Контрольная работа по "Финансовой математике". 8

 

 

    1. Под какой (простой)  процент надо отдать  капитал, чтобы  через 12 лет он  утроился? (5 б.)

    Решение:

    Допустим, мы положили капитал в размере 100 000 рублей, соответственно, по условию задачи увеличиваем его в три раза, получаем:

    100 000 * 3 = 300 000

    Исходя из формулы простых процентов: 

    S t = (1+j*t) * S0

    Приступаем  к методу подстановки, полученных и  известных значений (примечание /-дробь): 

    300 000 = (1 + j/100 * 12) * 100 000, где  j – процентная ставка 

    Далее решаем уравнение арифметическим способом: 

    300 000 = (1 + (j/100 * 12/1)) * 100 000

    300 000 = (1 + 12j/100) * 100 000

    300 000/100 000 = 1 + 12j/100

    3 = 1 + 12j/100

    3 –  1 = 12j/100

    2 = 12j/100

    Приведем  значения к общему знаменателю:

    2/1 = 12j/100

    Находим процентную ставку:

    j = 2 * 100 / 12

    j = 16,67

    Проверка:

    (1 + 16,67/100 * 12) * 100 000 = 300 040 ≈ 300 000 рублей

    Ответ: Чтобы через 12 лет капитал утроился надо его отдать под 16,67% годовых  

    2. Клиент вложил  в банк 100 000 руб.  Какая сумма будет  на счету этого  клиента через  год, если банк  начисляет проценты по номинальной ставке при ежемесячном начислении 5 %? 

    Дано: Первоначальная сумма = 100 000 руб.

               Период = 1 год

               Ежемесячное начисление = 5 %

    Решение:

                Сумма через 1 год = 100 000 * 5% * 12мес. + 100 000 = 160 000 рублей

                   

    3. Банк начисляет  проценты по ставке 10% годовых. Определить  сумму вклада, необходимую  для накопления  через 2 года 500 тыс.  руб. в случае  простых и сложных  процентов. 

    Ответ:

    1) Простые проценты:

       St = (1 + j * t ) * S0

         500 000 = (1 + 0,10 * 2) * S0

         S0 = 500 000 :1, 2

       S0  = 416 666, 67

    2) Сложные проценты:

                            t

        St = (1 + j ) * S0

                                                            2

        500 000 = (1 + 0, 10)  * S0

                                                                         2

        S0 = 500 000 : ( 1 + 0, 10)  = 500 000 : 1, 21 = 413 223, 14 рублей

    Ответ: Простые проценты   S0  = 416 666, 67

                Сложные проценты   S0  = 413 223, 14 

    4. Ссуда размером  в 100000 руб. выдана на 30 лет под номинальную ставку 10 % годовых. Должник по контракту обязан выплачивать равными долями долг вместе с процентами. Определить сумму ежемесячного платежа и общую сумму всех платежей. 

    Ответ:

1. Переплата в год = 100 000*10 % = 10 000 рублей;
2. Переплата за 30 лет = 10 000 * 30 = 300 000 рублей;
3. Общая сумма всех платежей = 300 000 +100 000 = 400 000;
4. Общее количество месяцев за 30 лет = 30*12 = 360 месяцев
5. Ежемесячный платеж = 400 000 : 360 = 1 111,11 рублей.

         Ответ: Общая сумма платежей = 400 000 рублей

                     Сумма ежемесячного платежа =  1 111,11 рублей 

    5. Иван Иванович  Петров хочет вложить  30 000 руб., чтобы через  5 лет получить 40 000 руб. Под какую  номинальную процентную  ставку при ежемесячном  начислении процентов  он должен вложить свои деньги? 

             Решение: 

       
 

       

     Ъ 
 

       

     i = (1,0048-1)*1200 

     i = 5,76 

     Проверим:

       
 
 

     Ответ: Под номинальную процентную ставку 5,76 %. И.И. Петров должен вложить 30 000 рублей чтобы через 5 лет получить 40 000 рублей. 

    6. Вклад в сумме  500 тыс. руб. положен  в банк на полгода  с ежемесячным  начислением сложных  процентов по номинальной  ставке 16 % годовых.  Определить реальный  доход вкладчика  для двух ожидаемых  месячных уровней  инфляции 5 % и 3 %.  

 

    7. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10 % годовых.  

    Решение:

    Эффективная  ставка  ежеквартального  начисления   процентов , исходя из 10% годовых, составит:

i = (1 + j / m)^m - 1 = (1 + 0,1 / 4)⁴ - 1 = 0,1038.

    Ответ: 0,1038 или 10,38% 

    8. Три платежа 8 тыс.  руб., 10 тыс. руб.  и 4 тыс. руб.  с выплатами 1 апреля,15 июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля этого же года выплачиваются 20 тыс. руб. и 2.6 тыс. руб. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25 % годовых. Определить дату выплаты суммы 2.6 тыс. руб. для различных вариантов краткосрочного инвестирования.

     

    Решение:

    1 апреля – 91день;

    15 июня – 166 дней;

    1 сентября – 244 дня

    8 000 * (1 + (х-274:365) * 0,25) + 10 000 * (1 + (х-199:365) * 0,25) + 4 000 * (1 + (х-121:365) * 0,25) = 20 (1 + (х-183:365) * 0,25)

Расчет произведен, исходя из ниже приведенной  формулы: 
 
 
 

    Ответ: остаток 2,6тыс.руб. должен быть заплачен 1 декабря этого же года.

    9. Долг в сумме  100 млн. руб. выдан  на 5 лет под 20 % годовых. Для его  погашения создан  погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке 22 %. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами. Необходимо найти размеры срочных уплат и составить план  формирования фонда.

    Решение:

    Для того, чтобы погасить долг с процентами, необходимо к концу срока накопить в фонде следующую сумму:

                              n                                                                5           

    D = (1 + g) = 100 000 000 * (1 + 0,20) =248 832 000 рублей, где

    D - сумма займа;

    g - % ставка;

    n = срок кредитования.

    Для того, чтобы определить размер ежегодного платежа в накопительный фонд, составляем уравнение, исходя из формулы:

  получим уравнение:

                                   5                                                                                   

    R * ((1 + 0,22) – 1) / 0,22 = 248 832 000

    R = 248 832 000 : 7,74 = 32 148 837,21 рублей

    32 148 837,21 рублей – размер годового платежа в погасительный фонд.

    К концу первого года размер фонда  равен величине первой выплаты, то есть 32 148 837,21 рублей.

    В конце второго года размер фонда  увеличится на сумму процентов, начисленных  на первую выплату за один год, то есть на 32 148 837,21 · 0,22 = 7 072 744,19 рублей и еще на 32 148 837,21 рублей после второй выплаты. Суммарный прирост: 7 072 744,19 + 32 148 837,21 = 39 221 581,40 рублей. Таким образом, в конце второго года размер фонда составляет 32 148 837,21 +  39 221 581,40= 71 370 418,61 рублей. и т.д. 

    План  формирования фонда 

 

    10. Составить план  погашения потребительского  кредита на сумму  150 000 руб., который открыт на 3 года по ставке 14 % годовых. Погашение кредита ежеквартально. Определить стоимость кредита.  

    Ответ:

    Дано: Размер кредита = 150 000, 00

                    % ставка = 14 %

                   Срок погашения = 3 года 

         Решение:

    Общее количество начисленных процентов  за 3 года (Р)= DTj = 150 000 * 3 * 0,14 = 63 000 руб.

    ∑ yt – общая сумма расходов по обслуживанию кредита

     

    ∑ yt = D + P = 150 000 + 63 000 = 213 000 рублей.

    ∑ yt = (D + P) : Tm = 213 000 : 3 * 4 = 17 750 рублей

    N – сумма последовательных номеров выплат.

    N = pT ((pT + 1) : 2) = 3*4 ((3 * 4 + 1) : 2) = 78

    Pt = Величина процентного платежа

    Pt = P * (t/N) = 63 000 * (12 …./ 78) = 9 692,31 рублей и т.д.

    Dt = yt – Pt = 17 750 – 9 692.31 = 8 057,69 рублей и т.д. 

Расчет погашения кредита сроком на 3 года

Ответ: Стоимость  кредита = 63 000 рублей