1(3)=0,3*(43,357-42,696)+0,7*
F 1,3= α2* +(1-α2)*F 0,3
F 1,3=0,6* +0,4*1,280=0,761+0,512=1,273
t=4
у расч(4)=(а0(3)+а1(3)*1)*F 0,4
урасч(4)=(43,357+0,777*1)*0,
а0(4)=α1* +(1-α1)*(а0(3)+а1(3))
а0(4)=0,3*
+0,7*(43,357+0,777)=13,462+30,
а1(4)= α3*(а0(4)-а0(3))+(1-α3)*а1(3)
а1(4)=0,3*(44,356-43,357)+0,7*
F 1,4= α2* +(1-α2)*F 0,4
F 1,4=0,6* +0,4*0,780=0,473+0,312=0,785
Второй цикл (Второй год).
t=5
у расч(5)=(а0(4)+а1(4)*1)*F 1,1
урасч(5)=(44,356+0,844*1)*0,
а0(5)=α1* +(1-α1)*(а0(4)+а1(4))
а0(5)=0,3*
+0,7*(44,356+0,844)=13,605+31,
а1(5)= α3*(а0(5)-а0(4))+(1-α3)*а1(4)
а1(5)=0,3*(45,245-44,356)+0,7*
F 2,1= α2* +(1-α2)*F 1,1
F 2,1=0,6* +0,4*0,860=0,517+0,344=0,861
t=6
у расч(6)=(а0(5)+а1(5)*1)*F 1,2
урасч(6)=(45,245+0,858*1)*1,
а0(6)=α1* +(1-α1)*(а0(5)+а1(5))
а0(6)=0,3*
+0,7*(45,245+0,858)=13,915+32,
а1(6)= α3*(а0(6)-а0(5))+(1-α3)*а1(5)
а1(6)=0,3*(46,187-45,245)+0,7*
F 2,2= α2* +(1-α2)*F 1,2
F 2,2=0,6* +0,4*1,078=0,650+0,431=1,081
t=7
у расч(7)=(а0(6)+а1(6)*1)*F 1,3
урасч(7)=(46,187+0,884*1)*1,
а0(7)=α1* +(1-α1)*(а0(6)+а1(6))
а0(7)=0,3*
+0,7*(46,187+0,884)=14,375+32,
а1(7)= α3*(а0(7)-а0(6))+(1-α3)*а1(6)
а1(7)=0,3*(47,325-46,187)+0,7*
F 2,3= α2* +(1-α2)*F 1,3
F 2,3=0,6* +0,4*1,273=0,773+0,509=1,282
t=8
у расч(8)=(а0(7)+а1(7)*1)*F 1,4
урасч(8)=(47,325+0,960*1)*0,
а0(8)=α1* +(1-α1)*(а0(7)+а1(7))
а0(8)=0,3*
+0,7*(47,325+0,960)=14,140+33,
а1(8)= α3*(а0(8)-а0(7))+(1-α3)*а1(7)
а1(8)=0,3*(47,940-47,325)+0,7*
F 2,4= α2* +(1-α2)*F 1,4
F 2,4=0,6* +0,4*0,785=0,463+0,314=0,777
Третий цикл (Третий год).
t=9
у расч(9)=(а0(8)+а1(8)*1)*F 2,1
урасч(9)=(47,940+0,857*1)*0,
а0(9)=α1* +(1-α1)*(а0(8)+а1(8))
а0(9)=0,3*
+0,7*(47,940+0,857)=14,634+34,
а1(9)= α3*(а0(9)-а0(8))+(1-α3)*а1(8)
а1(9)=0,3*(48,792-47,940)+0,7*
F 3,1= α2* +(1-α2)*F 2,1
F 3,1=0,6* +0,4*0,861=0,516+0,344=0,860
t=10
у расч(10)=(а0(9)+а1(9)*1)*F 2,2
урасч(10)=(48,792+0,856*1)*1,
а0(10)=α1* +(1-α1)*(а0(9)+а1(9))
а0(10)=0,3*
+0,7*(48,792+0,856)=14,986+34,
а1(10)= α3*(а0(10)-а0(9))+(1-α3)*а1(9)
а1(10)=0,3*(49,740-48,792)+0,
F 3,2= α2* +(1-α2)*F 2,2
F 3,2=0,6* +0,4*1,081=0,651+0,432=1,083
t=11
у расч(11)=(а0(10)+а1(10)*1)*F 2,3
урасч(11)=(49,740+0,883*1)*1,
а0(11)=α1* +(1-α1)*(а0(10)+а1(10))
а0(11)=0,3*
+0,7*(49,740+0,883)=14,977+35,
а1(11)= α3*(а0(11)-а0(10))+(1-α3)*а1(
а1(11)=0,3*(50,413-49,740)+0,
F 3,3= α2* +(1-α2)*F 2,3
F 3,3=0,6* +0,4*1,282=0,762+0,513=1,275
t=12
у расч(12)=(а0(11)+а1(11)*1)*F 2,4
урасч(12)=(50,413+0,820*1)*0,
а0(12)=α1* +(1-α1)*(а0(11)+а1(11))
а0(12)=0,3*
+0,7*(50,413+0,820)=15,444+35,
а1(12)= α3*(а0(12)-а0(11))+(1-α3)*а1(
а1(12)=0,3*(51,307-50,413)+0,
F 3,4= α2* +(1-α2)*F 2,4
F 3,4=0,6* +0,4*0,777=0,468+0,311=0,779
Четвертый цикл (Четвертый год).
t=13
у расч(13)=(а0(12)+а1(12)*1)*F 3,1
урасч(13)=(51,307+0,842*1)*0,
а0(13)=α1* +(1-α1)*(а0(12)+а1(12))
а0(13)=0,3*
+0,7*(51,307+0,842)=16,395+36,
а1(13)= α3*(а0(13)-а0(12))+(1-α3)*а1(
а1(13)=0,3*(52,899-51,307)+0,
F 4,1= α2* +(1-α2)*F 3,1
F 4,1=0,6* +0,4*0,860=0,533+0,344=0,877
t=14
у расч(14)=(а0(13)+а1(13)*1)*F 3,2
урасч(14)=(52,899+1,067*1)*1,
а0(14)=α1* +(1-α1)*(а0(13)+а1(13))
а0(14)=0,3*
+0,7*(52,899+1,067)=16,066+37,
а1(14)= α3*(а0(14)-а0(13))+(1-α3)*а1(
а1(14)=0,3*(53,842-52,899)+0,
F 4,2= α2* +(1-α2)*F 3,2
F 4,2=0,6* +0,4*1,083=0,646+0,433=1,079
t=15
у расч(15)=(а0(14)+а1(14)*1)*F 3,3
урасч(15)=(53,842+1,030*1)*1,
а0(15)=α1* +(1-α1)*(а0(14)+а1(14))
а0(15)=0,3*
+0,7*(53,842+1,030)=16,471+38,
а1(15)= α3*(а0(15)-а0(14))+(1-α3)*а1(
а1(15)=0,3*(54,881-53,842)+0,
F 4,3= α2* +(1-α2)*F 3,3
F 4,3=0,6* +0,4*1,275=0,765+0,510=1,275
t=16
у расч(16)=(а0(15)+а1(15)*1)*F 3,4
урасч(16)=(54,881+1,033*1)*0,
а0(16)=α1* +(1-α1)*(а0(15)+а1(15))
а0(16)=0,3*
+0,7*(54,881+1,033)=16,560+39,
а1(16)= α3*(а0(16)-а0(15))+(1-α3)*а1(
а1(16)=0,3*(55,700-54,881)+0,
F 4,4= α2* +(1-α2)*F 3,4
F 4,4=0,6* +0,4*0,779=0,463+0,312=0,775
Для анализа, исследования и прогнозирования берут модель с последнего шага корректировки.
у расч(t+к)=(а0(16)+а1(16)*к)*F t-l+к
у расч(t+к)= (55,700+0,969*к)*F t-l+к адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса.
F t: F 4,1=0,877; F 4,2=1,079; F 4,3=1,275; F 4,4=0,775
2. Оценим точность модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации
S=
|
t |
y(t) |
yрасч(t) |
E(t) |
| |
1 |
36 |
36,049 |
-0,049 |
0,0014 | |
2 |
46 |
46,159 |
-0,159 |
0,0035 | |
3 |
55 |
55,709 |
-0,709 |
0,0129 | |
4 |
35 |
34,425 |
0,575 |
0,0164 | |
5 |
39 |
38,872 |
0,128 |
0,0033 | |
6 |
50 |
49,699 |
0,301 |
0,0060 | |
7 |
61 |
59,921 |
1,079 |
0,0177 | |
8 |
37 |
37,904 |
-0,904 |
0,0244 | |
9 |
42 |
42,014 |
-0,014 |
0,0003 | |
10 |
54 |
53,669 |
0,331 |
0,0061 | |
11 |
64 |
64,899 |
-0,899 |
0,0140 | |
12 |
40 |
39,808 |
0,192 |
0,0048 | |
13 |
47 |
44,848 |
2,152 |
0,0458 | |
14 |
58 |
58,445 |
-0,445 |
0,0077 | |
15 |
70 |
69,962 |
0,038 |
0,0005 | |
16 |
43 |
43,557 |
-0,557 |
0,0130 | |
136 |
777 |
775,94 |
1,06 |
0,1778 |
S= =1,11%
Так как средняя относительная ошибка аппроксимации равна 1,11%, т.е. меньше 5%, то модель считается точной.
3.Оценим адекватность построенной модели
а) случайность остаточной компоненты по критерию пиков
m>[ ]
m- количество поворотных точек или пиков
m>[ ]
m>6
t |
y(t) |
yрасч(t) |
E(t) |
|
m | |
1 |
36 |
36,049 |
-0,049 |
0,0014 |
- | |
2 |
46 |
46,159 |
-0,159 |
0,0035 |
0 | |
3 |
55 |
55,709 |
-0,709 |
0,0129 |
1 | |
4 |
35 |
34,425 |
0,575 |
0,0164 |
1 | |
5 |
39 |
38,872 |
0,128 |
0,0033 |
1 | |
6 |
50 |
49,699 |
0,301 |
0,0060 |
0 | |
7 |
61 |
59,921 |
1,079 |
0,0177 |
1 | |
8 |
37 |
37,904 |
-0,904 |
0,0244 |
1 | |
9 |
42 |
42,014 |
-0,014 |
0,0003 |
1 | |
10 |
54 |
53,669 |
0,331 |
0,0061 |
1 | |
11 |
64 |
64,899 |
-0,899 |
0,0140 |
1 | |
12 |
40 |
39,808 |
0,192 |
0,0048 |
0 | |
13 |
47 |
44,848 |
2,152 |
0,0458 |
1 | |
14 |
58 |
58,445 |
-0,445 |
0,0077 |
1 | |
15 |
70 |
69,962 |
0,038 |
0,0005 |
1 | |
16 |
43 |
43,557 |
-0,557 |
0,0130 |
- | |
136 |
777 |
775,94 |
1,06 |
0,1778 |
m=11
11>6
Свойство выполняется
б) независимость уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32
d расч=
|
t |
y(t) |
yрасч(t) |
E(t) |
|
m |
Et-Et-1 |
(Et-Et-1)2 |
Et2 | |
|
1 |
36 |
36,049 |
-0,049 |
0,0014 |
- |
- |
0,002 | ||
2 |
46 |
46,159 |
-0,159 |
0,0035 |
0 |
-0,11 |
0,012 |
0,025 | |
3 |
55 |
55,709 |
-0,709 |
0,0129 |
1 |
-0,55 |
0,303 |
0,503 | |
4 |
35 |
34,425 |
0,575 |
0,0164 |
1 |
1,284 |
1,649 |
0,331 | |
5 |
39 |
38,872 |
0,128 |
0,0033 |
1 |
-0,447 |
0,200 |
0,016 | |
6 |
50 |
49,699 |
0,301 |
0,0060 |
0 |
0,173 |
0,030 |
0,091 | |
7 |
61 |
59,921 |
1,079 |
0,0177 |
1 |
0,778 |
0,605 |
1,164 | |
8 |
37 |
37,904 |
-0,904 |
0,0244 |
1 |
-1,983 |
3,932 |
0,817 | |
9 |
42 |
42,014 |
-0,014 |
0,0003 |
1 |
0,89 |
0,792 |
0,000 | |
10 |
54 |
53,669 |
0,331 |
0,0061 |
1 |
0,345 |
0,119 |
0,110 | |
11 |
64 |
64,899 |
-0,899 |
0,0140 |
1 |
-1,23 |
1,513 |
0,808 | |
12 |
40 |
39,808 |
0,192 |
0,0048 |
0 |
1,091 |
1,190 |
0,037 | |
13 |
47 |
44,848 |
2,152 |
0,0458 |
1 |
1,96 |
3,842 |
4,631 | |
14 |
58 |
58,445 |
-0,445 |
0,0077 |
1 |
-2,597 |
6,744 |
0,198 | |
15 |
70 |
69,962 |
0,038 |
0,0005 |
1 |
0,483 |
0,233 |
0,001 | |
16 |
43 |
43,557 |
-0,557 |
0,0130 |
- |
-0,595 |
0,354 |
0,310 | |
136 |
777 |
775,94 |
1,06 |
0,1778 |
-0,508 |
21,518 |
9,045 |
dрасч= =2,38
- |
? |
+ |
d' |
|||
d1 |
d2 |
2 |
4 |
Находим d’
d’=4-dрасч
d’=4-2,38=1,62
Свойство выполняется, остатки независимы
в) нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21
R/S=
SE=
SE= =0,773
R/S= =3,953
3<3,953<4,21
Свойство выполняется
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед
Для прогнозирования берут модель с последнего шага корректировки
у расч(16+к)=(61,030+0,955*к)*F (16+к-4)
F 4,1=0,877; F 4,2=1,079; F 4,3=1,275; F 4,4=0,775
Пятый цикл (Пятый год)
t=17 к=1
у расч(17)=(а0(16)+а1(16)*1)*F 4,1
урасч(17)=(55,700+0,969*1)*0,
t=18 к=2
у расч(18)=(а0(16)+а1(16)*2)*F 4,2
урасч(18)=(55,700+0,969*2)*1,
t=19 к=3
у расч(19)=(а0(16)+а1(16)*3)*F 4,3
урасч(19)=(55,700+0,969*3)*1,
t=20 к=4
у расч(20)=(а0(16)+а1(16)*4)*F 4,4
урасч(20)=(55,700+0,969*4)*0,
5. Отразим на графике
фактические, расчетные и
Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- % R, %K и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Вариант 6 | |||
Дни |
Цены | ||
максимальная |
минимальная |
закрытия | |
1 |
600 |
550 |
555 |
2 |
560 |
530 |
530 |
3 |
536 |
501 |
524 |
4 |
545 |
521 |
539 |
5 |
583 |
540 |
569 |
6 |
587 |
562 |
581 |
7 |
582 |
561 |
562 |
8 |
573 |
556 |
573 |
9 |
610 |
579 |
592 |
10 |
645 |
585 |
645 |
ЕМАt=к*Сt+(1-к)*EMAt-1 –формула экспоненциальной скользящей средней, где
к- параметр сглаживания;
n- порядок скользящей средней (интервал сглаживания)
n=5
к=
к= =0,33
При определении первого значения ЕМАt берется простая скользящая средняя исходя из порядка скользящей средней.
Определим экспоненциальную скользящую среднюю
ЕМА5= = =543,400
ЕМА6=ЕМА5+0,33*(P6-EMA5)
ЕМА6=543,4+0,33*(581-543,4)=
ЕМА7=ЕМА6+0,33*(P7-EMA6)
ЕМА7=555,808+0,33*(562-555,
ЕМА8=ЕМА7+0,33*(P8-EMA7)
ЕМА8=557,851+0,33*(573-557,
ЕМА9=ЕМА8+0,33*(P9-EMA8)
ЕМА9=562,850+0,33*(592-562,
ЕМА10=ЕМА9+0,33*(P10-EMA9)
ЕМА10=572,470+0,33*(645-572,
Так как линия скользящей средней находится ниже ценового графика, то ценовой тренд является восходящим.
Определим момент
Mt=Pt-Px
M5=P5-P1
M5=569-555=14
M6=P6-P2
M6=581-530=51
M7=P7-P3
M7=562-524=38
M8=P8-P4
M8=573-539=34
M9=P9-P5
M9=592-569=23
M10=P10-P6
M10=645-581=64
Критическое значение Мt=0. Так как момент с 5 по 10 день больше нуля, то ценовой тренд является восходящим.
Определим скорость изменения цен
ROC5=
ROC5= =102,523
ROC6=
ROC6= =109,623
ROC7=
ROC7= =107,252
ROC8=
ROC8= =106,308
ROC9=
ROC9= =104,042
ROC10=
ROC10= =111,015
Критическое значение ROCt =100 %. Так как скорость изменения цен с 5 по 10 день больше 100 %, то ценовой тренд является восходящим.
Определим индексы относительной силы
RSIt=
RS=
RSI5=
AU(1-5)=15+30=45
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
- Контрольная работа по "Финансовой математике"
