Контрольная работа по "Статистике". 600

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный 

экономический  университет»

(СПбГЭУ)

 

 

Кафедра исследования операций в экономике 

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

 

Контрольная работа № 1 по дисциплине

 

СТАТИСТИКА

 

Выполнил:

студент курса _______ группа 

 

N зачетной книжки _________ Дата: ____________________

 

____________________________             __________________________

                          (Подпись)                                           (И.О. Фамилия)

Проверил:

Преподаватель: __________________________________________

                                                                              (должность,  уч. степень, уч. звание)

______________________________________________________

(Подпись)      (И.О. Фамилия)

 

Оценка: Дата: 

 

 

Содержание

 

 

Задание 1

1. В таблице №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» найдите данные (графу), соответствующие вашему варианту (последняя цифра зачетной книжки). По данным таблицы №1 построить структурную (вариационную) группировку. Количество групп взять равным 6.
2. По этим же данным построить графики распределения (кумуляту и гистограмму).

Таблица 1 – Исходные данные

Бельгия	436	Португалия	226
Болгария	446	Румыния	1629
Чехия	1102	Словения	383
Дания	1888	Словакия	468
Германия	7128	Финляндия	714
Эстония	156	Швеция	883
Ирландия	341	Великобрит.	2791
Греция	1086	Хорватия	385
Испания	4738	Македония	106
Франция	11896	Турция	1634
Италия	4287	Исландия	938
Кипр	946	Норвегия	312
Латвия	248	Швейцария	1468
Литва	585	Нидерланды	266
Люксембург	386	Австрия	835
Венгрия	1815	Польша	4438

Решение.

Определение числа групп. Ширина интервала составит:

Xmax – максимальное значение группировочного признака в совокупности. Xmin – минимальное значение группировочного признака. Определим границы группы.

Таблица 2 – Расчетная  таблица

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	106	2071
2	2071	4036
3	4036	6001
4	6001	7966
5	7966	9931
6	9931	11896

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

Таблица 3 – Расчетная  таблица

106	106 – 2071	1
156	106 – 2071	2
226	106 – 2071	3
248	106 – 2071	4
266	106 – 2071	5
312	106 – 2071	6
341	106 – 2071	7
383	106 – 2071	8
385	106 – 2071	9
386	106 – 2071	10
436	106 – 2071	11
446	106 – 2071	12
468	106 – 2071	13
585	106 – 2071	14
714	106 – 2071	15
835	106 – 2071	16
883	106 – 2071	17
938	106 – 2071	18
946	106 – 2071	19
1086	106 – 2071	20
1102	106 – 2071	21
1468	106 – 2071	22
1629	106 – 2071	23
1634	106 – 2071	24
1815	106 – 2071	25
1888	106 – 2071	26
2791	2071 – 4036	1
4287	4036 – 6001	1
4438	4036 – 6001	2
4738	4036 – 6001	3
7128	6001 – 7966	1
11896	9931 – 11896	1

Результаты группировки  оформим в виде таблицы:

Таблица 4 – Расчетная  таблица

Группы	№ совокупности	Частота fi
106 – 2071	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26	26
2071 – 4036	27	1
4036 – 6001	28,29,30	3
6001 – 7966	31	1
7966 – 9931	0	0
9931 – 11896	32	1

Гистограмма

 

Полигон

 

 

 

 

Полигон частот

Задание 2

 

1. По равноинтервальной группировке (результат выполнения задания темы №3) рассчитайте среднее арифметическое, медиану и моду
2. По этим же данным измерьте вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Решение

Таблица 5 – Расчетная  таблица

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x – xср) * f	(x – xср)2 * f
106 – 2071	1088.5	26	28301	26	23948.44	22058756.1
2071 – 4036	3053.5	1	3053.5	27	1043.91	1089740.26
4036 – 6001	5018.5	3	15055.5	30	9026.72	27160550.46
6001 – 7966	6983.5	1	6983.5	31	4973.91	24739743.38
7966 – 9931	8948.5	0	0	31	0	0
9931 – 11896	10913.5	1	10913.5	32	8903.91	79279546.51
		32	64307		47896.88	154328336.72

Показатели вариации.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

Мода

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 –  послемодальная частота.

 Медиана. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером: Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1)/2 = (32+1)/2 = 17. Медианным является интервал 106 – 2071, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера.

Квартили.

Q1 = 710.62

Q3 = 1919.85

Квартильный коэффициент  дифференциации.

k = Q1/Q3

k = 710.62/1919.85 = 0.37

Децили (децентили).

D1 = 347.85

D9 = 5215

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax – Xmin

R = 11896 – 106 = 11790

Среднее линейное отклонение – вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

Дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 Относительные показатели вариации. К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение. Коэффициент вариации – мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Линейный коэффициент вариации

Задание 3

 

1. По данным таблицы №1 «Макроэкономические показатели европейских стран», соответствующим вашему варианту с вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней, считая эти данные собственно-случайной повторной выборкой.
2. Как изменится доверительный интервал, если вероятность увеличится до 0,99? Сделайте необходимый расчет.

Решение

Показатели формы распределения.

Коэффициент осцилляции – отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Kr = 586.69%

Относительное линейное отклонение – характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Kd = 74.48%

Относительный показатель квартильной  вариации –

 Степень асимметрии

Наиболее точным и  распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As = M3/s3

где M3 – центральный момент третьего порядка. s – среднеквадратическое отклонение.

M3 = 891493768228.27/32 = 27859180257.13

 Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

 Если выполняется соотношение |As|/sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/sAs > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице:

Таблица 6 – Расчетная  таблица

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	(x – xср) * f	(x – xср)2 * f	(x – xср)3 * f	(x – xср)4 * f
106 – 2071	1088.5	26	23948.44	22058756.1	-20318182379.72	18714950801323
2071 – 4036	3053.5	1	1043.91	1089740.26	1137586667.03	1187533831625.6
4036 – 6001	5018.5	3	9026.72	27160550.46	81723550044.17	2.4589850050009E+14
6001 – 7966	6983.5	1	4973.91	24739743.38	123053164240.02	6.1205490269573E+14
7966 – 9931	8948.5	0	0	0	0	0
9931 – 11896	10913.5	1	8903.91	79279546.51	705897649656.77	6.2852464946392E+15
		32	47896.88	154328336.72	891493768228.27	7.163102382468E+15

 В анализируемом ряду распределения наблюдается существенная правосторонняя асимметрия (2.63/6.66 = 0.39>3) Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона:

Asp = 0.41

Чаще всего эксцесс оценивается  с помощью показателя:

 Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) – отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3.

M3 = 7.163102382468E+15/32 = 0

 

 Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sEx где sEx – средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения  считается существенным.

Интервальное оценивание центра генеральной  совокупности.

Доверительный интервал для генерального среднего.

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 – γ

Ф(tkp) = (1 – γ)/2 = 0.954/2 = 0.477

По таблице функции Лапласа  найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.477

tkp(γ) = (0.477) = 2

(2009.59 – 788.85;2009.59 + 788.85) = (1220.74;2798.44)

С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке  большего объема не выйдет за пределы  найденного интервала.

Проверка гипотез о виде распределения.

1. Проверим гипотезу о том,  что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где pi – вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа

 Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме.

2. Проверим гипотезу о том,  что Х распределено по закону Пуассона.

где pi – вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону; λ = xср.

 

Задание 4

1. Из таблицы №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» выберите две графы (признаки) данных, соответствующих вашему варианту (см. таблицу №2).
2. Построить аналитическую группировку.
3. Построить парное линейное уравнение связи между признаками.
4. Оценить тесноту связи с помощью эмпирического корреляционного отношения и коэффициента корреляции.
5. Проверить на значимость найденные параметры и регрессионную модель.
6. По полученному уравнению рассчитать прогноз значения У при условии, что величина Х будет на 20% выше своего максимального выборочного значения. (Вероятность 0,95).

Решение

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = bx + a + ε

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид

32a + 54960 b = 621

54960 a + 282955102 b = 1312202

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.0013, a = 17.17

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 0.0013 x + 17.17

Эмпирические коэффициенты регрессии  a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое  отклонение

1.1. Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение  регрессии имеет вид y = 0.0013 x + 17.17

1.3. Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

1.5. Эмпирическое корреляционное  отношение. Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

Где

Индекс корреляции. Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции rxy = 0.23.

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. R2= 0.232 = 0.0534

Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную  таблицу (табл. 7)

Таблица 7 – Расчетная  таблица

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y – yx|:y
436	30	190096	900	13080	17.74	112.23	150.38	1642242.25	0.41
446	3	198916	9	1338	17.75	269.17	217.56	1616712.25	4.92
1102	7	1214404	49	7714	18.6	153.92	134.66	378840.25	1.66
1888	27	3564544	729	50976	19.63	57.67	54.34	29070.25	0.27
7128	37	50808384	1369	263736	26.45	309.54	111.21	29273510.25	0.29
156	7	24336	49	1092	17.37	153.92	107.58	2438282.25	1.48
341	45	116281	2025	15345	17.61	655.04	750.04	1894752.25	0.61
1086	27	1179396	729	29322	18.58	57.67	70.84	398792.25	0.31
4738	24	22448644	576	113712	23.34	21.1	0.43	9123420.25	0.0275
11896	30	141514816	900	356880	32.67	112.23	7.1	103601862.25	0.0888
4287	28	18378369	784	120036	22.75	73.85	27.53	6602330.25	0.19
946	31	894916	961	29326	18.4	134.42	158.73	595212.25	0.41
248	13	61504	169	3224	17.49	41.04	20.18	2159430.25	0.35
585	5	342225	25	2925	17.93	207.54	167.21	1282556.25	2.59
386	53	148996	2809	20458	17.67	1128.54	1248.09	1772892.25	0.67
1815	6	3294225	36	10890	19.53	179.73	183.15	9506.25	2.26
266	30	70756	900	7980	17.52	112.23	155.86	2106852.25	0.42
835	30	697225	900	25050	18.26	112.23	137.91	778806.25	0.39
4438	6	19695844	36	26628	22.95	179.73	287.31	7401120.25	2.83
226	17	51076	289	3842	17.46	5.79	0.21	2224572.25	0.0273
1629	3	2653641	9	4887	19.29	269.17	265.4	7832.25	5.43
383	18	146689	324	6894	17.67	1.98	0.11	1780890.25	0.0185
468	6	219024	36	2808	17.78	179.73	138.73	1561250.25	1.96
714	29	509796	841	20706	18.1	92.04	118.83	1007012.25	0.38
883	30	779689	900	26490	18.32	112.23	136.44	696390.25	0.39
2791	35	7789681	1225	97685	20.8	243.17	201.51	1152402.25	0.41
385	2	148225	4	770	17.67	302.98	245.56	1775556.25	7.84
106	1	11236	1	106	17.31	338.79	265.92	2596932.25	16.31
1634	14	2669956	196	22876	19.3	29.23	28.06	6972.25	0.38
938	5	879844	25	4690	18.39	207.54	179.31	607620.25	2.68
312	10	97344	100	3120	17.58	88.48	57.39	1975430.25	0.76
1468	12	2155024	144	17616	19.08	54.85	50.14	62250.25	0.59
54960	621	282955102	18049	1312202	621	5997.72	5677.74	188561302	57.3

Задание 5

Среди таблиц, расположенных после задания, найдите таблицу с данными, соответствующими вашему варианту. В соответствии со своим вариантом:

1. Рассчитайте индивидуальные и общие индексы цены, физического объема и стоимости. Сделайте выводы о произошедших в текущем периоде изменениях.
2. Рассчитайте абсолютные изменения стоимости, возникшие в результате изменения цен и физического объема.
3. Рассчитайте индексы переменного, фиксированного составов, индекс структурных сдвигов. Сделайте выводы о причинах, приведших к изменению средней цены совокупности товаров.
4. Рассчитайте абсолютные изменения средней цены, объясните их.

Таблица 8 – Исходные данные

 

товары	базисный период		текущий период
	цена (руб.)	количество (шт.)	цена (руб.)	количество (шт.)
1	47	321	50	321
2	58	654	72	654
3	69	987	84	987

Решение

Таблица 9 – Расчетная  таблица

Выработано продукции: базисный период	Выработано продукции: отчетный период	Себестоимость единицы  продукции: базисный период	Себестоимость единицы  продукции: отчетный период
321	321	47	50
654	654	58	72
987	987	69	84

а) общий индекс затрат на производство продукции

 

 

∆Z = ∑q1 • z1 – ∑q0 • z0

∆Z = 146046 – 121122 = 24924

За счет всех факторов общие затраты возросли на 20.58% или на 24924

б) общий индекс цен  продукции

 

 

∆Zz = ∑q1 • z1 – ∑q1 • z0

∆Zz = 146046 – 121122 = 24924

За счет изменения  цен общие выручка возросла на 20.58% или на 24924

в) общий индекс физического  объема продукции (индекс Ласпейреса)

 

 

∆Zq = ∑q1 • z0 – ∑q0 • z0

∆Zq = 121122 – 121122 = 0

Покажем взаимосвязь  индексов

I = Iq • Iz = 1 • 1.21 = 1.21

Задание 6

По таблице №3 «Динамика  объема производства предприятия» найдите  данные (графу) своего варианта.

В соответствии со своим  вариантом по данным таблицы №3 «Динамика  объема производства предприятия»:

1. Рассчитайте следующие  показатели, характеризующие динамику  изучаемого явления:

• базисные и цепные абсолютные приросты,
• базисные и цепные темпы роста,
• базисные и цепные темпы прироста,
• средний уровень временного ряда,
• средний абсолютный прирост,
• средний темп роста,
• средний темп прироста.

 Найдите параметры уравнения линейного тренда. Изобразите графически эмпирический временной ряд и линию тренда. Сделайте прогноз уровня временного ряда на 3 года вперед.

Таблица 10 – Исходные данные

Год	Значение
1984	23,46
1985	14,86
1986	20,14
1987	21,59
1988	18,98
1989	21,77
1990	20,27
1991	16,86
1993	16,23
1994	18,55
1995	14,87
1996	11,98
1997	14,41
1998	13,42
1999	10,44
2000	8,26
2001	8,86
2002	9,53
2003	6,88
2004	4,10
2005	7,61
2006	4,92
2007	3,76
2008	3,02

 Решение

Для расчета показателей  динамики на постоянной базе каждый уровень  ряда сравнивается с одним и тем  же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.