Контрольная работа по "Финансовой математике". 3

№1. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить сумму начисленных процентов и сумму погашения долгового обязательства (3-мя способами). 

Решение:

Простые проценты используют при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов. Формула наращения простыми процентами имеет вид:

F = Р*(1 + nr),

где F – наращенная сумма;

      Р – исходный капитал;

      n – срок начисления процентов;

      r – ставка процентов.

Тогда процентный доход (I) определяется по формуле:

I = P*n*r

      Когда продолжительность (n) финансовой операции меньше года, процентный доход обычно определяется по формуле:

I =

где t – продолжительность финансовой операции в днях;

      Т – количество дней в году.

При определении  продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения  ссуды считать за один день. В  зависимости от того, чему равной берется  продолжительность года, получают два  варианта процентов:

-точные  проценты, определяемые исходя из  точного числа дней в году (365 или 366);

-обыкновенные  проценты, определяемые исходя из  приближенного числа дней в  году (360).

При определении  продолжительности периода, на который  выдана ссуда, также возможны два варианта расчетов:

-при  первом принимается в расчет  точное число дней кредитования (расчет ведется по дням);

-при  втором принимается в расчет  приблизительное число дней кредитования (исходя из продолжительности  месяца в 30 дней).

Точное  число дней, определяемых по таблице или непосредственно (календарь), составит (с 5 мая до 7 ноября) 186 дней.

Приблизительное число дней кредита равно: 25 дней мая (30 – 5) + 30 дней июня + 30 дней июля + 30 дней августа + 30 дней сентября + 30 дней октября + 7 дней ноября = 182 дней.

I. Английская практика наращивания процентов. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней.

Процентный  доход:

I = = = 12,64 руб.

Наращенная  сумма:

F = 100 + 12,64 = 112,64 руб.

II.Французская практика наращивания процентов. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней.

Процентный  доход:

I = = = 12,92 руб.

Наращенная  сумма:

F = 100 + 12,92 = 112,92 руб.

III. Германская практика наращивания процентов. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней.

Процентный  доход:

I = = = 12,74 руб.

Наращенная  сумма:

F = 100 + 12,74 = 112,74 руб.

Ответ: сумма начисленных процентов по трем видам практик составит: английской – 12,64 руб., французской – 12,92 руб., германской – 12,74 руб.

Сумма погашения долгового обязательства (сберегательный сертификат) по трем видам практик составит: английской – 112,64 руб., французской – 112,92 руб., германской – 112,74 руб. 

№2. За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 125 000 руб. достигнет 140 000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8% раз в году и поквартально?

Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам. 

Решение: 

В тех  случаях, когда известны величина долга  в начале и конце срока ссуды, а также процентная ставка, можно определить срок этой ссуды. Для простой ставки наращения срок ссуды определяется решением относительно n:

n =

где S – наращенная сумма;

      Р – исходный капитал;

      n – срок начисления процентов;

      i – ставка процентов.

Для простой  учетной ставки наращения срок ссуды определяется решением относительно n:

n =

Таким образом, срок начисления процентов составит:

- по  простой ставке наращения

n = ((140000/125000)-1)/0,08 = (1,12-1) /0,08 = 0,12/0,08 =1,5 (года)

- по  простой учетной ставке наращения

n = (1-(125000/140000))/0,08 = 1,34 (года) 

Формулы для определения срока ссуды и величины процентной ставки при  начислении по сложным процентам следуют для расчета наращенной суммы:

Таким образом, срок наращения при условии  начисления по сложной процентной ставке раз в году составит:

n = = ln(140000/125000) / ln(1+0,08) = 1,47 (года)

Срок  наращения при условии начисления по сложной процентной ставке раз в квартал составит:

n = = ln(140000/125000) / (4*ln(1+(0,08/4))) = 1,43 (года)

Ставка  эффективная учетная - сложная годовая  учетная ставка, эквивалентная (по финансовым результатам) номинальной учетной ставке, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m. 

№3. Простая процентная ставка по векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:

А) на 2 года;

Б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть  варианты:

1)временная  база ставок одинакова  – 360 дней;

2)временная  база процентной  ставки – 365 дней, учетной – 360 дней.

Решение:

При учёте  по простой учётной ставке дисконт взимается по отношению к общей сумме обязательства и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

P = S − S * n * d = S*(1 − nd),

где

P — сумма выплаты

S — общая сумма обязательства (сумма выплаты плюс дисконт)

d — учётная ставка, выраженная в долях

n — число периодов до уплаты

A) Эквивалентная учетная ставка (уравняем множители наращения простых процентов, т.к. итоговая сумма будет одинакова для обоих случаев):

(1 + n*i) = 1 / (1 – n*d)

1 +  2*0,1 = 1 / (1 – 2*d)

1,2 = 1 / (1 – 2*d)

1 –  2*d = 0,83

2d = 0,17

d = 0,085 = 8,5%

Б) Рассчитаем эквивалентную учетную ставку для периода 250/360

(1 + n*i) = 1 / (1 – n*d)

1 + 250/360*0,1 = 1 / (1 – 250/360*d)

1,0694 = 1 / (1 – 250/360*d)

1 –  250/360*d = 0,935

25/36*d = 0,0649

d = 0,093 = 9,3%

Рассчитаем  эквивалентную учетную ставку для периода 250/365 – для процентной ставки и 250/360 для учетной.

1 + 250/365*0,1 = 1 / (1 – 250/360*d)

1,06849 = 1 / (1 – 250/360*d)

1 –  250/360*d = 0,935897

25/36*d = 0,0641

d = 0,0923 = 9,23% 

№4. Ставка по облигации номиналом 3500 рублей составляет 7%. Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты:

А)используя  антисипативные проценты;

Б)используя  декурсивные проценты. 

Решение:

A) Простые антисипативные проценты:

антисипативные проценты: 

3500 / (1 – n*0,07) = 3500*2

1 –  0,07n = 0,5

0,07n = 0,5

n = 7,14 – т.е. необходимо 7,14 лет при простых антисипативных процентах.

Сложные антисипативные проценты:

S = P * 1/(1 – d)ⁿ

3500 / (1 –  0,07)ⁿ = 7000

(1 –  0,07)ⁿ = 0,5

0,93ⁿ = 0,5

2*x = 32

n = 9,55 т.е. необходимо 9,55 лет при сложных антисипативных процентах

Б) простые декурсивные  проценты:

3500*(1 + n*0,07) = 7000

0,07n = 1

n= 14,29 – необходимо 14,29 лет при простых декурсивных процентах

Сложные декурсивные проценты:

3500 (1 + 0,07)ⁿ = 7000

(1 + 0,07)ⁿ = 2

1,07ⁿ = 2

n = 10,24 - необходимо 10,24 лет при сложных декурсивных процентах 

№5. В условиях выпуска сертификата Сбербанка номиналом 1200 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения:

-за 5 лет – 2300 руб.

-за 7 лет – 2595 руб.

Определить  уровни годовых сложных  ставок процента для  указанных сумм наращения. 

Решение:

Формула сложных процентов:

P_t = P(1 + i)^t, где

t  - количество периодов наращения,

i  - ставка процента,

P – изначальная сумма,

P_t – наращенная сумма. 

Рассчитаем  годовую ставку для случая 5 лет:

1200*(1 + i)⁵ = 2300

(1 + i)⁵ = 1,917

1 + i = 1,13896

i = 0,13896 = 13,896%

Рассчитаем  годовую ставку для случая 7 лет:

1200*(1 + i)⁷ = 2595

(1 + i)⁷ = 2,1625

1 + i = 1,1165

i = 0,1165 = 11,65% 

№6. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года предусмотрен следующий порядок начисления процентов:

-первый  год - 60%;

-в  каждом последующем  полугодии ставка  повышается на 5%.

      Требуется:

1)определить  наращенную стоимость  облигации по простой  процентной и учетной  ставкам;

2)составить  план наращения  первоначальной стоимости  по простым процентам;

3)рассчитать  наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

4)составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

5)построить  графики наращения  стоимости по простым  и сложным процентам;

6)проанализировать  доходность вариантов. 

Решение:

1) Наращенная  стоимость по простой процентной  ставке:

S = 10 000*(1*0,6) + 10 000*(0,5*0,65) + 10 000*(0,5*0,70) + 10 000*(0,5*0,75) + 10 000 = 26500 руб.

Наращенная  стоимость по простой учетной  ставке:

S = P/(1-d T )

S1год = 10 000/(1 - 0,6*1) = 25000 руб.

Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S3полугод = 10 000/(1 - 0,65*0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I 3полугод  = 14 815 – 10 000 = 4 815

S4полугод = 10 000/(1 - 0,7*0,5) = 15385 руб.

I 4полугод  = 15385 – 10000 = 5385

S5полугод = 10 000/(1 - 0,75*0,5) = 16 000

I 5полугод  = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

Суммарная наращенная стоимость по учетной  ставке:

S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.  

2) составить  план наращения первоначальной  стоимости по простым процентам; 

 

3) рассчитать  наращенную стоимость облигации  по сложной процентной и учетной  ставкам;

При начислении сложных процентов применяется  формула

S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

S = 10 000 * (1 + 0,6*1)*(1 + 0,65*0,5)*(1 + 0,7*0,5)*(1 + 0,75*0,5) = 39 352 руб.  

Сложная учетная ставка:

S = 

S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб. 

4) составить  план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам; 

 

5) построить  график наращения стоимости по простым и сложным процентам; 

 

     6) проанализировать доходность вариантов  наращения стоимости с позиций  кредитора и заемщика.

     После первого года простая учетная  ставка и сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгодна кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 лет.

     Из  графика ясно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант  сложной учетной ставки. Затем  идут сложные проценты, простая учетная  ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     Для заемщика ситуация противоположна –  наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна  сложная учетная ставка.

     Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой  дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом. 

№7. Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых. 

Решение:

Сначала определим число лет при начислении простых процентов.

Формула простых процентов:

P_n = P(1+ni), где

P_n – наращенная сумма,

i  - ставка  процента,

P –  изначальная сумма,

n  - число периодов начисления.

Составим  уравнение.

Первоначальный  капитал увеличится в 5 раз, следовательно  P_n = 5P 

5P = P(1 + n*0,15)

1 + n*0,15 = 5

0,15n = 4

n = 26,7 т.е. примерно через 26,7 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах. 

Формула сложных процентов:

P_t = P(1 + i)^t, где

t  - количество  периодов наращения,

i  - ставка  процента,

P –  изначальная сумма,

P_t – наращенная сумма.

Первоначальный капитал увеличится в 5 раз, следовательно P_n = 5P 

5P = P(1 + 0,15)^t

(1,15)^t = 5

t = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах 

№8.Вексель  с обязательством 15 тыс. руб. учитывается  банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента. 

Решение:

Формула расчета дисконта банка:

D = d*S*n, где

d –  годовая учетная ставка,

n –  срок до даты учета,

S –  наращенная сумма.

d = D/ S*n

d = 3 000 / 15 000 * 3/12 = 0,8 т.е. 80 %

 

Другой  способ:

P = S(1 - dt), где

d –  банковский дисконт,

t – временная база,

 

12 = 15 (1 – d*0,25)

d*0,25 = 0,2

d = 0,8

 

№9. Вексель погашается через 3 года за 5 тыс. руб. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

 

Решение:

     По-видимому, в условии пропущена ставка процентов. Примем ставку процентов за 10% годовых.

Тогда:

P = S(1 - dt)

P = 5 000 (1 – 0,1*5) = 2500 руб. – при простых процентах

P = S(1 - d)ⁿ

P = 5000 (1 – 0,1)⁵ = 2952 руб. – при сложных процентах

 

№10. Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 80% годовых.

 

Решение:

Простые проценты:

P_n = P(1+ni) для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же)

P_n = 10 000 000 (1 + 2*0,8) = 26000000 руб.

Сложные проценты:

P_t = P(1 + i)^t, процентная ставка за квартал t = 80/4 = 20%

P_t = 10 000 000 (1 + 0,2)^2*4 = 42 998 169,6 руб.

 
 
 
 
 
 

 

Полученные  результаты: