Контрольная работа по "Финансовой математике". 26

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических методов и моделей 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине финансовая математика 
 
 
 
 

ВАРИАНТ № 10 
 
 
 
 
 
 

                                     Исполнитель: Левыкина О. С.

                                     Специальность: Финансы  и кредит

                                     Группа: 1С-ФК416

                                     № зачетной книжки: 09ффд42170

                                     Преподаватель: Бесхлебнова Г.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2012 

Задание №1 

     Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

         Таблица 1

 

     Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

     4)       Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

     5)     Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. 
 
 

     Решение 

     1) Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

     Y_p(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L).

     Коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

     a(t)= α₁ *Y(t) / F(t-L) + (1- α₁ )*[a(t-1)+b(t-1)];

     b(t)= α₃ * [a(t)-a(t-1)]+(1- α₃)*b(t-1);

     F(t)= α₂ * Y(t) / a(t) + (1- α₂)*F(t-L).

     Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид: Y_p(t)=a(0) + b(0)*t.

     Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

       Таблица 2

 

     

     a(0)= Y_ср – b(0)*t_ср = 52,375 - 0,845*4,5=48,57

     Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

     Y_p(t) = 48,57 + 0,845t

     Из  этого уравнения находим расчетные  значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3) 

     Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

                                                                                                                                  Таблица 3

 

     Оценим  приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

      ;

      ;

      ;

      .

     Оценив  значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса.

     Рассчитаем  значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

     Полагая, что t=0, k=1, находим Y_p(1):

     Y_p(0+1) =Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4) = [48,57+1*0,845]*0,861 = 42,559

     Полагая что t=1, находим:

     a(1) = α₁*Y(1)/F(-3)+(1-α₁)*[a(0)+b(0)] = 0,3*43/0,861+

+(1-0,3)*[48,57+0,845] = 49,57

     b(1)= α₃*[a(1)-a(0)]+(1-α₃)*b(0) = 0,3*[49,57-48,57]+(1-0,3)*0,845 = 0,891

     F(1)= α_2*Y(1)/a(1)+(1-α₂)*F(-3) =0,6*43/49,57+(1-0,6)*0,861 = 0,865

     Аналогично  рассчитаем для t=1:

     Y_p(2)=54,39

     a(2)= 50,35

     b(2)= 0,859

     F(2)=1,075

     Для t=2:

     Y_p(3)=65,43

     a(3)=50,88

     b(3)= 0,758

     F(3)= 1,266

     Для t=3:

     Y_p(4)=40,44

     a(4)=51,85

     b(4)= 0,823

     F(4)= 0,788

     и т.д.  
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                

                     

        Таблица 4

 

2. Проверка  точности модели

     Условие точности выполняется, если относительная  погрешность в среднем не превышает 5%.

     Суммарное значение  относительных погрешностей (см. табл. 4) составляет 25,747, что дает среднюю величину 25,747/16 = 1,61%.

     Следовательно,  условие точности выполнено.

     3) Проверка условия адекватности

     Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл. 5).  
 
 
 

     Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

                                                                                                                       Таблица 5         

 

     Общее число поворотных точек в данном случае равно p = 8

     Рассчитаем  значение q:

     

     Если  количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p = 8, q = 6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

     Проверка  независимости уровней  ряда остатков.

     а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

     

     В нашем случае имеет место отрицательная  автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4:

     

     Так как d₂ < 1,63 < 2, то уровни ряда остатков независимы.

     б) по первому коэффициенту автокорреляции

      .

     Если  модуль рассчитанного значения первого  коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1) < r_табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)| = 0,203 < r_табл = 0,32 – уровни независимы.

     в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

     RS = (E_max – E_min)/S

     E_max = 2,69401;

     E_min = – 1,43206;

     E_max – E_min = 2,69401 – (–1,43206) = 4,12607;

      ;

      .

     Так как 3,00 < 3,57 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

     Таким образом, условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

     4) Построение точечного прогноза

     Для t = 17 имеем:

     Y_p(17) =Y_p(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4) = (62,81+0,881)*0,883 = 56,25.

     Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20):

     Y_p(18) =Y_p(16+2)=(62,81+2*0,881)*1,079 = 69,65

     Y_p(19) = (62,81+3*0,881)*1,274 = 83,36

     Y_p(20) = (62,81+4*0,881)*0,768 = 50,92

     5) Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

     

     Ряд остатков

     

 
 
 
 
 

     Задание № 2 

     Даны  цены (открытия, максимальная, минимальная  и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

     - экспоненциальную скользящую среднюю;

     - момент;

     - скорость изменения цен;

     - индекс относительной силы;

     - %R, %K, %D.

     Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

                                                                                                                   Таблица 6

 
 
 
 
 
 
 
 

     Решение

     1) Расчет экспоненциальной скользящей средней.

     При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

     

     где k = 2/(n+1);  C_t – цена закрытия t-го дня;  EMA_t  – значение EMA текущего дня t; EMA_t-1  – значение EMA предыдущего дня t;

     Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

     MA_t = (C_t-n+1 + C_t-n+2 +…+C_t)/n,

     где C_t – цена закрытия  t-го дня;

     MA_t  – значение скользящего среднего текущего дня t.

     

     

     И так далее для 7, 8, 9, 10 дней. Расчеты  приведены в таблице 7.

    Расчет  EMA

                                                                                                                                    Таблица 7

 

     

Рис. 2. Экспоненциальная скользящая средняя 

Вывод: с 5-го по 6-ый день ЕМА(t) выше чем С(t). Следовательно, покупки не рекомендуются. 6 день – пересечение графика скользящей средней с графиком Ct, сигнал разворота. 7-9 дни – ЕМА ниже Ct, тренд восходящий, рекомендуются покупки. 9 день – пересечение графиков, сигнал разворота. 9-10 дни – ЕМА выше Сt, следовательно тренд нисходящий, рекомендуются продажи. 

     2) Расчет момента.

     Момент  – это разница между конечной ценой текущего дня C_t  и цены n дней тому назад C_t-n .

     Рассчитаем  момент по формуле  , где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.

     

     

     и т.д.

     Результаты  вычислений занесем в соответствующий  столбец расчетной таблицы 8.

     Расчет  MOM 

                                                                  Таблица 8

 
 

     

     Рис. 3. Момент. Результат расчета 

     Вывод: Все значения МОМ (кроме МОМ(7)) положительны, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

     Наиболее  выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й  и 8-й день, так как МОМ резко пошел вверх 
 
 

     3) Расчет скорости изменения цен.

     Скорость  изменения цен (ROC) – это отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

      ,

     где C_t - цена закрытия t–го дня;

     ROC_t - значение ROC текущего дня t.

       и т.д.

    Расчеты представим в таблице (табл. 9) и изобразим на графике (рис. 4).

     Расчет  ROC

                                                                                                      Таблица 9

 

     

     Рис. 4. Индекс скорости изменения  цен ROC

     Вывод: Все значения ROC (кроме ROC(7)) более 100%, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

     Наиболее  выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й и 8-й день, так как ROC резко пошел вверх