Контрольная работа по "Статистике". 525

ЗАДАНИЕ № 1

В таблицах № 1-8 (Приложение) имеются  данные выборочного обследования предприятий. По региону, номер которого соответствует номеру варианта студента, провести группировку предприятий по факторному признаку, разбив совокупность на 4 группы. Результаты группировки представить в сводной таблице. После таблицы представить выводы в письменной форме.

Вывод: существует сильная зависимость между стажем работы и средней заработной платой. Зависимость прямая, т.е. чем выше стаж, тем выше средний заработок.

Регион  №16						Средняя заработная плата
Средний стаж работы, лет	Средняя заработная плата, тыс. руб.	Группы по средней  плате, тыс. руб.	Количество  рабочих, чел.	Средний стаж работы, лет	Средняя заработная плата, тыс. руб.	Всего, тыс. руб.	В среднем одного рабочего в год, тыс.руб.
2	8	от 8  до 10	8	2	8	68,5	8,56
4	8			4	8
13	10			7	8
9	8,5			9	8,5
20	14			10	8,5
				8	8,5
				11	9
				13	10
		Всего		64	68,5
16	12	от 10 до 12	4	14	10,5	46,5	11,63
24	15,5			16	12
17	12			17	12
25	15,5			15	12
14	10,5
		Всего		62	46,5
7	8	от 12 до 14	2	18	13	27	13,50
8	8,5			20	14
20	14,5
10	8,5
11	9
		Всего		38	27
18	13	от 14 до 16	6	20	14,5	92,5	15,42
23	16			19	15
19	15			24	15,5
26	16			25	15,5
15	12			23	16
				26	16
		Всего		137	92,5
Итого:			20			234,5	49,11

 

ЗАДАНИЕ № 2

По результатам группировки (задание №1) рассчитайте среднее  значение факторного признака, а  также  проведите расчет структурных средних величин (моды и медианы). Сделайте выводы.

Мо=10+2*(8-0)/((8-0)*(8-4))=10,5

Больше всего  рабочих имею среднюю заработную плату в 10,5 тыс.руб.

Ме=10+(2*0,5*20-8)/8=11,5

Половина рабочих  имеют средний доход менее 11,5 тыс.руб., а вторая половина более 11,5 тыс.руб.

 

ЗАДАНИЕ № 3

По данным группировки (задание №1) проведите анализ колеблемости результативного признака, рассчитав  показатели вариации. Рассчитайте общую  дисперсию по правилу сложения дисперсий. Сделайте выводы по результатам расчетов.

R=Xmax-Xmin=16-8=8

d=∑|Xi-X|/n=|8,56-2.5|+|11.63-2.5|+|13.5-2.5|+|15.42-2.5|/4=2 тыс. руб.

 

Ϭ=√((8,56-2.5)²+(11.63-2.5)²+(13.5-2.5)²+(15.42-2.5)²/20)=15,8 тыс.руб.

=(8,56-2.5)²+(11.63-2.5)²+(13.5-2.5)²+(15.42-2.5)²/20=20,4 тыс.руб.

 

        ЗАДАНИЕ № 4

По данным таблиц 1 – 8 (Приложение)  в соответствии со своим номером варианта постройте  линейное уравнение регрессии и  оцените тесноту связи между  факторным и результативным признаками с помощью  линейного коэффициента корреляции. Сделайте выводы.

Регион  №16
Средний стаж работы, лет	Средняя заработная плата, тыс. руб.
2	8,0
4	8,0
13	10,0
9	8,5
20	14,0
16	12,0
24	15,5
17	12,0
25	15,5
14	10,5
7	8,0
8	8,5
20	14,5
10	8,5
11	9,0
18	13,0
23	16,0
19	15,0
26	16,0
15	12,0

Выборочные средние:

x_ср = ∑x_i / n = 301 / 20 = 15.05; y_ср = ∑y_i / n = 234.5 / 20 = 11.73; xy_ср = ∑x_iy_i / n = 3918 / 20 = 195.9

Выборочные  дисперсии:

S²(x) = ∑x²_i / n - x²_ср = 5461 / 20 - 15.05² = 46.55

S²(y) = ∑y²_i / n - y²_ср = 2924.75 / 20 - 11.73² = 8.76

Коэффициент корреляции r_xy = 0.96

Линейное уравнение  регрессии имеет вид y = 0.42 x + 5.44

Коэффициент детерминации R² = 0.93

Уравнение парной регрессии.

На основании  поля корреляции можно выдвинуть  гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение  регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система  уравнений имеет вид

20a + 301 b = 234.5

301 a + 5461 b  = 3918

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.42, a = 5.44

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.42 x + 5.44

Эмпирические  коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

1. Параметры  уравнения регрессии.

Выборочные  средние.

 

 

 

Выборочные  дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем  показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

1.2. Уравнение  регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение  регрессии имеет вид y = 0.42 x  + 5.44

1.3. Коэффициент  эластичности.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

1.4. Ошибка  аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

 

1.5. Эмпирическое  корреляционное отношение.

Эмпирическое  корреляционное отношение вычисляется  для всех форм связи и служит для  измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

 

где

 

Индекс  корреляции.

Для линейной регрессии  индекс корреляции равен коэфииценту  корреляции r_xy = 0.96.

Для любой формы  зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

 

1.6. Коэффициент  детерминации.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.96² = 0.93

Для расчета  параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.)

 

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
2	8	4	64	16	6.28	13.88	2.98	170.3	0.22
4	8	16	64	32	7.11	13.88	0.79	122.1	0.11
13	10	169	100	130	10.87	2.98	0.75	4.2	0.0869
9	8.5	81	72.25	76.5	9.2	10.4	0.49	36.6	0.0822
20	14	400	196	280	13.79	5.18	0.0432	24.5	0.0148
16	12	256	144	192	12.12	0.0756	0.0148	0.9	0.0101
24	15.5	576	240.25	372	15.46	14.25	0.0014	80.1	0.00241
17	12	289	144	204	12.54	0.0756	0.29	3.8	0.0449
25	15.5	625	240.25	387.5	15.88	14.25	0.14	99	0.0245
14	10.5	196	110.25	147	11.29	1.5	0.62	1.1	0.0749
7	8	49	64	56	8.36	13.88	0.13	64.8	0.0454
8	8.5	64	72.25	68	8.78	10.4	0.0789	49.7	0.033
20	14.5	400	210.25	290	13.79	7.7	0.5	24.5	0.0488
10	8.5	100	72.25	85	9.62	10.4	1.25	25.5	0.13
11	9	121	81	99	10.03	7.43	1.07	16.4	0.11
18	13	324	169	234	12.96	1.63	0.00185	8.7	0.00331
23	16	529	256	368	15.05	18.28	0.91	63.2	0.0597
19	15	361	225	285	13.37	10.73	2.64	15.6	0.11
26	16	676	256	416	16.3	18.28	0.0887	119.9	0.0186
15	12	225	144	180	11.7	0.0756	0.0875	0.0025	0.0247
301	234.5	5461	2924.75	3918	234.5	175.24	12.88	930.95	1.26

2. Оценка  параметров уравнения регрессии.

2.1. Значимость  коэффициента корреляции.

 

По таблице  Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=18 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (18;0.025) = 2.101

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

2.2. Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

r(0.93;1)

2.3. Анализ  точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой  дисперсии возмущений является величина:

 

 

S²_y = 0.72 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

S_y = 0.85 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

2.4. Доверительные  интервалы для зависимой переменной.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем  границы интервала, в котором  будет сосредоточено 95% возможных  значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 17

 

Индивидуальные  доверительные интервалы для Y при  данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

 

 

t_крит (n-m-1;α/2) = (18;0.025) = 2.101

2.5. Проверка  гипотез относительно коэффициентов  линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;α/2) = (18;0.025) = 2.101

 

 

 

 

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

 

 

 

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=18, F_табл = 4.41

 

            ЗАДАНИЕ № 5

По данным таблицы 5.1 выбрать ряд динамики для анализа. Номер ряда соответствует порядковому номеру студента в группе.

 Для  всех вариантов:

1) Рассчитать  цепные и базисные показатели  динамики: абсолютный прирост, коэффициент  роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста. А также средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста. По результатам расчетов сделать выводы.

2) В ряду динамики  выявить основную тенденцию тремя  способами: укрупнения интервалов, скользящей средней, аналитического выравнивания. По результатам проведения аналитического выравнивания фактические и выровненные уровни ряда изобразить графически. На основе уравнения тренда сделать прогноз на следующие 3 месяца.

 

№ месяца	Вариант №16
	Средняя заработная плата, тыс. руб.	∆Y, тыс.руб.		Kр		Тр		Тпр		∆1%, тыс.руб.
		Цеп.	Баз.	Цеп.	Баз.	Цеп.	Баз.	Цеп.	Баз.	Цеп.	Баз.
1.	8	1	1	1	1		1,00
2.	8	0	0	0	0	1,00	1,00	0,00	0,00
3.	10	2	2	-	-	1,25	1,25	0,25	0,25	8,00	8,00
4.	8,5	-1,50	-0,50	-0,75	-0,50	0,85	1,06	-0,15	0,06	10,00	-8,00
5.	10	1,50	2,00	-1,00	2,00	1,18	1,25	0,18	0,25	8,50	8,00
6.	12	2,00	4,00	1,33	4,00	1,20	1,50	0,20	0,50	10,00	8,00
7.	12,5	0,50	4,50	0,25	4,50	1,04	1,56	0,04	0,56	12,00	8,00
8.	12	-0,50	4,00	-1,00	4,00	0,96	1,50	-0,04	0,50	12,50	8,00
9.	12,5	0,50	4,50	-1,00	4,50	1,04	1,56	0,04	0,56	12,00	8,00
10.	10,5	-2,00	2,50	-4,00	2,50	0,84	1,31	-0,16	0,31	12,50	8,00
11.	12	1,50	4,00	-0,75	4,00	1,14	1,50	0,14	0,50	10,50	8,00
12.	12,5	0,50	4,50	0,33	4,50	1,04	1,56	0,04	0,56	12,00	8,00
Итого	128,50	5,50	32,50	-5,58	30,50	11,54	16,06	0,54	4,06	108,00	64,00

 

1. Yср=128,50/12=10,7 тыс.руб.

∆Yср=(12,5-8)/(12-1)=0,4 тыс.руб.

∆Yср=5,50/(12-1)=0,5

Тр(ср)=^(12-1)√(12.5/8) * 100 = 104.4

Тпр(ср)=104,4-100=4,4

Со 2 месяца по 3 наблюдается тенденция увеличения заработной платы. Наибольший прирост  составил в 3 месяце по отношению к 3 – произошло увеличение на 0,25 или 25%. По отношению к 1 месяцу аналогично 25%. В 4 месяце произошло понижение на 15%. Начиная В 5 месяце произошло увеличение на 18% и вплоть до 7 месяца происходила тенденция повышения заработной платы. В 8 месяце было снижение на 4%, в 9 повышение на 4%. В 10 месяце заработная плата снизилась на 16%. В 11 месяце произошло повышение на 14% с последующим повышением на 4% в 12 месяце.

В среднем заработная плата увеличилась на 4,4% или 0,4 тыс. руб.

2. При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Δ¹_t = Y_t - Y_t-1

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

Δ²_t = Δ¹_t - Δ¹_t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между  последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δ^j_t = Δ^j-1_t - Δ^j-1_t-1

Если общая  тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ¹₂ = Δ¹₃ = ... = Δ¹_n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая  тенденция выражается параболой  второго порядка: Y = a+ bt + ct², то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ²₃ = Δ²₄ = ... = Δ²_n, нулевыми – разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы  роста, то для выравнивания применяется  показательная функция.

При выборе формы  уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы  кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует  минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R².

yi	Δ1t	Δ2t	Темп роста
1.	-	-	-
2.	1	-	2
3.	1	0	1.5
4.	1	0	1.33
5.	1	0	1.25
6.	1	0	1.2
7.	1	0	1.17
8.	1	0	1.14
9.	1	0	1.13
10.	1	0	1.11
11.	1	0	1.1
12.	1	0	1.09

Линейное уравнение  тренда имеет вид y = bt + a

1. Находим  параметры уравнения методом  наименьших квадратов.

Система уравнений  МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a₀ + 78a₁ = 78

78a₀ + 650a₁  = 0

Из первого  уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение

Получаем a₀ = -3.55, a₁ = 29.55

Уравнение тренда:

y = -3.55 t + 29.55

Эмпирические  коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = -3.55 показывает среднее изменение  результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на -3.55.

Ошибка  аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно  использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

ЗАДАНИЕ №6

Вариант 16

Имеются данные по предприятию:

Вид товара	Количество  продукции, шт.		Себестоимость изделия, руб.
	Базисный  период	Отчетный  период	Базисный период	Отчетный  период
Стол обеденный	350	400	2500	2800
Стол письменный	200	230	3200	3650
Стол кухонный	600	610	2100	2300
	1150	1240	7800	8750

 

Определите  общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема, покажите взаимосвязь. Оцените абсолютное изменение затрат на производство: всего и под влиянием отдельных факторов. Сделайте выводы.

 

=(1240*8750)/(1150*7800)=1,2

=(1240*8750)/(7800*1240)=1,1

=(7800*1240)/(7800*1150)=1,08

=1,1*1,08=1,2

=(8750*1240)-(7800*1240)=1178000