Контрольная работа по "Статистике". 7. 2

 

Вариант  4.

 

Задача 1.

 За  отчетный период деятельность  группы предприятий характеризуется  следующими данными:

 

Номер п/п	Валовая продукция, млн. руб.	Среднесписочное число  работающих	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	Прибыль, тыс. руб.
1	1270	598	180	287
2	690	368	130	107
3	1160	633	130	385
4	960	603	170	269
5	170	240	140	30
6	560	506	110	119
7	470	370	100	196
8	460	421	110	204
9	370	353	100	73
10	480	465	100	153
11	390	320	90	118
12	250	292	150	22
13	190	985	130	58
14	1240	702	210	273
15	110	127	120	15
16	900	422	210	290
17	450	388	90	136
18	560	304	100	66
19	310	159	140	77
20	190	195	150	103
21	280	276	90	80
22	250	197	160	109

 

На основе выше представленных результатов 15 % выборочного  обследования ТЭП деятельности  предприятий  города следует:

1. Произвести расчет системы показателей ТЭП (см. в указаниях) и результаты отразить в таблице № 2. По несгруппированным сведениям построить линейное уравнение и вычислить параметры.  Оценить эластичность между ТЭП. Построить матрицу линейных коэффициентов корреляции. Рассчитать множественный коэффициент корреляции. Пояснить смысл коэффициента.
2. На основе параметров множественного уравнения линейной регрессии  провести прогноз результативного показателя по  предприятию № 6 в силу увеличения на Z % показателя с наименьшей степенью влияния.
3. По исходным данным таблицы № 1 произвести группировку предприятий по размеру стоимости имущества  предприятия, выделив 4 групп. Методом аналитической группировки  установить характер тесноты  связи между исходными ТЭП на одно предприятие с помощью показателей средних  величин (таблица № 5) и оценить структуру распределения предприятий по группам (таблица № 4). Результаты оформить  в виде таблицы. Сделать выводы.
4. С вероятностью 95,4% установить доверительный интервал среднего уровня группировочного признака для всех предприятий региона. Сделать выводы.

 

Решение

В работе рассматривается 3 фактора, оказывающих влияние на результативный признак, которым является валовая продукция

В случае линейной трехфакторной  связи уравнение регрессии имеет  вид 

Для расчета параметров по способу наименьших квадратов  используют следующую систему нормальных уравнений:

Произведем расчет показателей

	y	x1	x2	x3	x12	x22	x33	x1 x2	x1 x3	x2 x3
1	1270	598	180	287	357604	32400	23639903	107640	171626	51660
2	690	368	130	107	135424	16900	1225043	47840	39376	13910
3	1160	633	130	385	400689	16900	57066625	82290	243705	50050
4	960	603	170	269	363609	28900	19465109	102510	162207	45730
5	170	240	140	30	57600	19600	27000	33600	7200	4200
6	560	506	110	119	256036	12100	1685159	55660	60214	13090
7	470	370	100	196	136900	10000	7529536	37000	72520	19600
8	460	421	110	204	177241	12100	8489664	46310	85884	22440
9	370	353	100	73	124609	10000	389017	35300	25769	7300
10	480	465	100	153	216225	10000	3581577	46500	71145	15300
11	390	320	90	118	102400	8100	1643032	28800	37760	10620
12	250	292	150	22	85264	22500	10648	43800	6424	3300
13	190	985	130	58	970225	16900	195112	128050	57130	7540
14	1240	702	210	273	492804	44100	20346417	147420	191646	57330
15	110	127	120	15	16129	14400	3375	15240	1905	1800
16	900	422	210	290	178084	44100	24389000	88620	122380	60900
17	450	388	90	136	150544	8100	2515456	34920	52768	12240
18	560	304	100	66	92416	10000	287496	30400	20064	6600
19	310	159	140	77	25281	19600	456533	22260	12243	10780
20	190	195	150	103	38025	22500	1092727	29250	20085	15450
21	280	276	90	80	76176	8100	512000	24840	22080	7200
22	250	197	160	109	38809	25600	1295029	31520	21473	17440
Итого	11710	8924	2910	3170	79637776	8468100	31855013000	25968840	28289080	9224700
Среднее	532	406	132	144

 

Подставляя данные в уравнение, получаем следующее уравнение:

у= 2,26x1 - 4,31х2 + 0,166х3 - 240.

Это означает, что  величина валового дохода на одного рабочего в среднем по совокупности возрастала на 2,26 руб. при росте численности работников; уменьшалась в среднем на 4,31 руб. при увеличении стоимости имущества на 1% и увеличивалась на 0,166 руб. при росте желаемого уровня прибыли. Отрицательная величина свободного члена вполне закономерна, так как, результативный признак – валовая продукция становится нулевым задолго до достижения нулевых значений факторов, которое в производстве невозможно.

Отрицательное значение коэффициента - сигнал о существенном неблагополучии в экономике изучаемых  хозяйств. При рациональных методах хозяйсвенной деятельности и нормальных ценах (равновесных или близких к ним) на продукцию всех отраслей, доход должен не уменьшаться, а возрастать с увеличением стоимости имущества.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи  между зависимой переменной и  предиктором. Он изменяется в пределах от 0 до 1 и рассчитывается по формуле:

где - определитель корреляционной матрицы; 
- алгебраическое дополнение -го элемента.

Значимость множественного коэффициента корреляции проверяется по таблице F-критерия Фишера. Гипотеза о его  значимости отвергается, если значение вероятности отклонения превышает  заданный уровень (чаще всего берут  = 0.1, 0.05; 0.01 или 0.001).

= 0,7

Произведем группировку  предприятия по размеру стоимости  имущества.

Величина интервала ( i ) при равных интервалах  группировки определяется по формуле: , где х_max  и x_min - максимальное и минимальное значение данного признака ;    n  -   число групп.

x_min = 90

x_max = 210

i = (210-90)/4 = 30

На основании  данных сгруппируем показатели 

 

Стоимость имущества	Количество предприятий	Объем производства		Численность работников		Стоимость имущества		Прибыль
		всего, тыс.руб.	в % к итогу	всего, тыс.руб.	в % к итогу	всего, тыс.руб.	в % к итогу	всего, тыс.руб.	в % к итогу
90-130	10	4130	35	3530	40	1010	35	1160	37
130-170	8	3210	27	3069	34	1130	39	891	28
170-210	2	2230	19	1201	13	350	12	556	18
210-250	2	2140	18	1124	13	420	14	563	18
	22	11710	100	8924	100	2910	100	3170	100

 

 

Предприятия распределились следующим образом: большая часть  предприятий (10 штук) имеют невысокую  стоимость имущества, но больше всех выпустили продукцию с получением большей прибыли, 8 предприятий имеют  высокую стоимость имущества  и высокий уровень объема производства и прибыли.

Однако, для того, чтобы предоставить полную характеристику деятельности предприятий, необходимо произвести расчет среднего уровня показателей по группам предприятий (таблица №2).

Таблица №2

Группы предприятий по размеру  стоимости имущества, тыс.руб	Кол-во предприятий	Зависимость уровней рентабельности от группировочного признака			Средние ТЭП деятельности на одно предприятие  города
		Rпр, %	Rос, %	Rр, %	Объем производства, тыс.руб	Численность работников, чел	Стоимость имущества, тыс.руб	Прибыль, тыс.руб
90-130	10	28	115	33	413	353	101	116
130-170	8	28	79	29	401	384	141	111
170-210	2	25	159	46	1115	601	175	278
210-250	2	26	134	50	1070	562	210	282
ВСЕГО	22	-	-	-	532	406	132	144

 

Предприятия с  высокой стоимостью имущества в  расчете на одно предприятие производят больше продукции и получают выше прибыль.

Возможные пределы, в которых установлено среднее значение группировочнго признака с вероятностью 0,954 найдем из формулы:

где t - коэффициент доверия при заданной степени вероятности (находится по таблице).

- средняя ошибка выборочной средней;

- предельная ошибка выборки  Δ.

Средняя ошибка выборочной средней находится по формуле:

,

где N - общее  число предпрятиц.й

В нашем случае n / N = 0,15, т.к проводилось обследование 15% предприятий.

Первоначально произведем расчет данных для дисперсии  в таблице:

Группы предприятий по размеру  стоимости имущества, тыс.руб.	Среднее значение группы, (x)	Кол-во предприятий	x*n	х-х	(х-х)2	n*(х-х)2
90-130	110	10	1100	-60	3600	36000
130-170	150	8	1200	-20	400	3200
170-210	190	2	380	20	400	800
210-250	230	2	460	60	3600	7200
ВСЕГО		22	3140			47200
Среднее	170

 

x_ср = 3140/22 = 143

= 47200/22 = 2146

.

t (0,954; 100) = 2,0, следовательно предельная ошибка и интервал равны:

Δ = 2,0 · 9,1 = 18,2 шт.

(143 – 18,2; 143 + 18,2) или (124,8; 161,2).

Т. е. средняя стоимость имущества с вероятностью 0,954 будет в интервале от 124,8 до 161,2 тыс. руб.

 

Задача 2

 

    Вычислите среднюю ставку доходности и уровни их вариации для акций А и В по следующим данным:

Вероятность наступления события  Рi	Ставки доходности, %
	Акции А	Акции В
0,3 0,5 0,2	80 16 60	25 15 10

 

Изобразите гистограммы  распределения уровней доходности.

Решение

Предположим, что  доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины RA и RB.

Для начала, необходимо вычислить среднее значение и дисперсию для акций по формулам (на примере акции А):

 

-  формула для среднего значения RA и RВ:

 - Формула для вычисления дисперсии

Таблица 1 – Расчет дисперсии по акции А

Вероятность наступления события  Рi	Ставки доходности, % rA	RА, %	(RА-rA)	(RА-rA)2	(RА-rA)2*P
0,3	80	24	36	1296	388,8
0,5	16	8	-28	784	392
0,2	60	12	16	256	51,2
Итого		44			832

 

Таблица 2 – Расчет дисперсии по акции В

Вероятность наступления события  Рi	Ставки доходности, % rA	RА, %	(RА-rA)	(RА-rA)2	(RА-rA)2*P
0,3	25	7,5	8	64	19,2
0,5	15	7,5	-2	4	2
0,2	10	2	-7	49	9,8
Итого		17			31

 

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: 
σ_А= 28,8%

σ_В= 5,57%

Стандартные отклонения доходности по каждой из акций A или B отражают степень  рискованности инвестиции в данную акцию. Для того, чтобы сравнить степень риска различных акций с различной средней (ожидаемой) доходностью и различным стандартным отклонением доходности, используется понятие коэффициент вариации: 
  
Таким образом, коэффициент вариации:

  - для акции A равен: 28,8/44 = 0,65

- для акции A равен: 5,57/17 = 0,33

То есть, можно  сказать, что акция B имеет меньший  риск относительно акции A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Произведена 30%-ная механическая выборка для  изучения  сменой выработки рабочих  предприятия. Выборка дала следующие  результаты:

Группы рабочих по сменной выработке, штук	21-30	31-40	41-50	51-60	61-70	ИТОГО
Число рабочих	4	16	24	11	5	60

 

Определите:

- пределы значений среднего уровня сменной выработки рабочих с вероятностью 0.954;

- пределы значений доли  рабочих,  вырабатывающих  за  смену свыше 50 изделий, с вероятностью 0.997;

- модальное значение сменной выработки на 1 рабочего предприятия.

 

Решение

1) Возможные пределы, в которых ожидается средняя выработка рабочих завода с вероятностью 0,954 найдем из формулы:

где t - коэффициент доверия при заданной степени вероятности (находится по таблице).

- средняя ошибка выборочной средней;

- предельная ошибка выборки  Δ.

Средняя ошибка выборочной средней находится по формуле:

,

где N - общее  число изделий.

В нашем случае n / N = 0,3, т.к проводилось обследование 30% изделий.

Первоначально произведем расчет данных для дисперсии в таблице:

Группы рабочих по сменной выработке, штук	Среднее значение группы, штук, (x)	Число рабочих (n)	x*n	х-х	(х-х)2	n*(х-х)2
21-30	26	4	102	-21	420	1681
31-40	36	16	568	-11	110	1764
41-50	46	24	1092	-1	0	6
51-60	56	11	611	10	90	993
61-70	66	5	328	20	380	1901
ИТОГО		60	2700	-46	2116	6345
Среднее	46	12				106

 

x_ср = 2700/60 = 45

= 6345/60 = 106

.

t (0,954; 100) = 2,0, следовательно предельная ошибка и интервал равны:

Δ = 2,0 · 1,11 = 2,2 шт.

(45 - 2; 45 + 2) или (43; 47).

Т. е. средняя выработка рабочих с вероятностью 0,954 будет в интервале от 43 до 47 штук за смену.

2) Возможные пределы удельного веса числа рабочих, вырабатывающих более 50 изделий за смену с вероятностью 0,997 найдем из формулы:

,

где - средняя ошибка выборочной доли. Она находится по формуле:

,

- частота появления альтернативного  признака, равная m/n, где m - число случаев в выборке, когда стаж попадает в заданный интервал. В нашем случае m = 11+5 = 16 и = 16/60 = 0.27. Тогда:

,

t (0,997) = 3,0, предельная ошибка выборочной доли равна = 0,06*3 = 0,18

Следовательно, интервал равен:

(0,27 -0,18 ; 0,27 + 0,18) или (0,09; 0,45).

Т. е. с вероятностью 0,954 от 9% до 45% рабочих будет вырабатывать более 50 изделий за смену.

3) Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

,

где - мода;

- нижняя граница модального  интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

= 52 шт.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте  и составляет 52 шт.

 

 

Задача 4.

     Вычислить  общее изменение себестоимости   по следующим данным:    

Изделие	Выработано в отчетном периоде, шт	Себестоимость единицы в базисном периоде, тыс. руб.	Изменение себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
А Б В	150 140 160	220 100 300	+ 10 - 8 + 15

 

 

Решение

 

Первоначально произведем расчет себестоимости, увеличив себестоимость базисного периода на процент изменения в отчетном.

Расчет изменения себестоимости  будет произведен с использованием индекса постоянного состава.

Индекс себестоимости постоянного  состава представляет собой отношение  взвешенных средних величин с  одними и теми же весами.

Расчет представлен в таблице

Изделие	Выработано в отчетном периоде, шт	Себестоимость единицы продукции, руб.		Расчетные данные
		базисный	отчетный
А	150	220	242	36300	33000
Б	140	100	92	12880	14000
В	160	300	345	55200	48000
ИТОГО	450			104380	95000

 

I_p = 104380/95000 = 1,1 или 110%.

Следовательно, общее изменение себестоимости  составило 10%

 

 

 

 

Задача 5

Имеются следующие  данные  об объеме продажи товара А и ценах на двух предприятиях, по которым необходимо исчислить: индекс  средней цены (переменного состава), индекс цены (постоянного состава), индекс структурного сдвига; проанализировать полученные результаты.

Предприятие 1					Предприятие  2
цена, тыс. руб.		объем продажи		цена, тыс. руб.			объем продажи
базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период	базисный период		отчетный период	базисный период	отчетный период
320	300	10000	20000	500		560	5400	4000

 

Решение

Индекс средней  цены определится так: .

 

№ п/п	Предприятие 1				Расчетные данные
1	цена, тыс. руб.		объем продажи
2	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
3	p0	p1	q0	q1	p0 q0	р1 q1	p0 q1	р1 q0
4	320	300	10000	20000	3200000	6000000	6400000	3000000
5	Предприятие  2
6	500	560	5400	4000	2700000	2240000	2000000	3024000
Итого	-	-	15400	24000	5900000	8240000	8400000	6024000

 

 

Индекс фиксированного состава:

 

Ip = (8240000/24000)/(8400000/24000) = 0,98 или 98%

Изменение средней  цены структуры совокупности (продукции) используют индекс структурного сдвига:

Iстрс = (8400000/24000)/(5900000/15400) = 0,91 или 91%

- (Ласпейреса)

Iр = 6024000/5900000 = 1,02 или 102%

Задача 6

Группы опрошенных респондентов	Семейное положение в группе
	Замужем (женат)	Не замужем  (не женат)
Потребляют наркотики	105	30
Не потребляют наркотики	25	60

 

Оцените зависимость  либо опровергните ее наличие между  семейным положением опрошенных лиц  и вероятностью потребления наркотиков.