Оглавление 

 

Задача №1

 

     Произведите группировку магазинов №№ 3 ... 22 (см. Приложение 1) по признаку размер товарооборота, образовав при этом 5 групп с равными интервалами.

Сказуемое групповой таблицы  содержит следующие  показатели:

1. число магазинов;
2. размер товарооборота;
3. средняя стоимость основных средств;
4. численность продавцов;
5. относительный уровень фондоотдачи (товарооборот / средняя стоимость основных фондов);
6. относительный  уровень производительности труда (товарооборот / число продавцов).

Примечание: В п.п. 2 – 4 показатели необходимо рассчитать в сумме и в среднем на один магазин.

Сделайте  выводы.

 

Исходные данные

  

Решение:

 Произведем группировку магазинов №№ 3…22 в порядке возрастания по признаку - размер товарооборота.

                                                               

 
 

     Сгруппируем данные из таблицы  на 5 равных интервалов по признаку размер товарооборота, для этого находим Xmin и Xmax и интервал (R) .

     Xmin = 80

     Xmax=352

     R = (352 – 80)/5 = 54,4

     На  основании полученных данных получаем следующие интервалы для признака товарооборота:

     [80; 134,4)   [134,4; 188,8)  [188,8; 243,2)  [243,2; 297,6)  [297; 6, 352]

  

Составим таблицу:  

    Выводы: 

    1.  Больше всего магазинов (7) имеет  относительно небольшой товарооборот  – в среднем 106,7 млн. руб. на 1 магазин. В этих магазинах низкий по сравнению с другими магазинами  относительный уровень фондоотдачи и относительный уровень производительности труда.

    2. Магазины с высоким уровнем  товарооборота ( в среднем 313,6 млн.руб. на 1 магазин) при максимальном  среднем количестве продавцов    (130) имеют самый высокий уровень среднегодовой стоимости основных фондов в среднем на один магазин – 7,2 млн.руб. и самый   высокий относительный уровень фондоотдачи 

 

Группировка магазинов по товарообороту 

     .

 

     

Задача  2

     Используя построенный в задаче №1 интервальный ряд распределения магазинов по размеру товарооборота, определите:

     1. среднее квадратическое отклонение;

     2. коэффициент вариации;

     ^{3.модальную величину;}

     ^{4. медианную величину.}

     Постройте гистограмму распределения и  сделайте выводы.  

     Решение:   

Вычисляем выборочное среднее по формуле: 

, получаем:

(107×7+161,6×4+216×3+270,4×1+324,8×5)/20 = 197 
 

Вычисляем выборочную дисперсию по формуле:

                              

Получаем:

 = ((107-197)² ∙ 7 + (161,6-197 )² ∙ 4 + (216-197)² ∙ 3 + (270,4-197)² ∙ 1  + (324,8-197)² ∙ 5 )/19= 7886,71

Выборочное среднее квадратическое отклонение σ = = 88,8

Коэффициент вариации вычисляем по формуле:

                                          

     Где σ – среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии)..

     Вычисляем коэффициент вариации:

                                                =45,1%

     В нашем случае совокупность неоднородная, поскольку совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.  

     Выборочная  мода для интервального статистического  ряда вычисляется по следующей формуле:

     Mо  = x_Mo + h

     где Х_Mo – нижнее значение модального интервала; 
f_Mo – частота модального интервала; 
f_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; 
f_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;  
h – величина интервала .

     Модальный интервал – это интервал, имеющий  наибольшую частоту . В нашем случае это интервал [80 , 148) , имеющий частоту 7.

     Получаем:

     Мо = 80 + 54,4 ∙ 7 / [7 + (7-4)] = 80 + 54,4 ∙ 7 / 10 = 118,1 (млн. руб.)

     Выборочная  медиана для интервального статистического ряда вычисляется по следующей формуле:

     Me = x_Mе + h

     где Х_Me – нижнее значение медианного интервала; 
f_Me – частота медианного интервала; 
h – величина интервала;

     S_Me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

     Медианный интервал – это интервал, такой интервал, что до него сумма накопленных частот меньше половины объема выборки, а после него больше половины объема выборки. В нашем случае это интервал [134,4, 188,8) , имеющий частоту  4.

     Получаем:

     Me = 134,4 + 54,4· = 175,2 (млн. руб.) 

     Гистограмма распределения:

 
 

     Выводы:

1. Больше всего магазинов (7) имеет относительно небольшой товарооборот – от 80  млн.руб. до  134,4 млн.руб.
2. Совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными. В нашем случае совокупность неоднородная, т.к. коэффициент вариации 45,1%.

 

ЗАДАЧА №3

 

     В результате выборочного обследования дальности поездок 600 пассажиров пригородных поездов методом собственно-случайного отбора установлены следующие выборочные характеристики:

• Средняя дальность поездки составила 38,4 км, среднее квадратическое отклонение – 4,68 км.
• Доля поездок дальностью до 10 км – 30 %.

     Определите:

1. С вероятностью 0,954 возможные пределы средней дальности поездки.
2. С вероятностью 0,997 возможные пределы доли поездок дальностью до 10 км.

     Примечание: В связи с тем, что численность пассажиров пригородных поездов значительно превышает число обследованных лиц, при вычислении предельной ошибки выборки поправкой следует пренебречь.

Решение: 

б) P{| ген - | ≤ t μ } = 2∙Ф(t)

где

 Ф(t) – функция Лапласа,

  ген – генеральная средняя .

 μ  - средняя ошибка выборки 

В нашем случае 2∙  Ф(t) = 0,954 

По таблице удвоенной  функции Лапласа находим  t для  вероятности 0,997:

  t = 2. 

Средняя ошибка выборки  вычисляется по формуле:

,

где  σ² – выборочная дисперсия,  n  - объем выборки

Т.к. поправкой можно  пренебречь, то:

     

     Получаем:   μ = =0,19

     Или:

     P{| ген – 38,4 | ≤ 2∙ 0,19 } = 0,954    или

     P{| ген – 38,4 | ≤ 0,38 } = 0,954  

     Раскрывая модуль, получаем доверительный интервал для среднего веса изделий в генеральной совокупности при уровне вероятности суждения 0,957:

           38,4 - 0,38  ≤   ген  ≤  38,4 + 0,38   или

           38,02  ≤   ген  ≤  38,78  

Итак, с вероятностью 0,954  средний вес изделий попадает в интервал 

[38,02 ; 38,78] кг

2) с вероятностью 0,997 долю поездок дальностью до 10 км.

Выборочная доля поездок дальностью до 10 км:

=  0,3    ( или 30%)

P{| p _ген - | ≤ t μ_p } = 2∙Ф(t)            

где Ф(t) – функция  Лапласа,

pген – генеральная  доля 

μ_p  - средняя ошибка доли

В нашем случае 2∙  Ф(t) = 0,997

По таблице удвоенной  функции Лапласа находим  t для вероятности 0,997:   t = 3. 

Средняя ошибка генеральной  доли  вычисляется по формуле:

, где  n  - объем выборки.

Получаем 

= 0,02

Или:

P{| p_ген – 0,3 | ≤ 2∙ 0,02 } = 0,997    или

P{| p_ген – 0,3 | ≤ 0,04 } = 0,997   

Раскрывая модуль, получаем доверительный интервал для доли поездок дальностью до 10 км в генеральной совокупности при уровне вероятности суждения 0,954:

      0,3 - 0,04  ≤   pген ≤ 0,3 + 0,04   или

      0,26  ≤   pген ≤ 0,34

Итак, с вероятностью 0,997  доля поездок дальностью до 10 попадает в интервал  [0,26 ; 0,34] .

 

ЗАДАЧА № 4

     Имеются данные о розничном товарообороте  торгового дома (в сопоставимых ценах, млн. руб.):

Приведите уровни данного ряда динамики к сопоставимому  виду.

1. Произведите анализ динамики розничного товарооборота торгового дома, вычислив для этого абсолютные, относительные и средние показатели динамики. Постройте соответствующий график.
2. Произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию развития розничного товарооборота торгового дома соответствующим аналитическим уравнением. Вычислите теоретические (выровненные) уровни ряда динамики и нанесите их на график вместе с фактическими уровнями,
3. Методом экстраполяции тренда сделайте прогноз на 2007 г.

Полученные  результаты оформите в виде статистической таблицы. Сделайте выводы.

 

  Решение: 

Заменим два  ряда динамики одним сомкнутым: до 2002 года включительно будем рассматривать розничный товарооборот без филиалов, а  с 2003 года – с филиалами.

Для приведения ряда к сопоставимому виду умножим  показатели 2000, 2001 и 2002 года на коэффициент  К=900/750 = 1,2. Получим следующий ряд: 

 

Получаем цепные и базисные показатели динамики.

Цепные показатели:

Абсолютный прирост  

Темп роста  Тр = 100%

Темп прироста  Тр – 100 (%)

Базисные  показатели: 

Абсолютный  прирост  

Темп роста  Тр = 100%

Темп прироста  Тр – 100 (%) 

Получаем: 
 
 

 

Средние показатели динамики:

Средний абсолютный прирост:  = 76 (млн.руб)

Средний геометрический темп роста:   100%=   100% = 10,3%

Средний темп прироста : -100% = 10,3% 

График динамики розничного  товарооборота

   

Аналитическое выравнивание

Будем выравнивать  ряда по прямой, т.к. график динамики товарооборота  близок к прямой.

Система нормальных уравнений при выравнивании по прямой имеет вид:

t = -5,-3,-1,1,3,5

Выражаем a₀  и a₁:

Получаем:

a₀=(600+628+738+900+920+980)/6 =794,3

a₁ = (600×(-5)+628×(-3)+738×(-1)+900+920×3+980×5)/(25+9+1+1+9+25) = 42

Уравнение прямой:

y =794,3 + 42 t

Строим график (исходные точки и теоретические):

 

Для получения возможного размера товарооборота в 2007 году  в уравнение тренда подставим t =9:

y =794,3 + 42 × 9 = 1172,3 (млн. руб.) 

Выводы:

1. Уровень товарооборота торгового дома имеет тенденцию к повышению, причем тренд можно считать линейным.
2. В среднем товарооборот увеличивался на 76 млн. руб. в год или на 10,3%.
3. Прогнозное значение товарооборота в 2007 году 1172,3 млн.руб.

 

ЗАДАЧА № 5

Имеется информация о продаже продуктов на рынках города за два периода:

 

Определите:

1. Индивидуальные и общие индексы: товарооборота в фактических ценах, цен и физического объема товарооборота; покажите их взаимосвязь.
2. Прирост товарооборота (общий и за счет действия отдельных факторов).