Контрольная работа по "Менеджменту". 515

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЧАЙКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ (филиал) ИжГТУ

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Основы теории управления»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

1. Исходные данные:
1. Принципиальная схема системы управления
2. Структурная схема системы управления
3. Уравнения динамики элементов системы управления
4. Значения параметров элементов системы управления
2. Анализ элементов системы управления:
1. Типы элементов системы управления
2. Переходные характеристики элементов
3. Уравнения статики элементов
4. Статические характеристики элементов
5. Передаточные функции элементов
3. Анализ системы управления:
1. Описание работы системы управления
2. Передаточная функция для выходного сигнала
3. Уравнение динамики для выходного сигнала
4. Уравнение статики и статическая характеристика

       для выходного сигнала 

5. Передаточная функция для ошибки управления
6. Уравнение динамики для ошибки управления
7. Уравнение статики и статическая характеристика

       для ошибки управления 

4. Выбор параметра системы управления:
1. Диапазон параметра, в котором система устойчива
2. Влияние параметра на качество переходного процесса
3. Влияние параметра на качество установившегося режима
4. Оптимальное значение параметра системы управления
5. Частотный анализ системы управления:
1. Частотная передаточная функция
2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
3. Амплитудно-частотная характеристика
4. Фазово-частотная характеристика
5. Установившийся частотный режим работы

       системы управления 

6. Моделирование работы системы управления:
1. Переходная характеристика системы управления
2. Проверка диапазона устойчивости
3. Проверка влияния параметра на качество

       переходного процесса 

4. Проверка влияния параметра на качество

       установившегося режима 

5. Частотные режимы работы системы управления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Исходные данные:

 

 

1.1.Принципиальная схема системы  управления 

 

 

 

 

 

 

 

2. Структурная схема системы управления

 

 

 

1.3. Уравнения динамики элементов  системы управления

 

Дифференциальные  уравнения элементов САУ.

 

Электронный усилитель (ЭУ):

     ₍₁₎

где U_ЭУ – напряжение на выходе из электронного усилителя;

К_ЭУ – коэффициент усиления электронного усилителя;

∆U – напряжение на входе электронного усилстеля (рассогласование системы).

 

Электро-механический управляющий элемент (ЭМУЭ):

    ₍₂₎

где Т_ЭМУЭ – постоянная времени ЭМУЭ;

 

х – смещение якоря ЭМУЭ;

К_ЭМУЭ – коэффициент передачи ЭМУЭ;

 

Гидравлический  усилитель (ГУ):

     ₍₃₎

где Т_ГУ – постоянная времени гидроусилителя;

Q – поток рабочей жидкости, направляемый в исполнительный механизм;

К_ГУ – коэффициент передачи гидроусилителя.

 

Гидравлический  исполнительный механизм (ГИМ).

     ₍₄₎

где y – смещение исполнительного органа;

 

К_ГИМ – коэффициент передачи ГИМ.

 

Обратная  связь (ОС):

      ₍₅₎

где U_ОС – напряжение на выходе ОС;

К_ОС – коэффициент передачи ОС.

4. Значения параметров элементов системы управления

 

 

№ вар	ЭУ	ЭМУЭ		ГУ		ГИМ	ОС
	Кэу	Тэмуэ	Кэмуэ	Тгу	Кгу	Кгим	Кос
	-	с	мм/В	с	л/(мм с)	мм/л	В/мм
6	500	0,15	0,05	0,08	1,3	?	0,015

 

2. Анализ элементов системы управления

2.1. Типы элементов системы  управления

Электронный усилитель (ЭУ): пропорциональное идеальное звено

 

 

Электро-механический управляющий  элемент (ЭМУЭ): пропорциональное инерционное звено

 

Гидравлический усилитель (ГУ): пропорциональное инерционное звено

 

Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ): интегрирующее идеальное звено

 

Обратная связь (ОС): пропорциональное идеальное звено

 

 

2.2. Переходные характеристики  элементов

 

Электронный усилитель (ЭУ):

 

Электро-механический управляющий  элемент (ЭМУЭ):

 

Гидравлический  усилитель (ГУ): пропорциональное инерционное звено

 

 

Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ):

 

Обратная связь (ОС):

 

 

2.3. Уравнения статики  элементов

 

Статический режим – это такое состояние элемента или системы, при котором все входные, выходные и внутренние сигналы постоянны во времени.

Динамический режим – это такое состояние элемента или системы, при котором хотя бы один входной, выходной или внутренний сигнал изменяется во времени.

Динамический  режим описывается дифференциальным уравнением динамики элемента.

Статический режим описывается алгебраическим уравнением статики. Уравнение статики элемента легко получить из его уравнения динамики, используя определение статического режима по которому все сигналы постоянны. А любая производная от постоянной величины равна нулю.

 

Электронный усилитель (ЭУ):

        ₍₆₎

 

Электро-механический управляющий элемент (ЭМУЭ):

     ₍₇₎

 

Гидравлический усилитель (ГУ):

      ₍₈₎

 

Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ):

       ₍₉₎

 

Обратная связь (ОС):

        ₍₁₀₎

 

2.4. Статические характеристики  элементов

 

Статическая характеристика элемента – график зависимости установившегося постоянного выходного сигнала от постоянного входного сигнала в статическом режиме.

Статические характеристики строятся по уравнениям статики (6) – (10) в  соответствующих  для каждого элемента осях «вход-выход». Поскольку уравнения статики  являются уравнениями прямой, то для  построения графика достаточно двух точек: при входном сигнале равном «0» и равном «1», как выполнено  ниже.

 

Электронный усилитель (ЭУ):

Электро-механический управляющий элемент (ЭМУЭ):

 

 

Гидравлический усилитель (ГУ):

Гидравлический исполнительный механизм (ГИМ):

Обратная связь (ОС):

 

 

2.5. Передаточные функции  элементов

Передаточная функция – альтернативная форма представления математической модели элемента системы управления, применяемая вместо дифференциального  уравнения.

Передаточные функции элементов  получаются из их уравнений динамики через операторные уравнения.

 

 

Электронный усилитель

                                                                  (11)

 

Электронно-механический управляющий  элемент

                                                         (12)

Гидравлический усилитель

                                                            (13)

Гидравлический исполнительный механизм

                                                             (14)

Обратная связь

                                                             (15)

 

3. Анализ системы управления

 

Анализ системы  управления выполняется для получения  её математических моделей и некоторых  характеристик.

 

3.1. Описание работы системы  управления

 

Система управления предназначена для автоматического  управления напряжением U в соответствии с заданным значением напряжения Uвх.

При отклонении фактического напряжения U от заданного (номинального) Uвх, в управляющем устройстве возникает отличная от нуля ошибка управления DU.

Это изменение  напряжения усиливается в электронном  усилителе до Uэу.

Усиленный сигнал переходит в механический при помощи электронно-механического  управляющего элемента в смещение поршня X.

Механический  сигнал при помощи гидравлического  усилителя усиливается до сигнала  Q.

Усиленный механический сигнал Q поступает в гидравлический исполнительный механизм, который в зависимости от входного сигнала Q передвигает положение реостата на значение Y и так до тех пор, пока фактическое напряжение не станет равно заданному, т.е. исчезнет ошибка управления.

После этого  электронный усилитель перестанет генерировать усиленный выходной сигнал, ЭМУЭ перестанет двигать поршень  гидравлического усилителя, а положение  реостата останется в необходимом  положении, обеспечивая выполнение закона управления.

 

3.2. Передаточная функция  для выходного сигнала

                              

В структурной  схеме п. 1.2. заменяется прямая цепь последовательно соединённых звеньев  одним звеном W₁:

 

 

 

 

 

                                                   (16)

 

Оставшееся  типовое соединение с отрицательной  обратной связью заменяется звеном W_y, являющимся общей математической моделью системы управления для выходного сигнала «y»:

 

 

 

                                                             (17)

 

С подстановкой (16) в (17) получим:

 

                                       (18)

 

С учетом формул (11) - (15):

 

         (19)

 

 

В общем виде:

 

                                            (20)

 

 

 

Полиномиальные коэффициенты выражения  с учётом (19) и п. 1.4:

 

                                                                  (21)

                                                                      (22)

                                                                      (23)

                                                                           (24)

                                                              (25)

 

 

3.3. Уравнение динамики  для выходного сигнала

В соответствие с передаточной функцией (20) получается дифференциальное уравнение:

 

                     (26)

 

 

3.4. Уравнение статики и статическая  характеристика для выходного  сигнала

 

Уравнение статики  с учётом (21) и (25):

 

                                                         (27)

 

Статическая характеристика:

 

 

 

3.5. Передаточная функция  для ошибки управления

 

 

 

 

 

 

В структурной  схеме заменяется обратная цепь последовательно  соединённых звеньев одним звеном W₁:

 

 

 

 

 

 

 

 

                            (28)

 

Оставшееся  типовое соединение с отрицательной  обратной связью и «единичной» прямой цепью заменяется звеном W_D, являющимся общей математической моделью системы управления для ошибки управления «DV»:

 

 

 

 

 

                                                              (29)

 

С подстановкой (28) в (29) получим:

 

 

                                      (30)

 

С учетом формул (11) - (15):

 

   (31)

 

 

 

 

 

В общем виде:

 

                              (32)

 

Полиномиальные коэффициенты выражения (32) с учётом (31) и п. 1.4.:

 

                                                                                      (33)

                                                     (34)

                                                       (35)

                                                            (36)

                                                 (37)

 

3.6. Уравнение динамики  для ошибки управления

В соответствие с передаточной функцией (27) получается дифференциальное уравнение:

 

        (38)

 

3.7. Уравнение статики и статическая  характеристика для ошибки управления

Уравнение статики

                                                                   (39)

Статическая характеристика

 

 

4. Выбор  параметра системы управления

4.1. Диапазон параметра,  в котором система устойчива

 

Данная система  управления описывается уравнением динамики 3-го порядка. Условие устойчивости Гурвица для системы 3-го порядка:

 

                                                             (40)

С учетом выражений (21) – (25) получается:

                                                         (41)

 

                                                              (42)

Система управления будет устойчива при выполнении условия:

 

                                               (43)

 

 

 

 

 

 

4.2. Влияние параметра на качество  переходного процесса

 

Интегральная  квадратичная оценка для данной системы  управления, описываемой передаточной функцией (15), определяется такой формулой:

 

                                                 (44)

 

С учетом выражений (16) – (20) получается:

 

                                         (45)

                    (46)

   (47)

 

Тогда формула (44) принимает такой вид:

 

               (48)

 

Графически  зависимость (48) интегральной квадратичной оценки от параметра « » в диапазоне устойчивости (42) выглядит так:

 

 

Наилучшее значение параметра можно принять равным:

 

                                                                   (49)

 

 

4.3. Влияние параметра  на качество установившегося  режима

 

 

Установившаяся  ошибка:

 

                           (50)

 

Коэффициенты  ошибок:

 

                                                       (51)

 

С учётом (27) получается:

 

                                                                  (52)

 

 

Следующий коэффициент:

 

                                                        (53)

                              (54)

При р = 0 получается:

                                                                         (55)

С учётом (31) и (32):

                                                             (56)

 

 

Следовательно, система управления имеет астатизм 1-го порядка. Значит, система может  работать при равномерно растущем входном  сигнале:

 

                                              (57)

 

Тогда с учётом (52), (56) и (57) установившаяся ошибка получается по формуле (55):

                 (58)

 

Графически  зависимость (58) установившейся ошибки от параметра в диапазоне устойчивости (43) выглядит так:

 

 

Установившаяся ошибка при равномерно растущем входном сигнале (57) постоянна во времени и обратно пропорциональна параметру « ». То есть чем больше параметр « », тем меньше установившаяся ошибка и тем лучше качество установившегося режима.

 

4.4. Оптимальное значение параметра  системы управления

 

Суммарная оценка качества работы системы управления:

 

          (59)

 

Графически  зависимость (59) качества системы от параметра «k_У» в диапазоне устойчивости (43) выглядит так:

 

Оптимальное значение параметра для наилучшей  работы системы в обоих режимах  примерно:

 

 

                                                        (60)

 

При оптимальном  значении параметра (60) интегральная квадратичная оценка (53) равна:

 

                  (61)

 

А установившаяся ошибка (58) равна:

 

                                                     (62)

 

 

 

 

 

 

5. Частотный анализ системы управления

 

5.1. Частотная передаточная функция

 

Частотная передаточная функция получается из передаточной функции для выходного сигнала (17):

 

             (58)

 

После преобразований и с учетом выражений для коэффициентов (16) – (20) и оптимального значения параметра  системы (55) получаются вещественная и  мнимая составляющие комплексной частотной  передаточной функции:

 

                                     (59)

                                     (60)

 

 

5.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

 

График АФЧХ для данной системы:

 

 

 

5.3. Амплитудно-частотная  характеристика

 

АЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими  АФЧХ по формуле:

                                                           (61)

 

График АЧХ  построен в диапазоне частот от 0 до 1 рад/с.

 

По этому  графику примерно находятся следующие  показатели:

 

Резонансная частота:                                                    (62)

Частота среза:                                                              (63)

Полоса пропускания:                                                    (64)

Колебательность:                                                   (65)

5.4. Фазово-частотная характеристика

 

ФЧХ определяется вещественной и мнимой составляющими  АФЧХ по такой формуле:

                                                            (66)

 

 

График ФЧХ  строится в диапазоне частот от 0 до 1 рад/с.

 

 

5.5. Установившийся частотный режим  работы системы управления

 

Входной частотный  сигнал задается функцией вида

 

                                                       (67)

 

Примем такие  его параметры:

 

Амплитуда входного сигнала:                                           (68)

Фаза входного сигнала:                                                     (69)

 

Частота сигнала  соответствует резонансной частоте:

                                                                           (70)

 

С учётом принятых параметров:

                                                              (71)

 

Выходной  сигнал определяется функцией вида:

                                                        (72)

 

Его параметры  определяются частотными характеристиками системы:

 

АЧХ при резонансной  частоте  имеет максимум и примерно равна:

                                                                       (73)

 

Амплитуда выходного  сигнала:

                                                       (74)

 

ФЧХ при резонансной  частоте  имеет перегиб и примерно равна:

                                                        (75)

 

Фаза выходного  сигнала:

                                                (76)

 

С учётом вычисленных  параметров:

                                                  (77)

 

График установившегося  частотного режима имеет такой вид:

 

6. Моделирование  работы системы управления

 

6.1 Переходная характеристика системы управления

 

 

 

Переходная  характеристика получена при оптимальном  значении параметра  .

Время регулирования  системы управления примерно составляет .

Установившееся  значение управляемого сигнала  .

 

6.2 Проверка диапазона устойчивости

 

 

 

При моделировании  подтвердилось, что на расчётной  границе устойчивости (38) при    – система нейтральна.

 

6.3. Проверка влияния параметра на  качество переходного процесса

 

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  интегральная квадратичная оценка накапливается до величины (62) примерно .

 

6.4. Проверка влияния параметра на  качество установившегося режима

 

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  и при линейно растущем входном сигнале ошибка управления устанавливается на величине примерно .

 

6.5. Частотные режимы работы системы  управления

Время переходного  частотного режима составило примерно .

При моделировании  подтвердилось, что для оптимального значения параметра  при резонансной частоте установившееся усиление амплитуды выходного сигнала равно примерно .

Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного, как и усиление по амплитуде  подтверждают расчётный график установившегося  частотного режима из п. 5.5.