Оглавление 
 

Задание 1 3

Задание 2 15

Задание 3 26

Список использованной литературы 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 1

 

    Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

    Таблица 1

    Исходные  значения заданного временного ряда

 

    Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

    -    случайности остаточной компоненты  по критерию пиков;

    -   независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

    - нормальности распределения остаточной  компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

    Решение:

    Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий общий  вид:

                            

                        (1)

    где k – период упреждения;

     - расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

     , , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

     - значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

    L – период сезонности (для квартальных данных L = 4).

    Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

                            

                 (2) - (4)

    Параметры сглаживания α₁, α₂ и α₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

    Из  формул видно, что для расчета  и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е для t=1-1=0).

    Значения  и имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные.

    Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым восьми значениям заданного временного ряда (Таблица 2).

    Линейная  модель имеет вид: . Оценим коэффициенты линейной модели и с помощью метода наименьших квадратов:

    

 
 
 
 

    Таблица 2

    Расчёт  коэффициентов линейной модели

 
 

    

    

    

    

    

    _{Решение системы:}

    

    

    Линейная  модель с учетом полученных коэффициентов  имеет вид:

    

    Коэффициент сезонности для 1-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 2-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 3-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 4-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Перейдем к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса. Путём перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=0, k=1, находим Y₁:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=1, находим:

    

    

    

    Из  уравнения (1), полагая t=2, Y₂:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=2, находим:

    

      Из уравнения (1), полагая t=3, Y₃:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=3, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=4, Y₄:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=4, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=5, Y₅:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=5, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=6, Y₆:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=6, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=7, Y₇:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=7, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=8, Y₈:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=8, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=9, Y₉:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=9, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=10, Y₁₀:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=10, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=11, Y₁₁:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=11, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=12, Y₁₂:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=12, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=13, Y₁₃:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=13, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=14, Y₁₄:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=14, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=15, Y₁₅:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=15, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=16, Y₁₆:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=16, находим:

    

    Таблица 3

    

    Модель  Хольта-Уинтерса 
 

    Модель  Хольта-Уинтерса:

    

    Проверка  качества модели:

    Абсолютная погрешность (должна удовлетворять определённым условиям точности и адекватности).

    Таблица 4

    Промежуточные расчёты для оценки адекватности модели

 

    Проверка  точности модели:

    Условие точности выполнено, если средняя относительная  погрешность  (в табл.  Модель Хольта-Уинтерса в столб.8) в среднем не превышает 5%. У нас условие точности выполнено, т.к.

     %

     %

    Проверка  условия адекватности:

    Для адекватности модели ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

• Проверка случайности уровней ряда остатков.

    

    При N = 16:

    

    Р = 10 – число поворотных точек. Так как p > q, то условие случайности выполнено.

• Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции:

    а) по d-критерию Дарбина-Уотсона,

    б) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

    а). 

    Так как d > 2, то присутствует отрицательная автокорреляция, тогда d надо уточнить, вычитая полученное из 4:

    

    Так как  , то критерий ответа не дает.

    б). 

    Так как > , то уровни ряда остатков зависимы, в ряду остатков присутствует автокорреляция.

• Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по RS – критерию:

    

      = 2,356 - максимальное значение уровней ряда остатков ,

      = -1,633 - минимальное значение уровней ряда остатков ,

     - среднеквадратическое  отклонение. 

    

    Так как RS попадает в интервал от 3 до 4,21, то уровни ряда  подчиняются нормальному распределению.

    Таким образом, почти все условия адекватности и точности выполнены. Т.е. модель удовлетворительна и можно проводить прогноз показателя Y(t) на 4 квартала вперед.

    Расчёт  прогнозных значений экономического показателя (на год вперёд, с t=17 по t=20):

    с помощью а(16) и b(16) (см. табл. Модель Хольта-Уинтерса) по формуле (1) найдём прогнозные Y(t):

    

    

    Рис.1. График фактических, расчетных и  прогнозных данных по модели Хольта-Уинтерса 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 2

 

    Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

    - экспоненциальную  скользящую среднюю;

    - момент;

    - скорость  изменения цен;

    - индекс  относительной силы;

    - %R, %K, %D.

    Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

    Таблица 5

    Исходные  данные

 

    Решение:

    Рассчитаем  экспоненциальную скользящую среднюю:

    

    где - значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t;

     - цена закрытия t- го дня,

     - коэффициент. 

    Интервал  сглаживания n=5.

    Тогда коэффициент К будет равен:

    Вычислим  простую среднюю  для первых  5 дней:

    

    

    

    

    

    

    

    Таблица 6