Контрольная работа по "Статистика". 6

Раздел 1. Расчёт абсолютных, относительных, средних величин, показателей вариации, построение и анализ рядов распределения, дисперсионный и корреляционно-регрессионный анализ

1.1Группировка статистических  данных

С целью проведения равно-интервальной группировки необходимо рассчитать число интервалов по формуле Стерджесса (1)

                                                                                                     (1)

где: – количество групп

        – численность совокупности.

                                  k =

Так как число групп  целое, следовательно, логично построить пять или шесть групп. Расчётное значение количества групп ближе к шести.

Ширина интервала рассчитывается по формуле (2)

                                                                                                       (2)    где: – величина интервала;                                        

 – количество групп;

– максимальное значение признака;

        – минимальное значение признака.

Средняя заработная плата

 

Стаж по специальности

 

Для каждой числовой совокупности произведем первичную группировку  данных, за основу возьмём выше  рассчитанные интервалы:

а) Средняя заработная плата

Таблица 1-Первичная группировка

Группировка по  средней  зарплате	Код	Число работников, f
А	Б	1
5480-5537 5537-5594 5594-5651 5651-5708 5708-5765 5765-5822	01 02 03 04 05 06	8 2 6 3 3 4
Итого	07	26

Данное распределение  не соответствует нормальному. Для устранения этого недостатка необходимо произвести вторичную группировку.

б) Стаж по специальности

Таблица 2-Первичная группировка

Группировка по стажу по специальности	Код	Число работников,f
A	Б	1
8-11 11-14 14-17 17-20 20-23 23-26	01 02 03 04 05 06	6 5 4 5 3 3
Итого	07	26

Данное распределение  не соответствует нормальному. Для устранения этого недостатка необходимо провести вторичную группировку.

Чтобы привести распределение  группировок к нормальному, произведём вторичную группировку.

Для этого задаём другие границы и производим укрупнение  интервала:

а) Средняя заработная плата:            пусть i=100

Таблица 3-Вторичная группировка

Группировка по  средней  зарплате	Код	Число работников, f
А	Б	1
До 5500 5500-5600 5600-6700 5700-5800 5800-5900	01 02 03 04 05	3 7 8 5 3
Итого	06	26

 

б) Стаж по специальности :                   пусть i=5

Таблица 4-Вторичная группировка

Группировка по стажу по специальности	Код	Число работников,f
А	Б	1
До 9 9-14 14-19 19-24 24-29	01 02 03 04 05	4 7 8 5 2
Итого	06	26

В результате вторичной группировки  получили распределения близкие  к нормальному, поэтому все дальнейшие расчёты будем проводить по вторичной группировке.

1.2 Построение графиков  по данным вторичных группировок

а) Полигон распределения

б) Кумулята

Для наглядности анализ рядов  распределения целесообразно проводить  на основе их графического изображения.

Для построения полигона распределения  и кумуляты необходимо произвести дополнительные расчеты, которые представлены в таблицах.  (Табл. 5- для средней зарплаты. Табл. 6 -для стажа по специальности.)

Полигон распределения используется при изображении интервального  вариационного ряда, для его построения необходимо рассчитать середины интервалов. Кумулята изображает ряд накопленных  частот.

Таблица 5-Середина интервала  и накопленные частоты по уровню средней заработной платы

Заработная плата ()	Код	Число работников()	Середина интервала	Накопленные частоты
А	Б	1	2	3
До 5500 5500-5600 5600-5700 5700-5800 5800-5900	01 02 03 04 05	3 7 8 5 3	5450 5550 5650 5750 5850	3 10 18 23 26
Итого	06	26	-	-

 

 

Таблица 6- Середина интервала  и накопленные частоты по уровню стажа по специальности

Стаж по специальности()	Код	Число работников()	Середина интервала	Накопленные частоты
А	Б	1	2	3
До 9 9-14 14-19 19-24 24-29	01 02 03 04 05	4 7 8 5 2	6,5 11,5 16,5 21,5 26,5	4 11 19 24 26
Итого	06	26	-	-

 

а)  Построим полигон распределения по уровню средней заработной платы                        (Рис. 1)

                                     Условные обозначения:

                              x-показатель средней зарплаты;

                              f-число работников.

                    Рисунок 1-Полигон распределения  зарплаты

Построим полигон распределения  по уровню стажа по специальности:

 

(Рис.2)

                                        Условные обозначения:

                            x-показатель стажа по специальности;

                            f-число работников.

           Рисунок 2-Полигон распределения  стажа по специальности

б) Построим кумулятивную кривую. При помощи кумуляты изобразим ряд накопленных частот. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака, не большие, чем рассматриваемое значение.

Построим кумулятивную кривую для средней зарплаты:

(Рис.3)

                                      Условные обозначения:

                               x-показатель средней зарплаты;

                               f-число работников.

                 Рисунок 3- Кумулята по уровню  средней зарплаты

Построим кумулятивную кривую для стажа по специальности:

(Рис.4)

                                     Условные обозначения:

                            x-показатель стажа по специальности;

                            f-число работников.

               Рисунок 4-кумулята по уровню  стажу по специальности

1.3 Расчет средних величин

а) простую арифметическую;

б) взвешенную арифметическую двумя методами;

в) моду;

г) медиану;

д) построить графики моды и медианы.

а)  Средняя величина характеризует всю совокупность явлений, то есть несёт в себе обобщающую функцию.

Наиболее распространённой средней величиной является средняя  арифметическая, которая рассчитывается по формуле (3)

                                                                                                                    (3)                              

где: – средняя арифметическая;

 – индивидуальное значение  у каждой единицы совокупности;

 – число единиц совокупности.

Вычислим среднюю арифметическую по уровню средней заработной платы:

                        

Таким образом, средний уровень  заработной платы в составляет 5634,92

Вычислим среднюю арифметическую по стажу по специальности:

 

Таким образом, средний уровень  стажа по специальности составляет  16,2

б) Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную по формуле:

                                              ,                                                                                    (4)

где: - средняя арифметическая взвешенная;

       - центральный вариант в i-той группе;

       - частота i-той группы;

      - сумма частот.

Расчет средней арифметической взвешенной для средней заработной платы

              =

Расчет средней арифметической взвешенной по стажу по специальности

 

Расчет средней арифметической взвешенной методом моментов:

                                              (5)    

где: – средняя арифметическая взвешенная;

       – момент;

      – середина интервала, в котором признак проявляется с наибольшей частотой;

  – величина интервала;

 – частота  i–той группы;

      – расчетное значение вариантов;

       – центральный вариант i–того интервала.

В группе с заработной платой от 5600 до 5700 наибольшая частота , равная  8, отсюда следует, что А= 5650. Расчеты оформим в таблице (Таблица 7)

Таблица 7- Расчет средней арифметической взвешенной методом моментов по средней заработной плате

Группы	f	середина
А	Б	1	2	3
До 5500 5500-5600 5600-5700 5700-5800 5800-5900	3 7 8 5 3	5450 5550 5650 5750 5850	-2 -1 0 1 2	-6 -7 0 5 6
Итого	26	-	0	-2

 

 

Таким образом рассчитывая среднюю арифметическую взвешенную двумя методами, получили что средняя заработная плата в вариационном ряду распределения равна 5642,3.

Произведём аналогичные  расчеты по уровню стажа по специальности.

В группе со стажем по специальности  от14 до 19 наибольшая частота,  равная 8, отсюда следует, что А=16,5. Расчёты оформим в таблице    (Таблица 8)

Таблица 8- Расчет средней арифметической взвешенной методом моментов по стажу по специальности

Группы	f	середина
А	Б	1	2	3
До 9 9-14 14-19 19-24 24-29	4 7 8 5 2	6,5 11,5 16,5 21,5 26,5	-2 -1 0 1 2	-8 -7 0 5 4
Итого	26	-	0	-6

 

 

Таким образом, рассчитывая  среднюю арифметическую взвешенную двумя

методами получили, что  средний стаж по специальности в  вариационном

ряду распределения 15,35.

в) Вычислим моду по формуле:

                   ,                        (6)

где:  х_Мо  - нижняя граница модального интервала;

         i_Мо  -  ширина модального интервала;

         f_Мо  - частота, соответствующая модальному интервалу;

         f_Мо-1  - частота интервала, предшествующего модальному;

         f_Мо+1  - частота интервала, следующего за модельным.

Мода представляет собой  значение признака, повторяющееся с  наибольшей частотой.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту.

Рассчитаем моду по средней  заработной плате: 

 

Наиболее распространённым в изучаемой совокупности является показатель средней заработной платы, равный 5625.

Рассчитаем моду по стажу по специальности:

 

Наиболее распространённым в изучаемой совокупности является показатель стажа по специальности, равный 15,25.

г) Найдем значение признака, приходящееся на середину ранжированного признака. Для этого вычислим медиану  по следующей формуле:

                                  ,      (7)

 где:  х_Ме  - нижняя граница медианного интервала;

    i_Ме  - ширина медианного интервала;

   - полусумма частот ряда;

    - сумма накопленных частот, предшествующих

           медианному      интервалу;

      f_Ме  - частота медианного интервала.

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной  совокупности.

Медианным является интервал, частота которого превышает половину общей суммы частот.

Вычислим медиану по средней  заработной плате:

 

На середину ранжированной  совокупности приходится значение признака, составляющее 5638.

Вычислим медиану для  стажа по специальности:

 

На середину ранжированной  совокупности приходится значение признака, составляющее 15,25.

д) Построение графиков моды и медианы

             

                                            

                                              Условные обозначения:

                                       Х – уровень средней заработной платы;

                              f – число в группе.

                      Рисунок 6-Мода по средней заработной плате

          

                                                    Условные обозначения:

                                     Х – уровень стажа по специальности;

                                    f – число в группе.

                          Рисунок 7-Мода по стажу по специальности

                 

                                          Условные обозначения:

                                       Х – уровень средней заработной платы;

                                f –  накопленные частоты.

                    Рисунок 8-Медиана по уровню средней зарплаты

 

        

                                       Условные обозначения:

                                           Х – уровень стажа по специальности;

                                   f –  накопленные частоты.

               Рисунок 9-Медиана по уровню стажа по специальности

1.4 Расчет показателей  вариации по сгруппированным данным

а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициенты вариации .

Для изучения вариации признака в совокупности применяется множество разнообразных показателей: среднее линейное отклонение, размах вариации, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

а) Простейшим из них является размах вариации, который представляет собой абсолютную разность между  максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой  совокупности явлений.

Определим размах вариации по формуле:

                                                                                          (8)

где: – размах вариации;

       – максимальное значение признака;

       – минимальное значение признака.

Рассчитаем размах вариации по уровню средней заработной платы:

 

Таким образом, разница между  максимальной и минимальной средней  заработной платой составляет 340.

Определим размах вариации по уровню стажа по специальности:

 

_{Таким образом, разница между максимальным и минимальным стажем составляет 18.}

б) Расчет среднего линейного  отклонения

Рассчитаем среднее линейное отклонение, используя формулу:

                                             (9)

где: – среднее линейное отклонение;

        – центральный вариант i–того интервала;

        - средняя арифметическая взвешенная;

       – частота i–той группы.

Среднее линейное отклонение по средней заработной плате (Таблица 9)

Таблица 9-среднее линейное отклонение по средней зарплате

Группы по зарплате	Число работников	Середина интервала
А	Б	1	2	3	4
До 5500 5500-5600 5600-5700 5700-5800 5800-5900	3 7 8 5 3	5450 5550 5650 5750 5850	192,3 92,3 7,7 107,7 207,7	576,9 646,1 61,6 538,5 623,1	16350 38850 45200 28750 17550
Итого	26	-	-	2446,2	146700

 

                                                  

Таким образом, показатель средней  заработной платы в изучаемой  совокупности отклоняется от среднего показателя, равного 5642,3 на 94,08.

Среднее линейное отклонение по стажу по специальности (Таблица 10)

Таблица 10- Среднее линейное отклонение по стажу по специальности

Группы по стажу по специальности	Число работников	Середина интервала
А	Б	1	2	3	4
До 9 9-14 14-19 19-24 24-29	4 7 8 5 2	6,5 11,5 16,5 21,5 26,5	8,85 3,85 1,15 6,15 11,15	35,4 26,95 9,2 30,75 22,3	26 80,5 132 107,5 53
Итого	26	-	-	124,6	399

 

 

Таким образом, показатель среднего стажа по специальности в изучаемой  совокупности отклоняется от среднего показателя, равного 15,35 на 4,79.

_{в) Рассчитаем среднее квадратическое отклонение, используя  формулу:}

                                                                                            (10)

Таблица 11- Среднее квадратическое отклонение по стажу по специальности

Группы по стажу по специальности	Число работников	Середина интервала
А	Б	1	2	3
До 9 9-14 14-19 19-24 24-29	4 7 8 5 2	6,5 11,5 16,5 21,5 26,5	8,85 3,85 1,15 6,15 11,15	313,29 103,76 10,58 189,11 248,65
Итого	26	-	-	865,39

 

                                

Отсюда следует, что средний  стаж по специальности в сгруппированном  ряду распределения отклоняется  от средней (15,35) на 5,77.

Таблица 12-среднее квадратическое отклонение по средней зарплате

Группы по зарплате	Число работников	Середина интервала
А	Б	1	2	3
До 5500 5500-5600 5600-5700 5700-5800 5800-5900	3 7 8 5 3	5450 5550 5650 5750 5850	192,3 92,3 7,7 107,7 207,7	110937,9 59635,1 474,32 57996,5 129417,87
Итого	26	-	-	358461,7

 

            

Отсюда следует, что средняя  зарплата в сгруппированном ряду распределения отклоняется от средней (5642,3) на 117,42.

г) коэффициент вариации

Рассчитаем коэффициенты вариации, используя формулу:

                                                                                                     (11)

где:  – коэффициент вариации;

       - среднее квадратическое отклонение;

       - средняя арифметическая взвешенная.

Определим коэффициент вариации по уровню средней заработной платы:

 

Так как коэффициент вариации по средней зарплате составляет 0,17%  (0,17% < 33%) значит рассматриваемая совокупность является однородной.

Определим коэффициент вариации по стажу по специальности:

 

Так как коэффициент вариации по уровню стажа по специальности составляет 14% (14% <  33%)  значит рассматриваемая совокупность считается однородной.

1.5  Дисперсии и дисперсионный  анализ:

а) дисперсии: общая, межгрупповая и средняя из внутригрупповых;

б) проверка правила сложения дисперсий.