Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Налогам". 70

Задачи (будут на экзамене)

Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 20 тыс. руб. с условием возврата 25 тыс. руб. Определите процентную и учетную ставки за полтора года.

Решение:

Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной сумме.

Базовая формула , где

PV – исходная сумма (20 тыс. рублей);

FV – возвращаемая сумма (25 тыс. рублей).

Получаем

Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт за время t) – отношение результативности сделки к возвращаемой сумме.

Базовая формула , где

PV – исходная сумма (20 тыс. рублей);

FV – возвращаемая сумма (25 тыс. рублей).

Получаем

Проверка.

При r_t > 0, 0 < d_t < 1, r_t > d_t справедливы соотношения:

Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение:

Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной сумме.

Базовая формула , где

PV – исходная сумма (0,55x = x -0,45x);

FV – возвращаемая сумма (0,65x = 0,55x +0,10x).

Получаем

Предпринимателю 14 февраля предоставлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте различными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.

Решение:

Предпринимателю предоставлена краткосрочная ссуда.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма, сумма погашения (искомое);

P – исходная сумма, размер ссуды (20 тыс. рублей);

t – срок предоставления ссуды, в днях (определяется 3-мя способами, причем день выдачи и день погашения, считаются за один день);

T – количество дней в году (определяется двумя способами);

r – годовая процентная ставка (30 %).

Английская практика. Используется точное количество дней в году (T = 365 дней), с точным числом дней ссуды (t = 195 – 45 = 150 дней – по таблице)

Получаем

Французская практика. Используется коммерческий год (T = 360 дней), с точным числом дней ссуды (t = 195 – 45 = 150 дней – по таблице)

Получаем

Немецкая практика. Используется коммерческий год (T = 360 дней), с приближенным числом дней ссуды – месяц считается равным 30 дням (t = 30 дней*5 месяцев = 150 дней)

Получаем

На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?

Решение:

Используем расчет наращения простыми процентами.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (1);

P – исходная сумма (1,5);

n – число лет начисления процентов (искомое);

r – годовая процентная ставка (28 %).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).

Получаем 1,786 года

В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в 8 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.

Решение:

Используем расчет наращения при краткосрочной ссуде.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма, сумма погашения (8,9 тыс. рублей);

P – исходная сумма, размер ссуды (8 тыс. рублей);

t – срок предоставления ссуды, в днях (120 дней);

T – количество дней в году (поскольку год не определен используем длительность коммерческого года - 360 дней);

r – годовая процентная ставка (искомое).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (r).

Получаем ,3375 = 33,75%

Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам по процентной ставке 25%? Чему равен дисконт?

Решение:

Используем расчет наращения простыми процентами.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (24 тыс. рублей);

P – исходная сумма (искомое);

n – число лет начисления процентов (2 года);

r – годовая процентная ставка (25 %).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (P).

Получаем 16 тыс. рублей

Дисконт, это разность между возвращаемой и исходной суммами.

Используем формулу

Примечание: Обращая внимание на решение задачи 1 (выполнено по лекциям) дисконтом также может называться учетная ставка. Тогда расчет будет следующим:

0,3333=33,33%

В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, используя способ 365/360. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 40% годовых имеет смысл?

Решение:

Способ 365/360 – французская практика – точное количество дней ссуды, при использовании длительности коммерческого года (360 дней). Год не високосный.

Используем расчет для коммерческого (банковского)дисконтирования.

Базовая формула , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (14 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (искомое);

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 191 – 126 =65 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в году);

T – количество дней в году (360 дней);

d – учетная ставка (30 %).

Получаем сумму выплаты векселедержателю

Комиссионные удерживаемые банком (дисконт) составят разницу между суммой к погашению и суммой покупки векселя банком, а именно:

D = FV – PV = 14 – 12,898 = 1,011 тыс. рублей

Операция учета имеет смысл пока сумма покупки векселя банком P больше нуля. Определим, в какой момент P станет равным нулю. Анализируя формулу банковского дисконтирования делаем вывод, что этот момент настанет, когда множитель дисконтирования станет равным нулю или при каком значении t будет верно равенство .

Получаем путем преобразования искомое

Банк 7 июня учел три векселя со сроками погашения в этом же году соответственно 8 августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25% годовых, банк удержал комиссионные в размере 2750 руб. Определите номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.

Решение:

Поскольку не определена длительность года, считаем ее равной 360 дням (коммерческий год).

Используем расчет для коммерческого (банковского)дисконтирования.

Базовая формула , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (FV₂ = 2*FV₁ (найти оба значения), FV₃ = 20 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (неизвестно);

Комиссионные банка составили D = D₁ + D₂+ D₃ = 2750 рублей;

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней: первый вексель 220 – 158 = 62 дня, второй вексель 242 – 158 = 84 дня, третий вексель264 – 158 = 106 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в году);

T – количество дней в году (360 дней);

d – учетная ставка (25 %).

Найдем D₃ = FV₃ -

Получаем D₁₊₂ = D₁+D₂ = D – D₃ = 2750 – 1472,22 = 1277,78 рубля.

Учитывая соотношение номинальной стоимости первого и второго векселя получаем тождество:

D₁₊₂ = D₁ + D₂ = FV₁ -

Выполнив математические преобразования получаем:

8000 рублей

16000 рублей

В банк 15 февраля предъявлен для учета вексель на сумму 40 тыс. руб. со сроком погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Определите сумму, полученную векселедержателем и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по простой учетной ставке 30% и использовании способа 365/360?

Решение:

Английская практика.

Базовая формула , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (40 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (искомое);

t – количество дней до момента предъявления векселя (при точном расчете дней 182 – 46 =136 дней, с использованием таблицы порядковых номеров дней в високосном году);

T – количество дней в году (вариант 1 - 366);

r – процентная ставка (30 %).

Используем формулу расчета наращения простыми процентами

Преобразовываем для вычисления даты покупки

D = FV – PV = 40 – 35,988 = 4,002 тыс. рублей

Французская практика

Базовая формула , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (40 тыс. рублей);

PV – сумма покупки векселя банком (искомое);

T – количество дней в году (вариант 2 - 360 дней);

d – учетная ставка (30 %).

Получаем сумму выплаты векселедержателю

D = FV – PV = 40 – 35,467 = 4,533 тыс. рублей

За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 14% годовых, заплачено 4 тыс. руб. Определите номинальную величину векселя.

Решение:

Базовая формула , где

FV – возвращаемая сумма, сумма к погашению, номинальная стоимость (искомое);

PV – сумма покупки векселя банком (4 тыс. рублей);

n – количество лет до момента предъявления векселя;

d – учетная ставка (14 %).

Преобразуем формулу

Получаем

Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.

Решение:

Процентная ставка (норма прибыли, доходность, рост за время t) – отношение результативности сделки к исходной сумме r_t = 30%.

Учетная ставка (дисконтная ставка, дисконт за время t) – отношение результативности сделки к возвращаемой сумме.

а) При r_t > 0, 0 < d_t < 1, r_t > d_t справедливы соотношения:

б) Анализируем методы расчета с использованием учетной и процентной ставок для простых процентов (краткосрочные)

Базовая формула

FV – возвращаемая сумма;

PV – сумма покупки векселя банком (примем равной 1);

t – количество дней (150 дней);

T – количество дней в году (360, 365, 366 дней);

d – учетная ставка (искомое);

r –процентная ставка (30%).

Получаем следующее тождество:

Поскольку PV = 1 получаем:

Откуда получаем

0,2667 = 26.67%

0,2671 = 26,71%

0,2672 = 26,72%

Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы?

Решение:

а) Наращения сложными процентами можно рассчитать, используя базовую формулу:

, где

P – размер ссуды (50 тыс. рублей);

r - годовая ставка (27%);

w – число целых лет (3 года);

f – дробная часть года (0,25 года).

Получаем

108,726 тыс. рублей.

б) Наращения по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:

109,332 тыс. рублей.

Господин N инвестирует 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.

Решение:

а) Наращения сложными процентами можно рассчитать, используя базовую формулу:

, где

P – размер ссуды (40 тыс. рублей);

r – годовая ставка (26%);

m – количество начисления процентов в год (2;4)

w – число целых периодов начисления (5; 11);

f – дробная часть периода начисления (0,5; 0).

Получаем

78,431 тыс. рублей.

79,966 тыс. рублей.

б) Наращения по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:

78,488 тыс. рублей.

79,966 тыс. рублей.

Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22% за квартал, причем во обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? Финансовый год принять равным 360 дней (месяц - 30 дней).

Решение:

Наращение по смешанной схеме можно рассчитать, используя базовую формулу:

, где

P – размер вклада (1);

r – годовая ставка (110%);

r⁴ – номинальная квартальная ставка (22%)

m – количество начисления процентов в год (1;4)

w – число целых периодов начисления (1, 3; 1; 4);

f – дробная часть периода начисления (-0,25, 0; 0; 0).

Получаем:

а)

110% годовых, 9 месяцев

1,825

22% квартальных, 9 месяцев

1,816

Выгоднее вариант с годовым начислением процентов.

б)

110% годовых, 1 год

2,1

22% квартальных, 1 год

2,22.

Выгоднее вариант с квартальным начислением процентов.

Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза, б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение:

Расчет наращения простыми процентами.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (4, 2);

P – исходная сумма (1);

n – число лет начисления процентов (искомое);

r – годовая процентная ставка (30 %).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).

Получаем .

Расчет наращения сложными процентами.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (4, 2);

P – исходная сумма (1);

n – число лет начисления процентов (искомое);

r – годовая процентная ставка (30 %).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (n).

Получаем

а) Простые проценты при 4-х кратном увеличении капитала

Сложные проценты при 4-х кратном увеличении капитала

б) Простые проценты при 2-х кратном увеличении капитала

Сложные проценты при 4-х кратном увеличении капитала

Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода, б) каждый месяц.

Решение:

Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (3);

P – исходная сумма (1);

m – число начислений сложных процентов в год (2, 12);

n – число лет начисления процентов (7 лет);

r^(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке r^m/m (искомое).

Преобразуем исходную формулу для вычисления неизвестного (r^(m)).

Получаем 0,1633 = 16,33 %

для полугодового начисления сложных процентов и

Получаем 0,158 = 15,80 %

для ежемесячного начисления сложных процентов.

В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффективную ставку в этой финансовой сделке.

Решение:

Годовая эффективная ставка при однократном начислении сложных процентов за год обеспечивает результат как и номинальная процентная ставка. Расчет осуществляется по базовой формуле:

Номинальная процентная ставка - ставка, при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке r^m/m.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (85 тыс. рублей);

P – исходная сумма (50 тыс. рублей);

m – число начислений сложных процентов (1);

n – число лет начисления процентов (28 месяцев/12 месяцев = 2,(3) года);

r^(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке r^m/m.

Получаем

, или ,

Откуда вычисляем искомое значение

Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по процентной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?

Решение:

Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (45 тыс. рублей);

P – исходная сумма (искомое);

m – число начислений сложных процентов в год (1, 4);

n – число лет начисления процентов (6 лет);

r^(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке r^m/m (36 %).

Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:

при годовом начислении.

при ежеквартальном начислении.

Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?

Решение:

Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле

, где

F_n – возвращаемая сумма (30 тыс. рублей);

P – исходная сумма (искомое);

e - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. (e = 2,718281828)

n – число лет начисления процентов (4, 9 лет);

δ – непрерывная ставка (сила роста) (25 %).

Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:

а)

б)

Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?

Решение:

Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (искомое);

P – исходная сумма (1);

m – число начислений сложных процентов в год (2);

n – число лет начисления процентов (7 лет);

Определяем доход для начисления сложными процентами каждые полгода:

Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле

, где

F_n – возвращаемая сумма (10,147 тыс. рублей);

P – исходная сумма (1);

n – число лет начисления процентов (7 лет);

δ – непрерывная ставка (искомое).

Преобразуем исходную формулу для нахождения искомого:

На вклад в 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года равна 20%, следующие три года - 24% и в последний год - 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?

Решение:

Расчет при непрерывном начислении процентов ведется по базовой формуле

, где

F_n – возвращаемая сумма (рассчитываем);

P – исходная сумма (16 тыс. рублей);

n – число лет начисления процентов (2, 3, 1);

δ – непрерывная ставка (20 %,24 %,26 %).

Рассчитаем наращенную сумму за три периода начисления:

Преобразуем исходную формулу для нахождения решения задачи:

Более простое решение (без вычисления натурального логарифма)

Путем преобразований получаем

Искомое

Господин N собирается поместить на некоторый срок свободные денежные средства либо под сложную процентную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года.

Решение:

Расчет наращения сложными процентами при внутригодовом начислении процентов.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (искомое);

P – исходная сумма (1);

m – число начислений сложных процентов в год (4);

n – число лет начисления процентов (3, 4 года);

r^(m) – номинальная процентная ставка, такая ставка при которой за период 1/m года, проценты начисляются по ставке r^m/m (30 %).

Расчет наращения простыми процентами.

Базовая формула , где

R_n – возвращаемая сумма (искомое);

P – исходная сумма (1);

n – число лет начисления процентов (3, 4 года);

r – годовая процентная ставка (48 %).

а) ,

Выгоднее размещать денежные средства под простой процент.

б) ,

Выгоднее размещать денежные средства под сложный процент с ежеквартальным начислением процентов.

Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.